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1、高三第四次月考数学(理科)试卷第页(共 2 页)学科网（北京）股份有限公司1银川一中 2023 届高三年级第四次月考理 科 数 学注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2作答时，务必将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的1若全集，集合，则图中阴影部分表示的集合为A.B.C.D.2设 是虚数单位，则复数在复平面内所对应的点位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3等比数列中，a2=4,a4=16,
2、则 a2与 a4的等比中项为A8B10C8D104设 l 是直线，是两个不同的平面，则下列说法正确的是A若 l，l，则B若 l，l，则C若，l，则 lD若，l，则 l5“1n”是“幂函数 22333nnf xnnx在0,上是减函数”的一个（）条件A.充分不必要B必要不充分C充要D既不充分也不必要6图中阴影部分的面积是A2 3B92 3C323D3537已知函数()(ln1)()f xaxx aR在区间(e,)内有最值，则实数 a 的取值范围是A(e,)Be,2C(,eD(,e)8如图为一个三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为A13B23C12D439在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为
3、a，b，c，3A，AD 是A 的角平分线，3AD，1AB，则2bc的最小值是A6B32 2C32 2D1010圆是中华民族传统文化的形态象征，象征着“圆满”和“饱满”，是自古以和为贵的中国人所崇拜的图腾如图，AB是圆O的一条直径，且|4AB C，D是圆O上的任意两点，|2CD，点P在线段CD上，则PA PB 的取值范围是A1,2B3,2C3,4D1,011已知4，32，4sin25，2cos10，则A4或43B4C34D.4512设51,10sin0.01209abc，则AbacBcbaCcabDbca二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在答题卡的相应位置13函
4、数axexfx)(在处的切线与直线052 yx平行，则实数14已知向量，满足，且，则向量，的夹角为15已知函数 1cos032f xx，将 fx的图象上所有点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得到函数 g x的图象，已知 g x在0,上恰有 5 个零点，则的取值范围是_.16已知三棱锥 SABC 的所有顶点都在球 O 的球面上，SA平面 ABC，2SA，若球 O的表面积为 16，则三棱锥 SABC 的体积的最大值为_.高三第四次月考数学(理科)试卷第页(共 2 页)学科网（北京）股份有限公司2三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题考
5、生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答（一一）必必考考题题：共共 60 分分17.（本小题 12 分）己知数列的前项和为，且，_ 请在，成等比数列，这三个条件中任选一个补充在上面题干中，并解答下面问题求数列的通项公式若 bn=an1 求数列2nnb的前项和注注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分18.（本小题 12 分）如图 1 是半圆D（以AB为直径）与 RtABC 组合成的平面图，其中90BAC，图2 是将半圆D沿着直径折起得到的，且半圆D所在平面与 RtABC 所在平面垂直，点E是AB的中点(1)求证：BECE；(2)若24BCAC，求二面角 E-BC-D 的平
6、面角的正切值19.（本小题 12 分）如图，在直径为 1 的圆O中，作一关于圆心对称、邻边互相垂直的十字形，其中0yx（1）将十字形的面积表示成的函数；（2）求当为何值时有十字形面积的最大值，并求出最大值20.（本小题 12 分）如图，在四棱锥PABCD中，底面 ABCD 为菱形，3BAD，Q 为 AD 的中点，2PAPDAD.(1)点 M 在线段 PC 上，13PMPC，求证：/PA平面 MQB；(2)在（1）的条件下，若6PB，求直线 PD 和平面 MQB 所成角的大小.21.（本小题 12 分）已知函数 elnxfxxaxx（Ra）(1)当0a 时，f xm有两个实根，求m取值范围；(2
7、)若方程 0fx 有两个实根12,x x，且12xx，证明：12212eexxx x.（二二）选选考考题题：共共 10 分分请请考考生生在在第第 22、23 题题中中任任选选一一题题作作答答如如果果多多做做，则则按按所所做做的的第第一一题题计计分分22.（本小题满分 10 分）（选修 4-4：坐标系与参数方程）已知直线 l 的参数方程为21,222xtyt （t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为2223sin4(1)求直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程；(2)已知直线 l 与曲线C相交于P，Q两点，点M的直角坐标为(1,0)
8、，求|MPMQ23.（本小题满分 10 分）（选修 4-5：不等式选讲）已知cba,均为正数，且12cba，证明：(1)若cb，则811ba;(2)19994222cba高三第四次月考数学(理科)试卷第页(共 2 页)学科网（北京）股份有限公司3银银川川一一中中 2 20 02 23 3 届届高高三三第第四四次次月月考考数数学学(理理科科)（参参考考答答案案）一一、选选择择题题题题号号123456789101112答答案案DBCBACABCDCB二、填空题二、填空题13.114.15.2，）16.3 32三、解答题三、解答题17.解：因为解：因为+=+，18.所以所以+=+，即，即+=+，19
9、.所以数列所以数列 是首项为是首项为，公差为，公差为的等差数列的等差数列 2 分分20.()选选：21.由由+=，得，得+=，22.即即=，23.所以所以=，解得，解得=4 分分24.所以所以=+()=+()=+，25.即数列即数列的通项公式为的通项公式为=+6 分选分选：由：由，成等比数列，得成等比数列，得(+)=(+)，则，则+=+，所以，所以=，4 分所以分所以=+()=+()=+6 分选分选：因为：因为=+=+，所以，所以+=，所以，所以=，4 分所以分所以=+()=+()=+6 分分(2)由题可知由题可知 bn=an-1=n，则，则=，8 分分(3)则则=+，(4)=+，(5)由由-
10、得：得：=+10 分分=（）+所以所以=+（）+，12 分分18.解：（解：（1）AB是半圆是半圆D的直径，的直径，BEAE，2 分分90BAC，即，即ABAC，又平面，又平面ABE平面平面ABCAB，且平面，且平面ABE平面平面,ABC AC 平面平面ABC，AC平面平面ABE，又，又BE 平面平面ABE，BEAC 4 分分又又ACAEA，AC平平面面ACE，AE 平平面面ACE，BE平平面面ACE，又又CE 平平面面ACE，BECE；6 分分（2）AB 为为直直径径且且点点E是是AB的中点的中点 为等腰直角三角形又点为等腰直角三角形又点为为的中点的中点 又平面与又平面与 ABE平面平面 A
11、BC 且平面与且平面与 ABE平面平面 ABC=AB DE平面平面 ABC 8 分则过点分则过点 E 做做 BC 的垂线交的垂线交 BC 于点于点 H，连接，连接 DH，得，得DHE 为二面角为二面角 E-BC-D 的平面角的平面角 10 分又因在分又因在 Rt中中 DH=23DE=tanDHE=2即：二面角即：二面角 E-BC-D 的平面角的正切值为的平面角的正切值为 2.12 分分19.解：（解：（1）设十字形面积为）设十字形面积为S，如图所示：，如图所示：cos,sinxy所以所以2222yxSxyxxyx，22sincoscos,42 6 分（分（2）22sincoscosS，11si
12、n2cos22252 551sin2cos2255251sin 222（设（设为锐角且为锐角且1tan2），当），当sin 21，即，即22时，时，S最大即当最大即当42时，十字形取得最大面积，时，十字形取得最大面积，max5151222S 12 分分20.解：（解：（1）证明：连接）证明：连接 AC 交交 BQ 于于 N连接连接 MN，(1 分分)因为因为/AQ BC，所以，所以ANQCNB，(2 分分)所以所以12AQANBCNC，所以，所以13ANAC，又，又13PMPC，(4 分分)所以所以/PA MN，因为，因为PA 平面平面 MQB，MN平面平面 MQB，所以，所以/PA平面平面
13、MQB；(5 分分)（2）连接）连接 BD，由题意，由题意,ABDPAD都是等边三角形，因为都是等边三角形，因为 Q 是是 AD 中点，所以中点，所以,PQAD BQAD，又，又PQBQQ，,PQ BQ 平面平面 PQB，所以，所以AD 平面平面 PQB，3,6PQBQPB，在，在PQB中，中，222PQBQPB，所以，所以2PQB，高三第四次月考数学(理科)试卷第页(共 2 页)学科网（北京）股份有限公司4所所以以PQ平平面面 ABCD，以以点点 Q 为为原原点点，以以QA，QB，QP 分分别别为为 x，y，z 轴轴的的正正方方向向建建立立空空间间直直角角坐坐标标系系，(6 分分)则则0,0
14、,0,1,0,0,0,3,0,2,3,0,1,0,0,0,0,3QABCDP，由由13PMPC ，可可得得23 2 3,333M，所所以以23 2 3,0,3,0333QMQB .设设平平面面 MOB 的的法法向向量量,mx y z，232 3033330QM mxyzQB my .(8分分)可可取取3,0,1xyz，则则3,0,1m，(9分分)直直线线 PD 的的方方向向向向量量1,0,3PD ，(10分分)设设直直线线 PD 和和平平面面 MQB 所所成成角角为为，则则333sincos,222PD mPD mPDm 即即直直线线 PD 和和平平面面 MQB 所所成成角角的的大大小小为为6
15、0.(12 分分)21.解解:（1）fx的的定定义义域域为为0,，0,e,1 e0 xxaf xxfxx，fx在在0,上上单单调调递递增增，所所以以m的的取取值值范范围围是是.(4分分)（2）fx的的定定义义域域为为0,，elnelne0 xxxfxxaxxxax有有两两个个不不相相等等的的实实数数根根，令令extx，由由（1）知知exyx在在0,上上递递增增，则则0t，则则 lnp ttat 有有两两个个不不相相等等的的零零点点12,t t，121122e,exxtxtx，(6 分分)1122ln0ln0tattat，21212121lnln,lnlnatttt atttt.要要证证1221
16、2eexxx x，只只需需证证 12212eeexxxx，即即证证1212lnelne2xxxx，即即证证12lnln2tt，(8 分分)221121122122111 lnlnlnlnln1tttttttttttttt，故故只只需需证证2211211 ln21tttttt，不不妨妨设设120tt，令令211tt，则则只只需需证证1ln21，只只需需证证4ln201，令令 4ln211s，222114011s，所所以以 10ss，即即当当1时时，4ln201成成立立.所所以以12lnln2tt，即即 12212eeexxxx，所所以以12212eexxx x.(12 分分)22.【答答案案】(
17、1)10 xy，2214xy；(2)8 25.（1）由由21,222xtyt （t 为为参参数数），可可得得 l 的的普普通通方方程程为为10 xy；2 分分由由曲曲线线 C 的的极极坐坐标标方方程程2223sin4及及222,xysiny可可得得22234xyy，整整理理得得2214xy，5 分分所所以以曲曲线线 C 的的直直角角坐坐标标方方程程为为2214xy（2）易易知知点点 M 在在直直线线 l 上上，将将 l 的的参参数数方方程程代代入入 C 的的直直角角坐坐标标方方程程，得得222214422 tt，即即252 260tt，7 分分设设 P，Q 对对应应的的参参数数分分别别为为12,t t，则则121 22 26,55 ttt t，9 分分因因为为1 20t t，高三第四次月考数学(理科)试卷第页(共 2 页)学科网（北京）股份有限公司5所以所以2212121 22 268 244555MPMQttttt t10 分分23.解：解：()因为因为=且且，均为正数，所以均为正数，所以+=1 分则分则(+)(+)=+=，4 分则当且仅当分则当且仅当=时等号成立，时等号成立，5 分故分故+，()因为因为+=，由柯西不等式得，由柯西不等式得(+)(+)(+)=8 分故当且仅当分故当且仅当=且且+=时等号成立即当且仅当时等号成立即当且仅当=，=，=时成立则时成立则+10 分分