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1、滨州市二滨州市二 O 二二年初中学业水平考试二二年初中学业水平考试数学试题数学试题温馨提示：温馨提示：1.本试卷分第本试卷分第卷和第卷和第卷两部分，共卷两部分，共 4 页满分页满分 120 分考试用时分考试用时 120 分钟考试结束后分钟考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回将试题卷和答题卡一并交回2.答卷前答卷前，考生务必用考生务必用 0.5 毫米黑色签字笔将自己的姓名毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号准考证号，座号填写在试题卷和答座号填写在试题卷和答题卡规定的位置上题卡规定的位置上3.第第卷每小题选出答案后，用卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用
2、铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号答案不能答在试题卷上橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号答案不能答在试题卷上4.第第卷必须卷必须用用 0.5 毫米黑色签字笔作答毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上不能写在试题卷上；如需改动如需改动，先划掉原来的答案先划掉原来的答案，然后再写上新的答案然后再写上新的答案；不准使用涂改液不准使用涂改液，胶带纸，修正带不按以上要求作答的答案无效胶带纸，修正带不按以上要求作答的答案无效第第卷（选择题共卷（选择题共 36 分）分）一一、
3、选择题选择题：本大题共本大题共 12 个小题个小题，在每小题的四个选项中只有一个是正确的在每小题的四个选项中只有一个是正确的，请把正确的选请把正确的选项选出来项选出来，用用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑每小题涂对得每小题涂对得 3 分分，满分满分 36 分分1.某市冬季中的一天，中午 12 时的气温是3，经过 6 小时气温下降了7，那么当天 18 时的气温是（）A.10B.10C.4D.4 2.在物理学中，导体中的电流跟导体两端的电压 U，导体的电阻 R 之间有以下关系：UIR去分母得IRU，那么其变形的依据是（）A.等式的性质 1B.等式的性
4、质 2C.分式的基本性质D.不等式的性质 23.如图，在弯形管道ABCD中，若ABCD，拐角122ABC，则BCD的大小为（）A.58B.68C.78D.1224.下列计算结果，正确的是（）A.352()aaB.83 2C.382D.1cos302 5.把不等式组321132xxxx中每个不等式的解集在同一条数轴上表示出来，正确的为（）A.B.C.D.6.一元二次方程22560 xx的根的情况为（）A.无实数根B.有两个不等的实数根C.有两个相等的实数根D.不能判定7.如图，在O中，弦,AB CD相交于点 P，若48,80AAPD，则B的大小为（）A.32B.42C.52D.628.下列命题，
5、其中是真命题的是（）A.对角线互相垂直的四边形是平行四边形B.有一个角是直角的四边形是矩形C.对角线互相平分的四边形是菱形D.对角线互相垂直的矩形是正方形9.在同一平面直角坐标系中，函数1ykx与kyx（k 为常数且0k）的图象大致是（）A.B.C.D.10.今年我国小麦大丰收，农业专家在某种植片区随机抽取了 10 株小麦，测得其麦穗长（单位：cm）分别为 8，8，6，7，9，9，7，8，10，8，那么这一组数据的方差为（）A.1.5B.1.4C.1.3D.1.211.如图，抛物线2yaxbxc与 x 轴相交于点2,0,6,0AB，与 y 轴相交于点 C，小红同学得出了以下结论：240bac；
6、40ab；当0y 时，26x；0abc 其中正确的个数为（）A.4B.3C.2D.112.正方形ABCD的对角线相交于点 O（如图 1），如果BOC绕点 O 按顺时针方向旋转，其两边分别与边,AB BC相交于点 E、F（如图 2），连接 EF，那么在点 E 由 B 到 A 的过程中，线段 EF 的中点 G 经过的路线是（）A.线段B.圆弧C.折线D.波浪线二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 6 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，满分分，满分 24 分分13.若二次根式5x在实数范围内有意义，则 x 的取值范围为_14.如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中ABAC，立柱ADBC，且顶角
7、120BAC，则C的大小为_15.在 RtABC 中，C=90，AC=5，BC=12，则 sinA=_.16.若点123(1,)(2,)(3,)AyByCy,都在反比例函数6yx的图象上，则123,y yy的大小关系为_17.若10mn，5mn，则22mn的值为_18.如图，在矩形ABCD中，5,10ABAD若点 E 是边 AD 上的一个动点，过点 E 作EFAC且分别交对角线 AC，直线 BC 于点 O、F，则在点 E 移动的过程中，AFFEEC的最小值为_三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 个小题，满分个小题，满分 60 分解答时请写出必要的演推过程分解答时请写出必要的演推过程1
8、9.先化简，再求值：2344111aaaaa，其中10(1tan452)a20.某校为满足学生课外活动的需求，准备开设五类运动项目，分别为 A：篮球，B：足球，C：乒乓球，D：羽毛球，E：跳绳为了解学生的报名情况，现随机抽取八年级部分学生进行调查，并根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图请根据以上图文信息回答下列问题：（1）此次调查共抽取了多少名学生？（2）请将此条形统计图补充完整；（3）在此扇形统计图中，项目 D 所对应的扇形圆心角的大小为_；（4）学生小聪和小明各自从以上五类运动项目中任选一项参加活动，请利用画树状图或列表的方法求他俩选择相同项目的概率21.如图，已知AC为O的直径，直线
9、PA与O相切于点A，直线PD经过O上的点B且CBDCAB，连接 OP 交 AB 于点 M求证：（1）PD 是O的切线；（2）2AMOM PM22.某种商品每件的进价为 10 元，若每件按 20 元的价格销售，则每月能卖出 360 件；若每件按 30 元的价格销售，则每月能卖出 60 件假定每月的销售件数 y 是销售价格 x（单位：元）的一次函数（1）求 y 关于 x 的一次函数解析式；（2）当销售价格定为多少元时，每月获得的利润最大？并求此最大利润23.如图，菱形ABCD的边长为 10，60ABC，对角线,AC BD相交于点 O，点 E 在对角线 BD 上，连接 AE，作120AEF且边 EF
10、 与直线 DC 相交于点 F（1）求菱形ABCD的面积；（2）求证AEEF24.如图，在平面直角坐标系中，抛物线223yxx与 x 轴相交于点 A、B（点 A 在点 B 的左侧），与 y轴相交于点 C，连接,AC BC（1）求线段 AC 的长；（2）若点为该抛物线对称轴上的一个动点，当PAPC时，求点 P 的坐标；（3）若点 M 为该抛物线上的一个动点，当BCM为直角三角形时，求点 M 的坐标滨州市二滨州市二 O 二二年初中学业水平考试二二年初中学业水平考试数学试题数学试题温馨提示：温馨提示：1.本试卷分第本试卷分第卷和第卷和第卷两部分，共卷两部分，共 4 页满分页满分 120 分考试用时分考
11、试用时 120 分钟考试结束后分钟考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回将试题卷和答题卡一并交回2.答卷前答卷前，考生务必用考生务必用 0.5 毫米黑色签字笔将自己的姓名毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号准考证号，座号填写在试题卷和答座号填写在试题卷和答题卡规定的位置上题卡规定的位置上3.第第卷每小题选出答案后，用卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号答案不能答在试题卷上橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号答案不能答在试题卷上4.第第卷必须卷必须用用 0.5 毫米黑色签字笔作
12、答毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上不能写在试题卷上；如需改动如需改动，先划掉原来的答案先划掉原来的答案，然后再写上新的答案然后再写上新的答案；不准使用涂改液不准使用涂改液，胶带纸，修正带不按以上要求作答的答案无效胶带纸，修正带不按以上要求作答的答案无效第第卷（选择题共卷（选择题共 36 分）分）一一、选择题选择题：本大题共本大题共 12 个小题个小题，在每小题的四个选项中只有一个是正确的在每小题的四个选项中只有一个是正确的，请把正确的选请把正确的选项选出来项选出来，用用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的
13、答案标号涂黑铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑每小题涂对得每小题涂对得 3 分分，满分满分 36 分分1.某市冬季中的一天，中午 12 时的气温是3，经过 6 小时气温下降了7，那么当天 18 时的气温是（）A.10B.10C.4D.4【答案】B【解析】【分析】根据有理数减法计算3 710 即可【详解】解:中午 12 时的气温是3，经过 6 小时气温下降了7，当天 18 时的气温是3 710 故选 B【点睛】本题考查有理数的减法，掌握有理数的减法法则是解题关键2.在物理学中，导体中的电流跟导体两端的电压 U，导体的电阻 R 之间有以下关系：UIR去分母得IRU，那么其变形的依据是（）A.等式
14、的性质 1B.等式的性质 2C.分式的基本性质D.不等式的性质 2【答案】B【解析】【分析】根据等式的性质 2 可得答案【详解】解：UIR去分母得IRU，其变形的依据是等式的性质 2，故选：B【点睛】本题考查了等式的性质 2：等式的两边同时乘以或除以同一个不为零的数，等式仍然成立3.如图，在弯形管道ABCD中，若ABCD，拐角122ABC，则BCD的大小为（）A.58B.68C.78D.122【答案】A【解析】【分析】根据两直线平行，同旁内角互补得到180ABCBCD，进而计算即可【详解】ABCD，180ABCBCD，122ABC，18018012258BCDABC，故选：A【点睛】本题考查了
15、平行线的性质，即两直线平行，同旁内角互补，熟练掌握知识点是解题的关键4.下列计算结果，正确的是（）A.352()aaB.83 2C.382D.1cos302【答案】C【解析】【分析】根据幂的乘方、算术平方根的计算、立方根的化简和特殊角的三角函数值逐一进行计算即可【详解】解：A、2 32 36()aaa，该选项错误；B、82 2 22 2，该选项错误；C、3382 2 22，该选项正确；D、3cos302，该选项错误；故选：C【点睛】本题考查了幂的乘方、算术平方根的计算、立方根的化简和特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则是解题的关键5.把不等式组321132xxxx中每个不等式的解集在同一条数轴
16、上表示出来，正确的为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】先解不等式组求出解集，再在数轴上表示出来即可【详解】321132xxxx 解得3x ，解得5x，不等式组的解集为35x，在数轴上表示为：，故选：C【点睛】本题考查了解一元一次不等式组及在数轴上表示解集，熟练掌握知识点是解题的关键6.一元二次方程22560 xx的根的情况为（）A.无实数根B.有两个不等的实数根C.有两个相等的实数根D.不能判定【答案】A【解析】【分析】先计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况【详解】解：（5）2426-230，方程无实数根故选：A【点睛】本题考查了一元二次方程 ax2bxc0（a0）
17、的根的判别式b24ac：当0，方程有两个不相等的实数根；当0，方程有两个相等的实数根；当0，方程没有实数根7.如图，在O中，弦,AB CD相交于点 P，若48,80AAPD，则B的大小为（）A.32B.42C.52D.62【答案】A【解析】【分析】根据三角形的外角的性质可得CAAPD，求得32C，再根据同弧所对的圆周角相等，即可得到答案【详解】CAAPD，48,80AAPD，32C32BC故选：A【点睛】本题考查了圆周角定理及三角形的外角的性质，熟练掌握知识点是解题的关键8.下列命题，其中是真命题的是（）A.对角线互相垂直的四边形是平行四边形B.有一个角是直角的四边形是矩形C.对角线互相平分的
18、四边形是菱形D.对角线互相垂直的矩形是正方形【答案】D【解析】【分析】分别根据平行四边形，矩形，菱形及正方形的判定定理进行判断即可【详解】对角线互相平分的四边形是平行四边形，故 A 错误，不符合题意；有三个角是直角的四边形是矩形，故 B 错误，不符合题意；对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故 C 错误，不符合题意；对角线互相垂直的矩形是正方形，故 D 正确，符合题意；故选：D【点睛】本题考查了平行四边形，矩形，菱形及正方形的判定定理，熟练掌握知识点是解题的关键9.在同一平面直角坐标系中，函数1ykx与kyx（k 为常数且0k）的图象大致是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据题意中
19、的函数解析式和函数图象的特点，可以判断哪个选项中的图象是正确的【详解】解：根据函数1ykx可得，该函数图象与 y 轴的交点在 x 轴上方，排除 B、D 选项，当 k0 时，函数1ykx的图象在第一、二、三象限，函数kyx 在第二、四象限，故选项 A 正确，故选：A【点睛】本题考查反比例函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答10.今年我国小麦大丰收，农业专家在某种植片区随机抽取了 10 株小麦，测得其麦穗长（单位：cm）分别为 8，8，6，7，9，9，7，8，10，8，那么这一组数据的方差为（）A.1.5B.1.4C.1.3D.1.2【答案】D【解析】【分析
20、】根据方差的计算方法求解即可【详解】解：这组数据的平均数为：88679978 108810 ，方差222222884687829821081.210S ，故选：D【点睛】本题考查了方差的计算方法，熟练掌握求方差的公式是解题的关键11.如图，抛物线2yaxbxc与 x 轴相交于点2,0,6,0AB，与 y 轴相交于点 C，小红同学得出了以下结论：240bac；40ab；当0y 时，26x；0abc 其中正确的个数为（）A.4B.3C.2D.1【答案】B【解析】【分析】根据二次函数的图像与性质，逐一判断即可【详解】解：抛物线2yaxbxc与 x 轴交于点 A2,0、B6,0，抛物线对应的一元二次方
21、程20axbxc有两个不相等的实数根，即24bac0，故正确；对称轴为6222bxa，整理得 4ab0，故正确；由图像可知，当 y0 时，即图像在 x 轴上方时，x2 或 x6，故错误，由图像可知，当 x1 时，0yabc，故正确正确的有，故选：B【点睛】本题考查二次函数的性质与一元二次方程的关系，熟练掌握相关知识是解题的关键12.正方形ABCD的对角线相交于点 O（如图 1），如果BOC绕点 O 按顺时针方向旋转，其两边分别与边,AB BC相交于点 E、F（如图 2），连接 EF，那么在点 E 由 B 到 A 的过程中，线段 EF 的中点 G 经过的路线是（）A.线段B.圆弧C.折线D.波浪
22、线【答案】A【解析】【分析】连接,OG BG，根据题意可知90EBFEOF 则线段 EF 的中点 G 经过的路线是OB的线段垂直平分线的一段，即线段【详解】连接,OG BG，根据题意可知90EBFEOF，12OGBGEF，点 G 在线段 OB 的垂直平分线上则线段 EF 的中点 G 经过的路线是OB的线段垂直平分线的一段，即线段故选：A【点睛】本题考查了线段垂直平分线的判定，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，正方形的性质，掌握以上知识是解题的关键二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 6 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，满分分，满分 24 分分13.若二次根式5x在实数范围内有意义
23、，则 x 的取值范围为_【答案】x5【解析】【分析】根据二次根式有意义的条件得出 x50，计算求解即可【详解】解：由题意知，50 x，解得，5x，故答案为：5x【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，解一元一次不等式熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键14.如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中ABAC，立柱ADBC，且顶角120BAC，则C的大小为_【答案】30#30 度【解析】【分析】先由等边对等角得到BC，再根据三角形的内角和进行求解即可【详解】ABAC，BC，120BAC，180BACBC，180120302C，故答案为：30【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及三角形的内角和定理，熟
24、练掌握知识点是解题的关键15.在 RtABC 中，C=90，AC=5，BC=12，则 sinA=_.【答案】1213【解析】【分析】根据题意画出图形，进而利用勾股定理得出 AB 的长，再利用锐角三角函数关系，即可得出答案【详解】解：如图所示：C=90，AC=5，BC=12，AB=22512=13，sinA=1213BCAB故答案为：1213【点睛】在直角三角形中求正弦函数值是本题的考点，根据勾股定理求出 AB 的长是解题的关键16.若点123(1,)(2,)(3,)AyByCy,都在反比例函数6yx的图象上，则123,y yy的大小关系为_【答案】y2y3 y1【解析】【分析】将点 A（1，y
25、1），B（-2，y2），C（-3，y3）分别代入反比例函数6yx，并求得 y1、y2、y3的值，然后再来比较它们的大小【详解】根据题意，得当 x=1 时，y1=661，当 x=-2 时，y2=632，当 x=-3 时，y3623；-3-26，y2y3 y1；故答案是 y2y3 y1【点睛】本题考查了反比例函数图象与性质，此题比较简单，解答此题的关键是熟知反比例函数的性质及平面直角坐标系中各象限内点的坐标特点，属较简单题目17.若10mn，5mn，则22mn的值为_【答案】90【解析】【分析】将22mn变形得到22mnmn，再把10mn，5mn 代入进行计算求解【详解】解：10mn，5mn，22
26、mn22mnmn2102 5 100 1090故答案为：90【点睛】本题主要考查了代数式求值，完全平方公式的应用，灵活运用完全平方公式是解答关键18.如图，在矩形ABCD中，5,10ABAD若点 E 是边 AD 上的一个动点，过点 E 作EFAC且分别交对角线 AC，直线 BC 于点 O、F，则在点 E 移动的过程中，AFFEEC的最小值为_【答案】255 52【解析】【分析】过点 D 作BMEF交 BC 于 M，过点 A 作ANEF，使ANEF，连接 NE，当 N、E、C三点共线时，AFFEECCNAN，分别求出 CN、AN 的长度即可【详解】过点 D 作DMEF交 BC 于 M，过点 A
27、作ANEF，使ANEF，连接 NE，四边形 ANEF 是平行四边形，,ANEF AFNE，当 N、E、C 三点共线时，AFCE最小，四边形 ABCD 是矩形，5,10ABAD，10,5,90ADBCABCDADBCABC，225 5ACABBC，四边形 EFMD 是平行四边形，DMEF，DMEFAN，EFAC，,DMAC ANAC，90CAN，90MDCACDACDACB，MDCACB，tantanMDCACB，即MCABCDBC，52MC，在Rt CDM中，由勾股定理得225 52DMCDCMAN，在Rt ACN中，由勾股定理得22252CNACAN，AFFEECCNAN，255 52AFF
28、EEC，AFFEEC的最小值为255 52，故答案为：255 52【点睛】本题考查了利用轴对称求最短距离问题，勾股定理，矩形的性质，解直角三角形，平行四边形的判定和性质，熟练掌握知识点，准确作出辅助线是解题的关键三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 个小题，满分个小题，满分 60 分解答时请写出必要的演推过程分解答时请写出必要的演推过程19.先化简，再求值：2344111aaaaa，其中10(1tan452)a【答案】22aa，0【解析】【分析】先算括号内的减法，再将除法变成乘法进行计算，然后根据锐角三角函数，负指数幂和零次幂的性质求出 a，最后代入计算【详解】解：2344111aaa
29、aa 22213111aaaaa222411aaaa222112aaaaa22aa；101tan45122)2(1a ，原式2220222aa【点睛】本题考查了分式的化简求值，锐角三角函数，负指数幂和零次幂的性质，熟练掌握运算法则是解题的关键20.某校为满足学生课外活动的需求，准备开设五类运动项目，分别为 A：篮球，B：足球，C：乒乓球，D：羽毛球，E：跳绳为了解学生的报名情况，现随机抽取八年级部分学生进行调查，并根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图请根据以上图文信息回答下列问题：（1）此次调查共抽取了多少名学生？（2）请将此条形统计图补充完整；（3）在此扇形统计图中，项目 D 所对应的扇
30、形圆心角的大小为_；（4）学生小聪和小明各自从以上五类运动项目中任选一项参加活动，请利用画树状图或列表的方法求他俩选择相同项目的概率【答案】（1）100 名（2）见解析（3）54（4）15【解析】【分析】（1）根据 E 组人数及其所占总体的百分比求出总体人数；（2）通过（1）求出总人数，再求 C 组人数，从而根据人数补全条形图；（3）用 D 组人数占总人数的百分比求出 D 组圆心角占 360的百分比，从而求出 D 对应的圆心角度数；（4）先把全部情况绘制出来，再数出符合条件的情况个数，再计算出符合条件的情况的概率【小问 1 详解】1010%=100（人）【小问 2 详解】C 组的人数为：100
31、-20-30-15-10=25（人）【小问 3 详解】D 组对应的度数为：15360=54100【小问 4 详解】相同的有：AA、BB、CC、DD、EE 五种情况；共有 25 种情况，故相同的情况概率为：51255【点睛】本题考查扇形统计图的读图和计算、条形统计图的绘图、简单概率的计算，掌握这些是本题关键21.如图，已知AC为O的直径，直线PA与O相切于点A，直线PD经过O上的点B且CBDCAB，连接 OP 交 AB 于点 M求证：（1）PD 是O的切线；（2）2AMOM PM【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）连接 OB，由等边对等角及直径所对的圆周角等于 90即可证明；（
32、2）根据直线 PA 与O相切于点 A，得到90OAP，根据余角的性质得到OAMAPM，继而证明OAMAPM，根据相似三角形的性质即可得到结论【小问 1 详解】连接 OB，OAOBOC，,OABOBAOBCOCB ，AC 为O的直径，ABCOBAOBC，CBDCAB，OBACBD，90CBDOBCOBD，PD 是O的切线；【小问 2 详解】直线 PA 与O相切于点 A，90OAP，PD 是O的切线，90AMOAMPOAP ，90OAMPAMPAMAPM，OAMAPM，OAMAPM，AMOMPMAM，2AMOM PM【点睛】本题考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，等腰三角形
33、的性质，熟练掌握知识点是解题的关键22.某种商品每件的进价为 10 元，若每件按 20 元的价格销售，则每月能卖出 360 件；若每件按 30 元的价格销售，则每月能卖出 60 件假定每月的销售件数 y 是销售价格 x（单位：元）的一次函数（1）求 y 关于 x 的一次函数解析式；（2）当销售价格定为多少元时，每月获得的利润最大？并求此最大利润【答案】（1）y30960 1032xx（2）价格为 21 元时，才能使每月获得最大利润，最大利润为 3630 元【解析】【分析】（1）设0ykx b k，把20 x=，360y 和30 x，60y 代入求出 k、b 的值，从而得出答案；（2）根据总利润
34、=每件利润每月销售量列出函数解析式，配方成顶点式，利用二次函数的性质求解可得答案【小问 1 详解】解：设0ykx b k，把20 x=，360y 和30 x，60y 代入可得203603060kbkb，解得30960kb，则y30960 1032xx；【小问 2 详解】解：每月获得利润3096010Pxx 303210 xx 23042320 xx230213630 x 300，当21x 时，P 有最大值，最大值为 3630答：当价格为 21 元时，才能使每月获得最大利润，最大利润为 3630 元【点睛】本题主要考查了一次函数解析式的求法和二次函数的应用，解题的关键是理解题意找到其中蕴含的相等
35、关系，并据此得出函数解析式及二次函数的性质，然后再利用二次函数求最值23.如图，菱形ABCD的边长为 10，60ABC，对角线,AC BD相交于点 O，点 E 在对角线 BD 上，连接 AE，作120AEF且边 EF 与直线 DC 相交于点 F（1）求菱形ABCD的面积；（2）求证AEEF【答案】（1）50 3（2）见解析【解析】【分析】（1）根据菱形的性质可得 ACBD 且 AO=CO，BO=DO，再根据题意及特殊角的三角函数值求出AC 和 BD 的长度，根据菱形的面积对角线乘积的一半即可求解（2）连接 EC，设BAE 的度数为 x，易得 EC=AE，利用三角形的内角和定理分别表示出EFC
36、和ECF的度数，可得EFC=ECF，即 EC=EF，又因为 EC=AE，即可得到 AE=EF【小问 1 详解】解：四边形 ABCD 是菱形，ACBD 且 AO=CO，BO=DO，60ABC30,90ABOAOB AB=10，sin305AOAB，cos305 3BOAB210ACAO，210 3BDBO菱形ABCD的面积=1110 10 350 322ACBD【小问 2 详解】证明：如图，连接 EC，设BAE 的度数为 x，四边形 ABCD 为菱形，BD 是 AC的垂直平分线，AE=CE，AED=CED，EAC=ECA=60-x，ABD=30，AED=CED=30+x，DEF=AEF-AED=
37、120-（30+x）=90-xBDC=12ADC=30EFC=180-（DEF+BDC）=180-（90-x+30）=x+60，CED=30+x，ECD=180-（CED+BDC）=180-（30+x+30）=120-x，ECF=180-ECD=180-（120-x）=x+60，EFC=ECF，EF=EC，AE=CE，AEEF【点睛】本题考查了菱形的性质、菱形面积的求解、特殊角的三角函数值以及三角形的内角和定理，熟练掌握菱形的性质是解题的关键24.如图，在平面直角坐标系中，抛物线223yxx与 x 轴相交于点 A、B（点 A 在点 B 的左侧），与 y轴相交于点 C，连接,AC BC（1）求线
38、段 AC 的长；（2）若点为该抛物线对称轴上的一个动点，当PAPC时，求点 P 的坐标；（3）若点 M 为该抛物线上的一个动点，当BCM为直角三角形时，求点 M 的坐标【答案】（1）10（2）11，-（3）14，或25，或155522，-或155522，-【解析】【分析】（1）根据解析式求出 A，B，C 的坐标，然后用勾股定理求得 AC 的长；（2）求出对称轴为 x=1，设 P（1，t），用 t 表示出 PA2和 PC2的长度，列出等式求解即可；（3）设点 M（m,m2-2m-3），分情况讨论，当222CMBCBM，222BMBCCM，222BMCMBC分别列出等式求解即可【小问 1 详解】2
39、23yxx与 x 轴交点：令 y=0，解得121,3xx，即 A（-1，0），B（3，0），223yxx与 y 轴交点：令 x=0，解得 y=-3，即 C（0，-3），AO=1,CO=3,2210ACAOCO;【小问 2 详解】抛物线223yxx的对称轴为：x=1，设 P（1，t），22221 104PAtt，22221 0313PCtt，24t213t t=-1，P（1，-1）；【小问 3 详解】设点 M（m,m2-2m-3），22222223230323BMmmmmmm，222222202332CMmmmmmm，222300318BC,当222CMBCBM时，222222218323mmmmmm，解得，10m（舍），21m，M（1，-4）；当222BMBCCM时，222222323182mmmmmm，解得，12m ，23m（舍），M（-2，5）；当222BMCMBC时，222222323218mmmmmm，解得，152m，M155522，-或155522，-；综上所述：满足条件的 M 为14，或25，或155522，-或155522，-【点睛】本题是二次函数综合题，考查了与坐标轴交点、线段求值、存在直角三角形等知识，解题的关键是学会分类讨论的思想，属于中考压轴题