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1、1 12/30/2022 数学建模教程数学建模教程拟拟 合与合与 插插 值值 2 12/30/2022 q在大量的应用领域中，人们经常面临这样的问题：在大量的应用领域中，人们经常面临这样的问题：给定一批数据点，需确定满足特定要求的曲线或给定一批数据点，需确定满足特定要求的曲线或曲面。对这个问题有两种方法。曲面。对这个问题有两种方法。q一种是一种是插值法插值法，数据假定是正确的，要求以某种方法描述数，数据假定是正确的，要求以某种方法描述数据点之间所发生的情况。据点之间所发生的情况。q另一种方法是另一种方法是曲线拟合或回归曲线拟合或回归。人们设法找出某条光滑曲线，。人们设法找出某条光滑曲线，它最佳
2、地拟合数据，但不必要经过任何数据点。它最佳地拟合数据，但不必要经过任何数据点。q 本专题的主要目的是：了解插值和拟合的基本内容；本专题的主要目的是：了解插值和拟合的基本内容；掌握用掌握用MatlabMatlab求解插值与拟合问题的基本命令。求解插值与拟合问题的基本命令。函数插值与曲线拟合都是要根据一组数据构造一个函数作为近似，函数插值与曲线拟合都是要根据一组数据构造一个函数作为近似，由于近似的要求不同，二者的数学方法上是完全不同的。由于近似的要求不同，二者的数学方法上是完全不同的。3 12/30/2022 内容提纲内容提纲1.拟合问题引例及基本理论2.Matlab求解拟合问题3.应用实例4.插
3、值问题引例及基本理论5.Maltab求解插值问题6.应用实例4 12/30/2022 拟拟 合合 问问 题题 引引 例例 1 1温度温度t(0C)20.5 32.7 51.0 73.0 95.7电阻电阻R()765 826 873 942 1032已知热敏电阻数据：已知热敏电阻数据：求求60600C时的电阻时的电阻R。设设 R=at+ba,b为待定系数为待定系数一、拟合问题一、拟合问题5 12/30/2022 拟拟 合合 问问 题题 引引 例例 2 2 t(h)0.25 0.5 1 1.5 2 3 4 6 8c(g/ml)19.21 18.15 15.36 14.10 12.89 9.32 7
4、.45 5.24 3.01已知一室模型快速静脉注射下的血药浓度数据已知一室模型快速静脉注射下的血药浓度数据(t=0注射注射300mg)求血药浓度随时间的变化规律求血药浓度随时间的变化规律c(t).作半对数坐标系作半对数坐标系(semilogy)下的图形下的图形6 12/30/2022 曲曲 线线 拟拟 合合 问问 题题 的的 提提 法法已知一组（二维）数据，即平面上已知一组（二维）数据，即平面上 n个点个点（xi,yi)i=1,n,寻求一个函数（曲线）寻求一个函数（曲线）y=f(x),使使 f(x)在某种准则下与所有在某种准则下与所有数据点最为接近，即曲线拟合得最好。数据点最为接近，即曲线拟合
5、得最好。+xyy=f(x)(xi,yi)i i 为点为点（xi,yi)与与曲线曲线 y=f(x)的距离的距离7 12/30/2022 线性最小二乘拟合线性最小二乘拟合 f(x)=a1r1(x)+amrm(x)中函数中函数rr1 1(x),r(x),rm m(x)(x)的选取的选取 1.1.通过机理分析建立数学模型来确定通过机理分析建立数学模型来确定 f(x)f(x)；+f=a1+a2xf=a1+a2x+a3x2f=a1+a2x+a3x2f=a1+a2/xf=aebxf=ae-bx2.2.将数据将数据 (xi,yi)i=1,n 作图，通过直观判断确定作图，通过直观判断确定 f(x)：8 12/3
6、0/2022 曲线拟合问题最常用的解法曲线拟合问题最常用的解法线性最小二乘法的基本思路线性最小二乘法的基本思路第一步:先选定一组函数先选定一组函数 r1(x),r2(x),rm(x),m0)k(0)模型假设模型假设1.1.机体看作一个房室，室内血药浓度均匀机体看作一个房室，室内血药浓度均匀一室模型一室模型模型建立模型建立 在此，在此，d=300mg，t及及c（t）在某些点处的值见前表，）在某些点处的值见前表，需经拟合求出参数需经拟合求出参数k、v75 12/30/2022 用线性最小二乘拟合用线性最小二乘拟合c(t)计算结果：计算结果：d=300;t=0.25 0.5 1 1.5 2 3 4
7、6 8;c=19.21 18.15 15.36 14.10 12.89 9.32 7.45 5.24 3.01;y=log(c);a=polyfit(t,y,1)k=-a(1)v=d/exp(a(2)程序：程序：76 12/30/2022 给药方案给药方案 设计设计cc2c10t 设每次注射剂量D,间隔时间 血药浓度c(t)应c1 c(t)c2 初次剂量D0 应加大给药方案记为：给药方案记为：2、1、计算结果：计算结果：给药方案：给药方案：c1=10,c2=25k=0.2347v=15.0277 12/30/2022 故可制定给药方案：故可制定给药方案：即即:首次注射首次注射375mg，其余每
8、次注射其余每次注射225mg，注射的间隔时间为注射的间隔时间为4小时。小时。78 12/30/2022 作业与练习79 12/30/2022 练习练习1 用给定的多项式，如y=x3-6x2+5x-3，产生一组数据(xi,yi，i=1,2,n),再在yi上添加随机干扰(可用rand产生(0,1)均匀分布随机数,或用rands产生N(0,1)分布随机数)，然后用xi和添加了随机干扰的yi作的3次多项式拟合，与原系数比较。分别作分别作1 1、2 2、4 4、6 6次多项式拟合，比较结果，体会欠拟合、次多项式拟合，比较结果，体会欠拟合、过拟合现象。过拟合现象。80 12/30/2022 练习练习2 用
9、电压V=10伏的电池给电容器充电，电容器上t时刻的电压为 ，其中V0是电容器的初始电压，是充电常数。试由下面一组t，V数据确定V0，。分别应用非线性最小二乘拟合以及非线性回归命令求解，并分别应用非线性最小二乘拟合以及非线性回归命令求解，并作比较，体会统计回归与拟合方法的区别。作比较，体会统计回归与拟合方法的区别。81 12/30/2022 练习练习3 在某海域测得一些点在某海域测得一些点(x,y)(x,y)处的水深处的水深z z由下由下表给出，船的吃水深度为表给出，船的吃水深度为5 5英尺，估计在矩形区域英尺，估计在矩形区域（7575，200200）*（-50-50，150150）里的哪些地方船要避免）里的哪些地方船要避免进入。进入。用插值方法作海底曲面图用插值方法作海底曲面图.作出水深小于作出水深小于5 5的海域范围的海域范围,即即z=5z=5的等高线的等高线.