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1、精品文档专题十二 三视图及空间几何体的计算问题1一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么这个几何体不可以是()A球 B三棱锥 C正方体 D圆柱答案：D球的三视图都是圆；三棱锥的三视图可以都是全等的三角形；正方体的三视图都是正方形；圆柱的底面放置在水平面上，那么其俯视图是圆，正视图是矩形，故应选D.2某三棱锥的三视图如下图，该三棱锥的外表积是()A286 B306C5612 D6012答案：B该三棱锥的直观图，如下图，其中侧面PAC底面ABC，PDAC，ACBC，可得BC平面PAC，从而BCPC.故SPAC5410；SABC5410；PC5，所以SPBC4510；由于PB，而AB，故BAP
2、为等腰三角形，取底边AP的中点E，连接BE，那么BEPA，又AEPA，所以BE6，所以SPAB266.所以所求三棱锥的外表积为1010106306.3三棱锥SABC的所有顶点都在球O的球面上，ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC2，那么此棱锥的体积为()A. B. C. D.答案：A在直角三角形ASC中，AC1，SAC90，SC2，SA；同理SB.过A点作SC的垂线交SC于D点，连接DB，因SACSBC，故BDSC，故SC平面ABD，且平面ABD为等腰三角形，因ASC30，故ADSA，那么ABD的面积为1，那么三棱锥的体积为2.4一个几何体的三视图如下图，那么该几何体的外表积为
3、_解析利用三视图得几何体，再求外表积由三视图可知，该几何体是一个长方体中间挖去一个圆柱，其中长方体的长、宽、高分别是4、3、1，中间被挖去的是底面半径为1，母线长为1的圆柱，所以几何体的外表积等于长方体的外表积减去圆柱两个底面的面积，再加上圆柱的侧面积，即为2(434131)2238.答案38在空间几何体局部，主要是以空间几何体的三视图为主展开，考查空间几何体三视图的识别判断，考查通过三视图给出的空间几何体的外表积和体积的计算等问题试题的题型主要是选择题或者填空题，在难度上也进行了一定的控制，尽管各地有所不同，但根本上都是中等难度或者较易的试题该局部要牢牢抓住各种空间几何体的结构特征，通过对各
4、种空间几何体结构特征的了解，认识各种空间几何体的三视图和直观图，通过三视图和直观图判断空间几何体的结构，在此根底上掌握好空间几何体的外表积和体积的计算方法.必备知识正棱锥的性质侧棱相等，侧面是全等的等腰三角形，斜高相等；棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影构成一个直角三角形；棱锥的高、侧棱和侧棱在底面内的射影也构成一个直角三角形；某侧面的斜高、侧棱及底面边长的一半也构成一个直角三角形；侧棱在底面内的射影、斜高在底面内的射影及底面边长的一半也构成一个直角三角形三视图(1)三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线画三视图的根本要求：正俯一样长，俯侧一
5、样宽，正侧一样高(2)三视图排列规那么：俯视图放在正视图的下面，长度与正视图一样；侧视图放在正视图的右面，高度和正视图一样，宽度与俯视图一样几何体的切接问题(1)球的内接长方体、正方体、正四棱柱等关键是把握球的直径即棱柱的体对角线长(2)柱、锥的内切球找准切点位置，化归为平面几何问题必备方法1几何体中计算问题的方法与技巧：在正棱锥中，正棱锥的高、侧面等腰三角形的斜高与侧棱构成两个直角三角形，有关计算往往与两者相关；正四棱台中要掌握对角面与侧面两个等腰梯形中关于上底、下底及梯形高的计算，另外，要能将正三棱台、正四棱台的高与其斜高，侧棱在适宜的平面图形中联系起来；研究圆柱、圆锥、圆台等问题，主要方
6、法是研究其轴截面，各元素之间的关系，数量都可以在轴截面中得到；多面体及旋转体的侧面展开图是将立体几何问题转化为平面几何问题处理的重要手段2求体积常见技巧当给出的几何体比拟复杂，有关的计算公式无法运用，或者虽然几何体并不复杂，但条件中的元素彼此离散时，我们可采用“割、“补的技巧，化复杂几何体为简单几何体(柱、锥、台)，或化离散为集中，给解题提供便利(1)几何体的“分割：几何体的分割即将的几何体按照结论的要求，分割成假设干个易求体积的几何体，进而求之(2)几何体的“补形：与分割一样，有时为了计算方便，可将几何体补成易求体积的几何体，如长方体、正方体等另外补台成锥是常见的解决台体侧面积与体积的方法(
7、3)有关柱、锥、台、球的面积和体积的计算，应以公式为根底，充分利用几何体中的直角三角形、直角梯形求有关的几何元素.常考查：三视图的识别与复原问题；以三视图为载体考查空间几何体的外表积、体积等问题主要考查学生的空间想象能力及运算能力，是近几年高考的热点【例1】 某个几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸(单位：cm)，可得这个几何体的体积是()A. cm3B. cm3C2 000 cm3D4 000 cm3审题视点 听课记录审题视点 画出直观图后求解B此几何体的图为SABCD，且平面SCD平面ABCD，ABCD为正方形，边长为20 cm，S在底面的射影为CD的中点E，SE20 cm，VSABCD
8、SABCDSE cm3.应选B. 解答此类题目时：(1)可以从熟知的某一视图出发，想象出直观图，再验证其他视图是否正确；(2)视图中标注的长度在直观图中代表什么，要分辨清楚；(3)视图之间的数量关系：正俯长对正，正侧高平齐，侧俯宽相等【突破训练1】 如图是一个几何体的三视图假设它的体积是3，那么a_.解析由三视图可知几何体为一个直三棱柱，底面三角形中边长为2的边上的高为a，V33a.答案此类问题常以三视图、空间几何体、组合体为载体，来求解几何体的外表积或体积，试题以客观题为主，多为容易题【例2】 如下图，四棱锥PABCD的底面ABCD是半径为R的圆的内接四边形，其中BD是圆的直径，ABD60，
9、BDC45，ADPBAD.(1)求线段PD的长；(2)假设PCR，求三棱锥P ABC的体积审题视点 听课记录审题视点 (1)利用BD是圆的直径可知BAD90，再利用ADPBAD求解(2)先通过计算证明PD2CD2PC2，那么可知PD面ABCD，再由SABCABBCsin ABC.可求解解(1)BD是圆的直径，BAD90，又ADPBAD，DP3R.DP的长为3R.(2)在RtBCD中，CDBDcos 45R，PD2CD29R22R211R2PC2，PDCD，又PDA90，ADCDD，PD底面ABCD，那么SABCABBCsin(6045)RRR2，所以三棱锥PABC的体积为VPABCSABCPD
10、R23RR3. 求几何体的体积问题，可以多角度、全方位地考虑问题，常采用的方法有“换底法、“分割法、“补体法等，尤其是“等积转化的数学思想方法应高度重视【突破训练2】如图是某三棱柱被削去一个底面后的直观图与侧(左)视图、俯视图CF2AD，侧(左)视图是边长为2的等边三角形；俯视图是直角梯形，有关数据如下图求该几何体的体积解如图，取CF的中点P，过P作PQCB交BE于Q，连接PD，QD，ADCP，且ADCP.四边形ACPD为平行四边形，ACPD.平面PDQ平面ABC，该几何体可分割成三棱柱PDQCAB和四棱锥DPQEF，VV三棱柱PDQCABVDPQEF22sin 6023.该类问题命题背景宽，
11、常以棱柱、棱锥、圆柱、圆锥与球的内切、外接形式考查，多以选择、填空题的形式出现，试题较容易【例3】 设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a，顶点都在一个球面上，那么该球的外表积为()Aa2 B.a2 C.a2 D5a2审题视点 听课记录审题视点 确定球心的位置，寻找直角三角形，通过直角三角形求球的半径B设三棱柱上底面所在圆的半径为r，球的半径为R，由raa.又R2r2a2a2a2a2，S球4R24a2a2，应选B. 涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点或线作截面，把空间问题化归为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系【突破训练3】 设OA是球O的半径
12、，M是OA的中点，过M且与OA成45角的平面截球O的外表得到圆C，假设圆C的面积等于，那么球O的外表积等于_【突破训练3】 解析如图，设O为截面圆的圆心，设球的半径为R，那么OM，又OMO45，OOR.在RtOOB中，OB2OO2OB2，R2，R22，S球4R28.答案8等价与转化在求几何体体积中的应用1求不规那么几何体的体积，常用分割或补形的思想，假设几何体的底不规那么，也需采用同样的方法，将不规那么的几何体或平面图形转化为规那么的几何体或平面图形，易于求解2求几何体的体积问题，有时使用转换底面的方法使其高易求【例如】 如图，在三棱锥P ABC中，PAB是等边三角形，PACPBC90.(1)
13、证明：ABPC；(2)假设PC4，且平面PAC平面PBC，求三棱锥P ABC的体积总分值解答(1)因为PAB是等边三角形，所以PBPA.因为PACPBC90，PCPC，所以RtPBCRtPAC，所以ACBC.如图，取AB中点D，连接PD、CD，那么PDAB，CDAB，又PDCDD，所以AB平面PDC，PC平面PDC，所以ABPC.(6分)(2)作BEPC，垂足为E，连接AE.因为RtPBCRtPAC，所以AEPC，AEBE.由，平面PAC平面PBC，故AEB90.(8分)因为AEB90，PEB90，AEBE，ABPB，所以RtAEBRtBEP，所以AEB、PEB、CEB都是等腰直角三角形由PC
14、4，得AEBE2，AEB的面积S2.因为PC平面AEB.所以三棱锥P ABC的体积VSPC.(12分)老师叮咛：此题难度中档，第(1)问要证线线垂直，那么需转化为证线面垂直；第(2)问求三棱锥P ABC的体积，可转化为求以ABE为底，PC为高的两个三棱锥的体积.【试一试】如图，四边形ABCD为正方形，QA平面ABCD，PDQA，QAABPD.(1)证明：PQ平面DCQ；(2)求棱锥Q ABCD的体积与棱锥P DCQ的体积的比值(1)证明由条件知四边形PDAQ为直角梯形因为QA平面ABCD，所以平面PDAQ平面ABCD，交线为AD.又四边形ABCD为正方形，DCAD，所以DC平面PDAQ，可得PQDC.在直角梯形PDAQ中可得DQPQPD，那么PQQD.又DQDCD，所以PQ平面DCQ.(2)解设ABa.由题设知AQ为棱锥QABCD的高，所以棱锥QABCD的体积V1a3.由(1)知PQ为棱锥PDCQ的高，而PQa，DCQ的面积为a2，所以棱锥PDCQ的体积V2a3.故棱锥QABCD的体积与棱锥PDCQ的体积的比值为1.