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1、13.1.43.1.4 概率的加法公式概率的加法公式课时过关能力提升1 1 把红、黑、绿、白 4 张纸牌随机地发给甲、乙、丙、丁四个人,每人分得 1 张,事件“甲分得 红牌”与事件“乙分得红牌”是( )A.对立事件B.不可能事件C.互斥但不对立事件D.以上答案均不对解析由题意只有 1 张红牌,甲、乙、丙、丁四人均可能得到,故两事件是互斥但不对立事件.答案 C2 2 打靶三次,事件Ai表示“击中i次”,i=0,1,2,3,则事件A=A1A2A3表示( ) A.全部未击中B.至少有一次击中C.全部击中D.至多有一次击中解析事件A0,A1,A2,A3彼此互斥,A2A3=A,故A表示至少有一次击中.且
2、0= 1答案 B3 3 在第 3,6,16 路公共汽车的同一个停靠站(假定这个车站只能停靠一辆公共汽车),有一位乘客 需在 5 min 之内乘上公共汽车赶到厂里.他可乘 3 路或 6 路公共汽车到厂里,已知 3 路车、6 路车在5 min 之内到此车站的概率分别为 0.20 和 0.60,则该乘客在 5 min 内能乘上所需车的概率为( )A.0.20B.0.60C.0.80D.0.12解析乘客上 3 路车和上 6 路车这两个事件是彼此互斥的,所求的概率为 0.20+0.60=0.80.答案 C4 4 若事件A与B是互斥事件,且事件AB的概率是 0.8,事件A的概率是事件B的概率的 3 倍,
3、则事件A的概率为( )A.0.2B.0.4C.0.6D.0.8解析由已知得P(A)+P(B)=0.8,又P(A)=3P(B),于是P(A)=0.6.答案 C5 5 某市派出甲、乙两支球队参加全省足球冠军赛.甲、乙两队夺取冠军的概率分别是37和14,则该市球队夺得全省足球冠军的概率为( )A.3 28.12.1728.1928解析设事件A,B分别表示该市的甲、乙队夺取冠军,则P(A)A,B互斥.该市球队夺得=3 7,() =1 4,且冠军即事件AB发生.于是P(AB)=P(A)+P(B)=3 7+1 4=19 28.答案 D6 6 某产品分甲、乙、丙三级,其中乙、丙两级均属次品.若生产中出现乙级
4、品的概率为 0.03,丙 级品的概率为 0.01,则对产品抽查一件,抽得正品的概率为 . 2解析由题意抽得正品的概率为 1-0.03-0.01=0.96.答案 0.967 7 若A,B是互斥事件,P(A)=0.4,P(AB)=0.7,则P(B)= . 解析A,B是互斥事件,P(AB)=P(A)+P(B),P(B)=0.7-0.4=0.3.答案 0.38 8 不透明的盒子中有大小、形状相同的一些黑球、白球和黄球.从中摸出一个球,摸出黑球的概 率为 0.42,摸出黄球的概率为 0.18,则摸出白球的概率为 ,摸出的球不是黄球的概率为 ,摸出黄球或者黑球的概率为 . 解析摸出白球的概率为 1-0.4
5、2-0.18=0.4;不是黄球的概率为 1-0.18=0.82;摸出的球是黄球或黑球的概率为 1-0.4=0.6.答案 0.4 0.82 0.69 9 猎人在 100 m 处射击一野兔,击中的概率为12 ,如果第一次没有击中,那么猎人进行第二次射击,但距离已是150 ,如果又没有击中,那么猎人进行第三次射击,但距离已是200 .已知此猎人击中的概率与距离的平方成反比,那么三次内击中野兔的概率为 . 解析设距离为d,命中的概率为P,则有Pd=100,Pk=5 000,故P=2,将=1 2代入上式可得=5 0002,设第一、二、三次射击击中野兔分别为事件A,B,C,则有P(A)P(ABC)=P(A
6、)=1 2,() =5 0001502=2 9,() =5 0002002=1 8,故三次内击中野兔的概率等于+P(B)+P(C)=1 2+2 9+1 8=61 72.答案61721010(1)抛掷一枚骰子,观察出现的点数,设事件A为“出现 1 点”,B为“出现 2 点”.已知P(A)=P(B)=1 6,求出现1点或2点的概率.(2)盒子里装有 6 个红球,4 个白球,从中任取 3 个球.设事件A表示“3 个球中有 1 个红球,2 个白球”,B表示“3 个球中有 2 个红球,1 个白球”.已知P(A)=3 10,() =1 2,求这3个球中既有红球又有白球的概率.分析(1)抛掷骰子,事件“出现
7、 1 点”和“出现 2 点”是彼此互斥的,可运用概率的加法公式求解.(2)本题是求AB的概率,而A与B是互斥事件,故P(AB)=P(A)+P(B).3解(1)设事件C为“出现 1 点或 2 点”.事件A,B是互斥事件,由C=AB可得P(C)=P(A)+P(B)1 点或 2 点的概率=1 6+1 6=1 3, 出现是13.(2)P(AB)=P(A)+P(B)=3 10+1 2= 0.8.1111 一个不透明的盒中装有红、黑、白、绿 4 种颜色的球(除颜色外其他均相同),共 12 个球.从中任取一球,得到红球、黑球、白球和绿球的概率分别为5 12,13,16,1 12.求:(1)取出的球是红球或黑
8、球的概率;(2)取出的球是红球或黑球或白球的概率.分析取出的球是红球、黑球、白球为互斥事件,可直接考虑,用概率的加法公式;也可以间接考虑,利用对立事件的概率公式.解(方法一)利用互斥事件的概率加法公式求概率.记事件A1:从 12 个球中任取 1 球得红球;A2:从 12 个球中任取 1 球得黑球;A3:从 12 个球中任取 1 球得白球;A4:从 12 个球中任取 1 球得绿球,则P(A1)=5 12,(2) =1 3,(3) =1 6,(4) =1 12.(1)根据题意,A1,A2,A3,A4彼此互斥,由互斥事件的概率加法公式得取出红球或黑球的概率为P(A1A2)=P(A1)+P(A2)=5
9、 12+1 3=3 4.(2)由互斥事件的概率加法公式得取出红或黑或白球的概率为P(A1A2A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)=5 12+1 3+1 6=11 12.(方法二)利用对立事件的概率公式求概率.(1)取出红球或黑球的对立事件为取出白球或绿球,即A1A2的对立事件为A3A4,则取出红球或黑球的概率为P(A1A2)=1-P(A3A4)=1-P(A3)-P(A4)=11 61 12=9 12=3 4.(2)A1A2A3的对立事件为A4.P(A1A2A3)=1-P(A4)=1.1 12=11 12即为所求1212 某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息,安排一名员工随机收集了在该
10、超市购物的 100 位顾客的相关数据,如下表所示.一次购 物量1 至 4 件5 至 8 件9 至 12 件13 至 16 件17 件 及以 上 顾客数x3025y104(人) 结算时 间 (分钟/ 人)11.522.5 3已知这 100 位顾客中一次购物量超过 8 件的顾客占 55%.(1)确定x,y的值,并估计顾客一次购物的结算时间的平均值;(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过 2 分钟的概率.(将频率视为概率)解(1)由已知得x+30=45,25+y+10=55,则x=15,y=20.该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体,所收集的 100 位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一
11、个容量为 100 的简单随机样本,顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计,其估计值).为1 15 + 1.5 30 + 2 25 + 2.5 20 + 3 10100= 1.9(分钟(2)记A为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过 2 分钟”,A1,A2,A3分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为 1 分钟”,“该顾客一次购物的结算时间为 1.5 分钟”,“该顾客一次购物的结算时间为 2 分钟”.将频率视为概率得P(A1)=15 100=3 20,(2) =30 100=3 10,(3) =25 100=1 4.因为A=A1A2A3,且A1,A2,A3是互斥事件,所以P(A)=P(A1A2A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3) 2 分钟的概率=3 20+3 10+1 4=7 10.故一位顾客一次购物的结算时间不超过为7 10.