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1、第 1页/共 5页学科网（北京）股份有限公司牛栏山一中牛栏山一中 2022-2023 学年度第一学期期中考试数学试卷学年度第一学期期中考试数学试卷一、选择题共一、选择题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1.已知集合21Sxx，02Txx，则ST（）A.0,1B.1,2C.2,2D.1,02.设1,2a，3,4b ，3,2c，则abc（）A.()6,4-B.2C.5D.1,43.下列每组双曲线中渐近线都为33yx 是（）A.2213xy，2213xy B.22162xy，
2、2213yxC.22139yx，22139xyD.22162xy，223yx4.抛物线28yx的准线过双曲线22210yxbb的左焦点，则双曲线的虚轴长为（）A.8B.2 3C.2D.4 35.给出三个等式：1212f x xf xf x，1212f xxf xf x，0f xfx下列函数中不满足任何一个等式的是（）A.lgf xxB.exf x C.sinf xxD.tanf xx6.已知a和b是两个互相垂直的单位向量，cabR，则1是c和a夹角为4的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7.圆22:1C xy上的点P到直线cossin4Rxy的距离为d
3、，点P和在变化过程中，d的最小值为（）第 2页/共 5页学科网（北京）股份有限公司A.1B.2C.3D.48.在平行四边形ABCD中，E是边CD的中点，AE与BD交于点F 若AB a =，ADb，则AF （）A.1344abB.2133ab+rrC.3144abD.1233ab9.函数 sin2f xx图象上存在两点,P s t，,0Q r tt 满足6rs，则下列结论成立的是（）A.162fsB.362fsC.162fs D.362fs 10.已知曲线32222:4Cxyx y，则下列说法正确的有几个（）（1）C关于原点对称；（2）C只有两条对称轴；（3）曲线C上点到原点最大距离是 1；（4
4、）曲线C所围成图形的总面积小于；A.1B.2C.3D.4二、填空题共二、填空题共 5 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 25 分分11.cos,sina，1,1b，若/ab，则tan_12.如图，正六边形ABCDEF的边长为 1，ABBCCDDE _13.若 sinsin044f xaxbxab是奇函数，则有序实数对,a b可以是_（写出你认为正确的一组数即可）14.若函数 2,.x xaf xxxa满足存在tR使 f xt有两个不同的零点，则a的取值范围是_15.已知圆2216xy和定点2,0P，动点M在圆上，Q为PM中点，O为坐标原点则下面说法正确的是_第 3页/共 5页学科网（
5、北京）股份有限公司点Q到原点的最大距离是 4；若OMP是等腰三角形，则其周长为 10；点Q的轨迹是一个圆；OMP的最大值是6三、解答题共三、解答题共 6 小题，共小题，共 85 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程16.已知函数 222cos cos3 cossin2f xxxxx（1）求函数 f x的单调增区间；（2）若 f x在,33mm 上的值域为2,2，求m值17.设ABC的内角 A，B，C 所对边的长分别为 a，b，c，且有2sin cossin coscos sinBAACAC（1）求角A的大小；（2）从下列条件、条件、条件中选一个作为已
6、知，使ABC唯一确定，并求ABC的面积条件：AB边上的高为3；条件：7a，3b；条件：7a，sin3sinBC18.椭圆22:14xy（1）点C是椭圆上任意一点，求点C与点0,2D两点之间距离d的最大值和最小值；（2）A和B分别为椭圆的右顶点和上顶点P为椭圆上第三象限点直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N求22PMPNMANB19.已知椭圆222:104xyCaa的焦点在x轴上，且经过点2,2E，左顶点为D，右焦点为F（1）求椭圆C的离心率和DEF的面积；（2）已知直线1ykx与椭圆C交于 A，B 两点过点B作直线4y 的垂线，垂足为G判断直线AG是否经过定点?若存在，求出这个定点；
7、若不存在，请说明理由20.已知1x 是函数 lnlnln21xf xxaxx的一个极值点第 4页/共 5页学科网（北京）股份有限公司（1）求a值；（2）判断 f x的单调性；（3）是否存在实数m，使得关于x的不等式 f xm的解集为0,?直接写出m的取值范围21.已知有限数列 A：1a，2a，Na（3N 且*NN）各项均为整数，且满足11iiaa对任意2i，3，N 成立记 12NS Aaaa（1）若13a，6N，求 S A能取到的最大值；（2）若2022N，求证：0S A；（3）若 100S AN（这里N是数列的项数），求证：数列 A 中存在1kakN使得100ka 第 1页/共 21页学科网
8、（北京）股份有限公司牛栏山一中牛栏山一中 2022-2023 学年度第一学期期中考试数学试卷学年度第一学期期中考试数学试卷一、选择题共一、选择题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1.已知集合21Sxx，02Txx，则ST（）A.0,1B.1,2C.2,2D.1,0【答案】C【解析】【分析】由并集的定义直接求解.【详解】21Sxx，02Txx，22STxx.故选：C2.设1,2a，3,4b ，3,2c，则abc（）A.()6,4-B.2C.5D.1,4【答案】B【解析】【
9、详解】根据平面向量数量积坐标运算求解即可.【点睛】因为1,2a，3,4b ，3,2c，所以34982 abca cb c.故选：B3.下列每组双曲线中渐近线都为33yx 是（）A.2213xy，2213xy B.22162xy，2213yxC.22139yx，22139xyD.22162xy，223yx【答案】A【解析】第 2页/共 21页学科网（北京）股份有限公司【分析】依次求出各双曲线的渐近线方程即可求解.【详解】因为双曲线2213xy的焦点在x轴上，3a，1b，其渐近线方程为33yx，且双曲线2213xy 的焦点在y轴上，1a，3b，其渐近线方程为33yx，所以选项 A 正确；因为双曲线
10、22162xy的焦点在x轴上，6a，2b，其渐近线方程为33yx，但双曲线2213yx的焦点在y轴上，3a，1b，其渐近线方程为3yx，所以选项 B 错误；因为双曲线22139yx的焦点在y轴上，3a，3b，其渐近线方程为33yx，但双曲线22139xy的焦点在x轴上，3a，3b，其渐近线方程为3yx，所以选项 C 错误；因为双曲线22162xy的焦点在x轴上，6a，2b，其渐近线方程为33yx，但双曲线223yx的焦点在y轴上，1ab，其渐近线方程为yx，所以选项 D 错误.故选：A.第 3页/共 21页学科网（北京）股份有限公司4.抛物线28yx的准线过双曲线22210yxbb的左焦点，则
11、双曲线的虚轴长为（）A.8B.2 3C.2D.4 3【答案】B【解析】【分析】先求出抛物线的准线，从而可得双曲线的c，根据,a b c的关系可得答案.【详解】因为抛物线28yx的准线为2x ，所以由题意可知双曲线的左焦点为2,0，因为214b，所以3b，所以双曲线的虚轴长为2 3.故选：B.5.给出三个等式：1212f x xf xf x，1212f xxf xf x，0f xfx下列函数中不满足任何一个等式的是（）A.lgf xxB.exf x C.sinf xxD.tanf xx【答案】D【解析】【分析】对于 A，利用对数的运算法则检验 1212f x xf xf x即可；对于 B，利用指
12、数的运算法则检验1212f xxf xf x即可；对于 C，利用三角函数诱导公式检验 0f xfx即可；对于 D，举反例逐一判断三个等式即可.【详解】对于 A，因为 lgf xx，所以12121212lglglgf x xx xxxf xf x，故 A 不满足题意；对于 B，因为 exf x，所以12121212ee exxxxf xxf xf x，故 B 不满足题意；对于 C，因为 sinf xx，所以 sinsin sinsin0f xfxxxxx，故 C 不满足题意；对于 D，因为 tanf xx，第 4页/共 21页学科网（北京）股份有限公司所以令12,04xx，则1212tan00,
13、tantan014f x xf xf x，故1212f x xf xf x；令12,04xx，则1212tan1,tantan0044f xxf xf x，故1212f xxf xf x；令4x，则 2tantan1441f xfx ，故 0f xfx；综上：tanf xx不满足任何一个等式，故 D 满足题意.故选：D.6.已知a和b是两个互相垂直的单位向量，cabR，则1是c和a夹角为4的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据向量公式,cosa ca cac 表示出c和a夹角的余弦值，再讨论夹角为4时的取值，最后根据充分条件
14、和必要条件定义选出答案.【详解】21a caabaa b，1a，221cab21os,1ca ca cac ，当1 时，,2cos2a c ，即c和a夹角为4,故1是c和a夹角为4的充分不必要条件故选：A7.圆22:1C xy上的点P到直线cossin4Rxy的距离为d，点P和在变化过程中，d的最小值为（）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】【分析】设出P点坐标，并利用点在圆上得出22001xy，根据点到直线距离公式表达出距离d，利用辅第 5页/共 21页学科网（北京）股份有限公司助角公式化简d，进而得出d的最小值.【详解】解：由题意，在圆22:1C xy中，圆心0,0C，半径r1，点P
15、到直线cossin4xyR的距离为d设00,Pxy，22001xy，0022cossin4cossinxyd，解得：00cossin4dxy在00cossin4dxy中，220000cossin4sin4dxyxy，其中sintantancos，2200sin 24sin 24dxy当sin 21时，d 最小，min143d.故选：C.8.在平行四边形ABCD中，E是边CD的中点，AE与BD交于点F 若AB a =，ADb，则AF （）A.1344abB.2133ab+rrC.3144abD.1233ab【答案】D【解析】【分析】设AFAE 01，根据,B F D三点共线，即,BF BD 共线
16、，可设BFBD ，用,AB AD 表示出关系，即可解出结果.【详解】12AEADDEADAB .设AFAE 01，则1122BFAFABADABABADAB ,第 6页/共 21页学科网（北京）股份有限公司又BDADAB ，且,B F D三点共线，则,BF BD 共线，即R，使得BFBD ，即12ADABADAB ，又,AB AD 不共线，则有12 ，解得2323，所以，22112123323333AFAEADABABADab .故选：D.9.函数 sin2f xx图象上存在两点,P s t，,0Q r tt 满足6rs，则下列结论成立的是（）A.162fsB.362fsC.162fs D.3
17、62fs【答案】B【解析】【分析】根据,P s t,0Q r tt 在 sin2f xx上,可得出222,rskkZ,再根联立6rs,得到s的值,根据0t 缩小s的取值范围,进而代入,66fsfs求值即可.【详解】解:由题知 sin2f xx,T,P s tQ r t均在 sin2f xx上,sin2sin20srt,644Trs,第 7页/共 21页学科网（北京）股份有限公司0222Trs,故有:222,Zrskk,两等式联立有2226rskrs,解得2,Z3skk,sin20st,1122,Z3skk,3sin2sin 2sin2663332fsssk,sin2sin 2sin206633
18、3fsssk,综上选项 B 正确.故选:B10.已知曲线32222:4Cxyx y，则下列说法正确的有几个（）（1）C关于原点对称；（2）C只有两条对称轴；（3）曲线C上点到原点最大距离是 1；（4）曲线C所围成图形的总面积小于；A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】【分析】对于（1）（2），代入,xy ,xyx yy x即可判断曲线C的对称情况；对于（3），利用基本不等式与两点距离公式的几何意义即可判断；对于（4），利用（3）中的结论容易判断.【详解】对于（1），不妨设点,x y在曲线32222:4Cxyx y上，则,xy也在该曲线上，所以曲线C关于原点对称，故（1）正确；对于（2），易
19、知 ,xyx yy x也都在该曲线上，所以曲线C关于x轴、y轴、yx对称，故（2）第 8页/共 21页学科网（北京）股份有限公司错误；对于（3），因为322222224xyx yxy，所以221xy，即221xy，所以曲线C上点到原点最大距离是 1，故（3）正确；对于（4），由（3）得，曲线C所围成的图形落在圆22:1O xy内，且显然是圆内的部分图形，而圆O的面积为2r，所以曲线C所围成图形的总面积小于，故（4）正确；综上：（1）（3）（4）正确，（2）错误，故说法正确的有 3 个.故选：C.二、填空题共二、填空题共 5 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 25 分分11.cos,s
20、ina，1,1b，若/ab，则tan_【答案】1【解析】【分析】利用向量共线的坐标表示和同角三角函数基本关系式进行求解.【详解】由题意，得cossin，则sintan1cos.故答案为：1.12.如图，正六边形ABCDEF的边长为 1，ABBCCDDE _【答案】-1【解析】【分析】由正六边形性质，结合向量线性运算及数量积运算即可【详解】由正六边形性质，60,2ADEADDE，cos2 1 cos,601ABBCCDDEAD DEDADEDA DE .故答案为：-1.13.若 sinsin044f xaxbxab是奇函数，则有序实数对,a b可以是_（写出你认为正确的一组数即可）第 9页/共
21、21页学科网（北京）股份有限公司【答案】1,1（答案不唯一）【解析】【分析】首先根据正弦函数和差角公式将原式化简整理，然后根据奇函数的定义得到参数a，b应该满足的条件，按等式关系选取答案即可.【详解】已知0ab，2222sinsinsincossincos442222f xaxbxaxxbxx22sincos22abxabx，若 f x是奇函数，则0ab即可，可以取1a，1b.故答案为：1,1（答案不唯一）14.若函数 2,.x xaf xxxa满足存在tR使 f xt有两个不同的零点，则a的取值范围是_【答案】,00,1【解析】【分析】画出函数 2,x xaf xxxa的图象，观察图象即可得
22、到答案.【详解】如图所示，画出函数 2,x xaf xxxa的图象.结合图象可知，,00,1a 故答案为：,00,1.15.已知圆2216xy和定点2,0P，动点M在圆上，Q为PM中点，O为坐标原点则下面说法正确的是_点Q到原点的最大距离是 4；第 10页/共 21页学科网（北京）股份有限公司若OMP是等腰三角形，则其周长为 10；点Q的轨迹是一个圆；OMP的最大值是6【答案】【解析】【分析】利用求轨迹方程的方法求出点Q的轨迹，再根据点和圆的位置关系确定点Q到原点的最大距离，再根据几何关系确定OMP的周长，利用余弦定理结合基本不等式得到3cos2OMP 即可求出OMP的最大值.【详解】设00(
23、,),(,),M xyQ x y由中点坐标公式得00222xxyy,所以00222xxyy,因为00(,)M xy在圆2216xy上,所以220016xy,即2222216xy,即2214xy,所以点Q的轨迹是一个圆,方程为2214xy,是以(1,0)A为圆心,2r 为半径的圆,所以点Q到原点的最大距离是1 23AOr,故错误；因为2,0P，所以2,4OPOM,第 11页/共 21页学科网（北京）股份有限公司若OMP为等腰三角形，若2PMOP,则(4,0)M,此时,O P M三点共线，不满足题意，若4PMOM,则(1,15)M,满足题意，所以OMP的周长等于44210，故正确；由以上过程可知Q
24、的轨迹是一个圆,方程为2214xy,所以正确；设OMP，当(4,0)M 时，0OMP，不是最大角，M不为(4,0)时，OMP中，26PM2221121123cos22882OMMPOPMPMPOM MPMPMP,当且仅当12MPMP,即2 3MP 时取得等号，所以6，故正确.故答案为：.三、解答题共三、解答题共 6 小题，共小题，共 85 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程16.已知函数 222cos cos3 cossin2f xxxxx（1）求函数 f x的单调增区间；（2）若 f x在,33mm 上的值域为2,2，求m值【答案】（1）5,12
25、12kkkZ（2）512【解析】【分析】（1）由诱导公式、二倍角公式和两角差的正弦公式，化简函数 f x为一个角的三角函数形式，然后结合正弦函数的性质求解；（2）求出23x的范围，结合正弦函数的性质可求m值【小问 1 详解】第 12页/共 21页学科网（北京）股份有限公司解：已知22()2cos cos3 cossin2cossin3cos2sin23cos22f xxxxxxxxxx132sin2cos22sin 2223xxx增区间为：222232kxk522266kxk51212kxk所以，函数 f x的单调增区间为5,1212kkkZ.【小问 2 详解】解：已知,33xmm ，2223
26、xm，即2233xm，因为，值域为2,2，523212mm.17.设ABC的内角 A，B，C 所对边的长分别为 a，b，c，且有2sin cossin coscos sinBAACAC（1）求角A的大小；（2）从下列条件、条件、条件中选一个作为已知，使ABC唯一确定，并求ABC的面积条件：AB边上的高为3；条件：7a，3b；条件：7a，sin3sinBC【答案】（1）3（2）答案见解析.【解析】【分析】（1）注意到已知等式右边为sinB，可得1cos2A.（2）若选择，结合（1）只能求得 b.第 13页/共 21页学科网（北京）股份有限公司若选择，结合（1）和正弦定理，可求得sinB.若选择，
27、结合（1）和正，余弦定理，可求得 b，c.【小问 1 详解】由题2sin cossin coscos sinsinBAACACB，因sin0B.则1cos2A，因 A 为三角形内角，所以 A3.【小问 2 详解】若选择，设AB边上的高为3ABh，则sinABhbA，得2b.因题目条件不足，故ABC无法唯一确定.若选择，由正弦定理sinsinsinabcABC及（1），有733 211432sinsinBB.因3 213142，又题目条件不足，故无法判断 B 为钝角还是锐角，则ABC无法唯一确定.若选择，由正弦定理sinsinsinabcABC，及sin3sinBC，则3bc.又由余弦定理及（1
28、），有222221071226cosbcacAbcc，得1c，3b.此时ABC唯一确定，1133 3sin1 32224ABCSbcA .综上选择时，ABC唯一确定，此时ABC的面积为3 3418.椭圆22:14xy（1）点C是椭圆上任意一点，求点C与点0,2D两点之间距离d的最大值和最小值；（2）A和B分别为椭圆的右顶点和上顶点P为椭圆上第三象限点直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N求22PMPNMANB第 14页/共 21页学科网（北京）股份有限公司【答案】（1）max2 213d，min1d（2）1【解析】【分析】（1）设00,C xy，01,1y ，计算得到20228333d
29、y，根据二次函数的性质得到最值.（2）过点P作PGx轴于G，过点P作PHy轴于H，设11,P x y，利用相似计算得到答案.【小问 1 详解】设00,C xy，01,1y ，则220014xy，2002000222282348333dCDxyyyy，当023y 时，max282 2133d，当01y 时，min1d.【小问 2 详解】如图所示：过点P作PGx轴于G，过点P作PHy轴于H，设11,P x y，2222212114PGOHOxyOAOBMPNMANB19.已知椭圆222:104xyCaa的焦点在x轴上，且经过点2,2E，左顶点为D，右焦点为F（1）求椭圆C的离心率和DEF的面积；（
30、2）已知直线1ykx与椭圆C交于 A，B 两点过点B作直线4y 的垂线，垂足为G判断直线AG第 15页/共 21页学科网（北京）股份有限公司是否经过定点?若存在，求出这个定点；若不存在，请说明理由【答案】（1）22e；22DEFS（2）直线AG经过定点50,2，理由见详解.【解析】【分析】（1）由椭圆C经过点2,2E，代入椭圆方程求得28a，结合222cab，解得c的值，进而求得离心率和DEF的面积；（2）由直线1ykx与椭圆C交于 A，B 两点，则说明斜率存在，所以分0k，0k，进行讨论找出直线过得点.【小问 1 详解】由题意，椭圆222:104xyCaa经过点2,2E，可得24214a，解
31、得282 2aa，即椭圆22:184xyC，因为222844cab，即2c，所以椭圆C的离心率为2222 2cea，又由左顶点为D，右焦点为F，所以(2 2,0),(2,0)DF，所以DEF的面积为1122 222222DEFESDFy【小问 2 详解】由直线1ykx与椭圆C交于 A，B 两点所以当0k 时，直线为1y 与椭圆C交于 A，B 两点由221841xyy解得：6x 令(6,1),(6,1)AB，此时(6,4)G第 16页/共 21页学科网（北京）股份有限公司所以4 1646(6)AGk 所以直线6:1(6)4AGlyx 即65:42AGlyx，令502xy所以直线AG是经过定点50
32、,2同理若(6,1),(6,1)AB，则65:42AGlyx 令502xy所以直线AG是经过定点50,2当0k 时，由直线1ykx与椭圆C交于 A，B 两点设1122(,),(,)A x yB xy联立方程组221184ykxxy，整理得22(21)460kxkx，则12122246,2121kxxx xkk，所以121212122332xxkx xx xxxk设点2(,4)G x，所以1124AGykxxAG的方程为11221212444()()4yyyxxyxxxxxx，令0 x，可得2121211212444x yxxx yyxxxx121121212124(1)4xx kxxxkx x
33、xxxx第 17页/共 21页学科网（北京）股份有限公司121212342xxkxxkxx121212121233554522222xxxxxxxxxx，所以直线AG经过定点50,2，综上可得，直线AG经过定点50,2.20.已知1x 是函数 lnlnln21xf xxaxx的一个极值点（1）求a值；（2）判断 f x的单调性；（3）是否存在实数m，使得关于x的不等式 f xm的解集为0,?直接写出m的取值范围【答案】（1）2a（2）函数在0,1上单调递增，在1,上单调递减.（3）存在，,ln2m【解析】【分析】（1）求导得到导函数，根据 10f 计算得到答案.（2）求导得到 2ln1xfxx
34、，根据导数的正负得到单调区间.（3）先证明ln 1xx，ln 11xx，计算得到 ln2f x，且 2ln21f xx，得到答案.【小问 1 详解】lnlnln21xf xxaxx，则 212111 lnafxxaxxxx，2111 l21024n211aafxxaxaxx ，解得2a.第 18页/共 21页学科网（北京）股份有限公司 221n2ln22l1111xfxxxxxxx，当0,1x时，()0fx，函数单调递增；当1,x时，0fx，函数单调递减.故1x 是函数的极大值点，满足.【小问 2 详解】2ln1xfxx，当0,1x时，()0fx，函数单调递增；当1,x时，0fx，函数单调递减
35、.【小问 3 详解】ln1lnln1lnlnln1ln2ln211xxxxxf xxxxx，当0,x，易知ln1ln0 xx，ln10 x，故 ln2f x.故ln2m，满足条件.当0,x时，设 ln 1g xxx，故 11011xgxxx ，故 00g xg，即ln 1xx，当0,x时，设 ln 11h xxx，11211212 1xh xxxx，当0,3x时，21021xh xx，函数单调递增；当3,x时，21021xh xx，函数单调递减；故 3ln420h xh，故ln 11xx.11ln 1ln112ln2ln2ln2111xxxxxxf xxxx，第 19页/共 21页学科网（北京
36、）股份有限公司即 f x可以无限接近ln2.综上所述：,ln2m.【点睛】本题考查了根据极值点求参数，利用导数求函数的单调区间，不等式恒成立问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中放缩的思想是解题的关键.21.已知有限数列 A：1a，2a，Na（3N 且*NN）各项均为整数，且满足11iiaa对任意2i，3，N 成立记 12NS Aaaa（1）若13a，6N，求 S A能取到的最大值；（2）若2022N，求证：0S A；（3）若 100S AN（这里N是数列的项数），求证：数列 A 中存在1kakN使得100ka【答案】（1）33（2）证明见详解（3）证明见详解【解析】【分析
37、】（1）根据题意结合累加法和等差数列求和运算求解；（2）根据（1）中结论，结合数的奇偶性分析证明；（3）令100iiba，根据题意利用反证法证明.【小问 1 详解】11iiaa，则11iiaa或11iiaa，设1,1,1,2,.,1imiN，即11,2iiiaamiN，当2i 时，则 1211111212.iiiiiiaaaaaaaammma，故 121111121121.NNS Aaaaaamammammm112112.NNaNmNmm，若 S A能取到的最大值，则1im=，此时 11112.12N NS ANaNNNa，若13a，6N，则 S A能取到的最大值为6 56 3332.【小问
38、2 详解】若2022N，则由（1）可得：1122021202220212020.S Aammm，第 20页/共 21页学科网（北京）股份有限公司记满足1im 中的 i 依次为12,.,nk kk，则 11211202220212020.1220222022.202220221011 2021220222022nS Aakkkak，112,2022,2022,.,2022nakkk均为整数，则 1122022,220222022.2022nakkk为偶数，1011 2021为奇数，S A为奇数，故 0S A.【小问 3 详解】记100,1,2,.,iibaiN，则有限数列 B：1b，2b，Nb满
39、足11iibb对任意2i，3，N 成立，则 1221100100.1001000NNaaaSS BbbAbN，11iibb，则对2,3,.,iN，均有1iibb，即数列 nb不是常数列，设数列 nb的最大项为M，最小项m，则0,0Mm，反证：假设对1,2,.,0iiNb，设满足0ib 中的 i 依次为12,.,nt tt，则必存在,1,2,.,jtjn，使得10,0jjttbb或10,0jjttbb，当10,0jjttbb时，11,1jjttbb，则12jjttbb，这与11jjttbb相矛盾，当10,0jjttbb时，11,1jjttbb，则12jjttbb，这与11jjttbb相矛盾，故假设不成立，即数列 B 中存在1kbkN使得1000kkba，故数列 A 中存在1kakN使得100ka.【点睛】思路点睛：数列与函数的综合问题主要有以下两类：已知不等式条件，解决数列问题，此类问题一般利用不等式性质研究数列问题；已知数列条件，解决不等式问题，解决此类问题一般要充分利用数列的范围、公式、求和方法对式子化简变形.