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1、20232023 届广东省四校高三第一次联考届广东省四校高三第一次联考高三高三 数学数学一一、选择题选择题：本题共本题共 8 8 小题小题，每小题每小题 5 5 分分，共共 4040 分分在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要只有一项是符合题目要求的求的1.设集合?|?0，集合?|?0，则?()A.?|?B.?|?C.?|0?D.?|?2.设(?，则|?|()A.?B.?C.?D.?3.已知向量?，?为单位向量，则|?|?|(?0?是?的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.已知(?(?为常数?的展开式中所有项的系数和与
2、二项式的系数和相等，则该展开式中的常数项为()A.?90B.?0C.?0D.905.已知随机变量?6?，?，且?，?，则?()A.?B.?C.?D.?66.德国数学家米勒曾提出最大视角问题，这一问题一般的描述是：已知点?、?是?鴘?的 鴘?边上的两个定点，?是 鴘?边上的一个动点，当?在何处时，?最大？问题的答案是：当且仅当?的外接圆与边 鴘?相切于点?时，?最大?人们称这一命题为米勒定理?已知点?、?的坐标分别是(0?，(0?，?是?轴正半轴上的一动点，当?最大时，点?的横坐标为()A.?B.?C.?D.?7.设函数xxxxxf)1ln(sin)(2，则满足0)23()(xfxf的x的取值范
3、围是()A.），（3B.），（1C.）（3,D.）（1,8.已知双曲线?0，?0 的右焦点为?，左顶点为?，?为?的一条渐近线上一点，延长?交?轴于点?，直线?经过 鴘?(其中 鴘 为坐标原点?的中点?，且 鴘?，则双曲线?的离心率为()A.?B.?C.?D.?ADBCFE二选择题二选择题:本题共本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全全部选对的得部选对的得 5 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 0 分分.9.对两个变量?和?进行回归分析
4、，得到一组样本数据(?，(?，(?，(?0?0?则下列结论正确的是()A.若其经验回归方程为?0?8?，当解释变量 x 每增加 1 个单位，预报变量?一定增加 0.8 个单位B.若其经验回归方程?必过点(?，?，则?0?0 7?C.若根据这组数据得到样本相关系数|?|0?98，则说明样本数据的线性相关程度较强D.若用相关指数R?来刻画回归效果，回归模型 1 的相关指数R?0?，回归模型 2 的相关指数R?0?68，则模型 1 的拟合效果更好10.为了得到函数?ln(e?的图象，可将函数?ln?的图象()A.纵坐标不变，横坐标伸长为原来的 e 倍B.向上平移一个单位长度C.纵坐标不变，横坐标缩短
5、为原来的?倍D.向下平移一个单位长度11.已知点 O 为坐标原点，直线?与抛物线?相交于 A、B 两点，则()A.|?|8B.鴘?鴘?C.?鴘?的面积为?D.线段?的中点到?轴的距离为?12.如图，在棱长为 1 的正方体?中，E 为侧面?的中心，?是棱?的中点，若点?为线段?上的动点，?为?所在平面内的动点，则下列说法正确的是()A.?的最小值为?8B.若?，则平面?截正方体所得的面积为98C.若?与?所成的角为?，则?点的轨迹为双曲线的一部分D.若正方体绕?旋转?角度后与其自身重合，则?的最小值是?三三填空题填空题：本题共：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分1
6、3.已知函数?(?ln?，则函数?(?的零点个数为_个?14.?的内角?，?，?的对边分别为?，?，?，已知?，?sin?sin?，则 cos?的值为_?15.?是公差为?的等差数列?的前?项和，若数列?也是等差数列，则?_.16.在 Rt?中，已知?60o，?90o，?，则?的内接正?边长的最小值为_.四解答题四解答题:本题共本题共 6 6 小题，共小题，共 70 分分17.（10 分）已知数列?的前?项和为?，且?.（1）求数列?的通项公式；（2）保持数列?中各项先后顺序不变，在?与?之间插入?个 1，使它们和原数列的项构成一个新的数列?，记?的前项和为?，求?0的值.18.（12 分）在
7、?中，内角?，?，?所对的边分别为?，?，?，D 为边?上一点，若?.（1）证明：?平分?；（2）若?为锐角三角形，?7，?8，?，求 AD 的长.19.（12 分）每年的 3 月 21 日是世界睡眠日，保持身体健康的重要标志之一就是有良好的睡眠，某机构为了调查参加体育锻炼对睡眠的影响，从辖区内同一年龄层次的常参加体育锻炼和不常参加体育锻炼的人中，各抽取了100 人，通过问询的方式得到他们在一周内的睡眠时间（单位：小时），并绘制出如下频率分布直方图（1）若每周的睡眠时间不少于 44 小时的列为“睡眠足”，每周的睡眠时间在 44 小时以下的列为“睡眠不足”，请根据已知条件完成下列22列联表，并依
8、据小概率值 0?0?的独立性检验，分析“睡眠足”与“常参加体育锻炼”是否有关?睡眠足睡眠不足总计常参加体育锻炼人员不常参加体育锻炼人员总计（2）现从常参加体育锻炼的样本人群中按睡眠是否充足来采用分层抽样法抽取 8 人做进一步访谈，然后从这 8 人中随机抽取 2 人填写调查问卷，记抽取的两人中睡眠足的人数为?，求?的分布列及数学期望;不常参加体育锻炼人员不常参加体育锻炼人员常参加体育锻炼人员常参加体育锻炼人员频率频率组距组距频率频率组距组距（3）用此样本的频率估计总体的概率，从该辖区随机调查常参加体育锻炼的 3 名人员，设调查的 3 人中睡眠足的人数为?，求?的方差参考公式：22()()()()
9、()n adbcab cd ac bd，其中nabcd 0.100.050.0100.001x2.7063.8416.63510.82820.（12 分）如图，四棱锥?中，底面?是直角梯形，AB/CD，?90，?，?，?6，侧面?为等边三角形.（1）求证：平面?平面?；（2）在棱?上是否存在点?，使得二面角?的大小为?？若存在，求出?的值；若不存在，请说明理由.21.（12 分）已知椭圆?的左右顶点为?、?，直线?.已知 鴘 为坐标原点，圆?过点 鴘、?交直线?于?、?两点，直线?、?分别交椭圆于?、?.（1）记直线?的斜率分别为?、?，求?的值;（2）证明直线?过定点，并求该定点坐标.22.
10、（12 分）已知?(?（1）求?(?的单调区间;（2）当?时（?为自然对数的底数），若对于?(0?，不等式?(?(?ln?恒成立，求实数?的取值范围.20232023 届广东省四校高三第一次联考届广东省四校高三第一次联考数学试题参考答案数学试题参考答案一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分题号12345678答案DACABCAD二、选择题：本题共二、选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分9.BC10.BC11.AC12.BD三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共
11、分，共 20 分分13.114.?15.?或?16.?7四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分分17.(10分）（1）当1n时，,32,1111SSa所以即51a-1分当111122232322nnnnnnnnSSa,n，-3分显然51a不符合上式，所以数列 na的通项公式为22151nnann-5分（2）因为在ka与1ka之间插入k个1，所以ka在 nb中对应的项数为21121kkkkn当9k时，452109，当10k时，5521110所以5510459ba,ba，且1504746bbb，-8分529822558218192150aaaT5562122469-1
12、0分18.（12 分）解：（1）在三角形?中，由正弦定理得?，在三角形?中，由正弦定理得?，-2 分因为?与?互补，所以 sin?sin?，由题意得?，所以 sin?sin?，即?，所以?平分?.得证；-5 分（2）?中，由余弦定理 cos?得：cos?8?7?8?解得?或?-7 分若?,则有：?,则 B 为钝角，不合题意，舍去；-8 分若?,则有：?,则 B 为锐角，合题意，所以?由（1）知：?78,所以?7?，?8?-10 分在?中，由余弦定理得：?cos?解得：AD 8?7所以 AD 8?7-12 分19.（12 分）解：（1）常参加体育锻炼人员“睡眠足”的人数为：(0.0425 40.
13、0625 40.0625 40.024)10075 ，则“睡眠不足”的人数为 25；不常参加体育锻炼人员“睡眠足”的人数为：0.0725 40.035 40.015 40.015 455 ,则“睡眠不足”的人数为 45；列联表如下：睡眠足睡眠不足总计常参加体育锻炼人员7525100不常参加体育锻炼人员5545100总计13070200-2 分零假设0H：睡眠足与常参加体育锻炼无关因为?00?(7?0?00?70?00?8?79?6?6?-4 分根据小概率值 0?0?的独立性检验，推断0H不成立，所以认为“睡眠足”与“常参加体育锻炼”有关.-5 分（2）由题意知，常参加体育锻炼的样本人群中睡眠足
14、和睡眠不足的人数比为 75:25=3:1，用分层抽样法抽取8 人，其中睡眠足的有 6 人，睡眠不足的有 2 人-6 分从这 8 人随机抽取 2 人，则X的所有取值为 0，1，2.026228C C10C28P X，116228C C1231=C287P X，206228C C152C28P X；所以分布列为X012P128371528-9 分（说明：全对给 3 分，不全对时求出两个概率给 2 分）数学期望13153012287282E X -10 分（3）由题意，该辖区常参加体育锻炼的人群中睡眠足的概率为7?00?，由题意知：?鴘?(?，?-11 分?(?=9?6-12 分20.（12 分）解
15、：（1）取?中点?，连接?、?，连接?.?为等边三角形，?，-1 分?90，?，?又?/?，?60，又?，?为等边三角形，?，?且?-3 分?中?90，?AE，又?面?，?面?，且?面?，-4 分又?面?，面?面?.-5 分（2）由（1），以点?为坐标原点，建系如图，则?(0?0?0?，?(?0?0），?(0?0?，?(0?0?，?(0?0?，?(?0?，则?(?-6 分假设存在点?，使得二面角?的大小为?，则设?(?，?0?，-7 分则?(?(?，显然面 ABC 的一个法向量为?(0?0?，-8 分又?(0?0?，CQ?(?(?，设面 BCQ 的一个法向量为?(?，则?0?0，即?0?(?(
16、?0解得?(?0?，-10 分由题|cos?|，?(?，解得?或者?（舍）-11 分则?.-12 分21.(12 分）(1)由已知可得?为圆?的直径，则1ONOMkk记?(?(?，则?9-4 分(2)?9-5 分由已知直线 PQ 存在斜率，记其方程为mkxy代入4422yx有0)4m48)41(222（kmxxk记),(),x2211yxQyP（，则当0时有22212214144,418kmxxkkmxx-7 分91222121)(x(xyykkAQAP 104)(29212121xxxxyy22222121221414)(kkmmxxkmxxkyy，代入（1）式化简有0)2)(1013020
17、161322kmkmkkmm，（当),1310(:,1310 xkylkm过定点（?0?，0）当km2时，)2(:xkyl，过定点 A（?，0），舍去-11 分综上有，直线l过定点（?0?，0）-12 分xyNoABMQP22.（12 分)解：?(?(?当?0 时，?(?0，?(?在 R 上单调递增-1 分当 a?0 时，由?(?0，?ln?当?ln?时，?(?0，?(?在（?，ln?）上单调递减当?ln?时，?(?0，?(?在（ln?，）上单调递增-3 分综上有：当?0 时，?(?在 R 上单调递增；当 a?0 时，?(?在（?，ln?）上单调递减，?(?在（ln?，）上单调递增.-4 分（2）由已知?(?,因为对于?(0?，ex?(?ln?所以?(?ln?e?ln?(?ln?设?ln?）,则e?(?,?）-7 分e?0,?）记?(?e?,?）?(?e?t当?时，?(?0，(?在?)上单调递增;(?(?0 恒成立.-9 分当?时，?(?0，?ln?(?),(?在(?ln?上单调递减，则(ln?(?0 与(?0 矛盾；-11 分综上，当?时，?)(?0 恒成立，即ex?(?ln?恒成立.-12 分