《2019版高考数学大一轮复习 第八章 第5节 直线、平面垂直的判定及其性质学案 文 新人教A版.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019版高考数学大一轮复习 第八章 第5节 直线、平面垂直的判定及其性质学案 文 新人教A版.doc（18页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、1第第 5 5 节节 直线、平面垂直的判定及其性质直线、平面垂直的判定及其性质最新考纲 1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理；2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题.知 识 梳 理1.直线与平面垂直(1)直线和平面垂直的定义如果一条直线l与平面内的任意直线都垂直，就说直线l与平面互相垂直.(2)判定定理与性质定理文字语言图形表示符号表示判定定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直Error!l性质定理 两直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行Error!ab2.平面与平面垂直(1)平面
2、与平面垂直的定义两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.(2)判定定理与性质定理文字语言图形表示符号表示判定定理一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直Error!2性质定理如果两个平面互相垂直，则在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面Error!l常用结论与微点提醒1.两个重要结论(1)若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面.(2)若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法).2.使用线面垂直的定义和线面垂直的判定定理，不要误解为“如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，就垂
3、直于这个平面”.3.线线、线面、面面垂直间的转化诊 断 自 测1.思考辨析(在括号内打“”或“”)(1)直线l与平面内的无数条直线都垂直，则l.( )(2)垂直于同一个平面的两平面平行.( )(3)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面.( )(4)若平面内的一条直线垂直于平面内的无数条直线，则.( )解析 (1)直线l与平面内的无数条直线都垂直，则有l或l与斜交或l或l，故(1)错误.(2)垂直于同一个平面的两个平面平行或相交，故(2)错误.(3)若两个平面垂直，则其中一个平面内的直线可能垂直于另一平面，也可能与另一平面平行，也可能与另一平面相交，也可能在另一平面内，故
4、(3)错误.(4)若平面内的一条直线垂直于平面内的所有直线，则，故(4)错误.答案 (1) (2) (3) (4)2.(必修 2P73A 组 T1 改编)下列命题中不正确的是( )A.如果平面平面，且直线l平面，则直线l平面3B.如果平面平面，那么平面内一定存在直线平行于平面C.如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面D.如果平面平面，平面平面，l，那么l解析 根据面面垂直的性质，A 不正确，直线l平面或l或直线l与相交.答案 A3.(2018湖南六校联考)已知m和n是两条不同的直线，和是两个不重合的平面，下面给出的条件中一定能推出m的是( )A.且m B.mn且nC.mn且n
5、 D.mn且解析 由线线平行性质的传递性和线面垂直的判定定理，可知 C 正确.答案 C4.(2017全国卷)在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为棱CD的中点，则( )A.A1EDC1 B.A1EBDC.A1EBC1 D.A1EAC解析 如图，由题设知，A1B1平面BCC1B1且BC1平面BCC1B1，从而A1B1BC1.又B1CBC1，且A1B1B1CB1，所以BC1平面A1B1CD，又A1E平面A1B1CD，所以A1EBC1.答案 C5.边长为a的正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，则折叠后AC的长为_.解析 如图所示，取BD的中点O，连接AO，CO，则AOC是二面角ABDC的平面角
6、，即AOC90.又AOCOa，22ACa，即折叠后AC的长(AC)为a.a2 2a22答案 a考点一 线面垂直的判定与性质【例 1】 如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ABAD，ACCD，ABC60，4PAABBC，E是PC的中点.证明：(1)CDAE；(2)PD平面ABE.证明 (1)在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，CD平面ABCD，PACD，又ACCD，且PAACA，CD平面PAC.而AE平面PAC，CDAE.(2)由PAABBC，ABC60，可得ACPA.E是PC的中点，AEPC.由(1)知AECD，且PCCDC，AE平面PCD.而PD平面PCD，AEPD.PA底面A
7、BCD，AB平面ABCD，PAAB.又ABAD，且PAADA，AB平面PAD，而PD平面PAD，ABPD.又ABAEA，PD平面ABE.规律方法 1.证明直线和平面垂直的常用方法有：(1)判定定理；(2)垂直于平面的传递性(ab，ab)；(3)面面平行的性质(a，a)；(4)面面垂直的性质(，a，la，ll).2.证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质.因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想.【训练 1】 如图所示，已知AB为圆O的直径，点D为线段AB上一点，且ADDB，点C1 3为圆O上一点，且BCAC，PD平面ABC，PDDB.35求证：P
8、ACD.证明 因为AB为圆O的直径，所以ACCB.在 RtABC中，由ACBC得，ABC30.3设AD1，由 3ADDB得，DB3，BC2.3由余弦定理得CD2DB2BC22DBBCcos 303，所以CD2DB2BC2，即CDAB.因为PD平面ABC，CD平面ABC，所以PDCD，由PDABD得，CD平面PAB，又PA平面PAB，所以PACD.考点二 面面垂直的判定与性质【例 2】 如图，在四棱锥PABCD中，ABCD，ABAD，CD2AB，平面PAD底面ABCD，PAAD，E和F分别是CD和PC的中点，求证：(1)PA底面ABCD；(2)BE平面PAD；(3)平面BEF平面PCD.证明 (
9、1)平面PAD底面ABCD，且PA垂直于这两个平面的交线AD，PA平面PAD，PA底面ABCD.(2)ABCD，CD2AB，E为CD的中点，ABDE，且ABDE.四边形ABED为平行四边形.BEAD.又BE平面PAD，AD平面PAD，BE平面PAD.(3)ABAD，而且ABED为平行四边形.6BECD，ADCD，由(1)知PA底面ABCD，CD平面ABCD，PACD，且PAADA，PA，AD平面PAD，CD平面PAD，又PD平面PAD，CDPD.E和F分别是CD和PC的中点，PDEF.CDEF，又BECD且EFBEE，CD平面BEF，又CD平面PCD，平面BEF平面PCD.规律方法 1.证明平
10、面和平面垂直的方法：(1)面面垂直的定义；(2)面面垂直的判定定理.2.已知两平面垂直时，一般要用性质定理进行转化，在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直.【训练 2】 (2017北京卷)如图，在三棱锥PABC中，PAAB，PABC，ABBC，PAABBC2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点.(1)求证：PABD；(2)求证：平面BDE平面PAC；(3)当PA平面BDE时，求三棱锥EBCD的体积.(1)证明 PAAB，PABC，AB平面ABC，BC平面ABC，且ABBCB，PA平面ABC，又BD平面ABC，PABD.(2)证明 ABBC，D是AC的中点，BDA
11、C.由(1)知PA平面ABC，PA平面PAC，平面PAC平面ABC.平面PAC平面ABCAC，BD平面ABC，BDAC，BD平面PAC.7BD平面BDE，平面BDE平面PAC，(3)解 PA平面BDE，又平面BDE平面PACDE，PA平面PAC，PADE.由(1)知PA平面ABC，DE平面ABC.D是AC的中点，E为PC的中点，DEPA1.1 2D是AC的中点，SBCDSABC 221，1 21 21 2VEBCD SBCDDE 11 .1 31 31 3考点三 平行与垂直的综合问题(多维探究)命题角度 1 多面体中平行与垂直关系的证明【例 31】 (2017山东卷)由四棱柱ABCDA1B1C
12、1D1截去三棱锥C1B1CD1后得到的几何体如图所示.四边形ABCD为正方形，O为AC与BD的交点，E为AD的中点，A1E平面ABCD.(1)证明：A1O平面B1CD1；(2)设M是OD的中点，证明：平面A1EM平面B1CD1.证明 (1)取B1D1的中点O1，连接CO1，A1O1，由于ABCDA1B1C1D1是四棱柱，所以A1O1OC，A1O1OC，因此四边形A1OCO1为平行四边形，所以A1OO1C，又O1C平面B1CD1，A1O平面B1CD1，所以A1O平面B1CD1.8(2)因为ACBD，E，M分别为AD和OD的中点，所以EMBD，又A1E平面ABCD，BD平面ABCD，所以A1EBD
13、，因为B1D1BD，所以EMB1D1，A1EB1D1，又A1E，EM平面A1EM，A1EEME，所以B1D1平面A1EM，又B1D1平面B1CD1，所以平面A1EM平面B1CD1.规律方法 1.三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化.2.垂直与平行的结合问题，求解时应注意平行、垂直的性质及判定的综合应用.命题角度 2 平行垂直中探索性问题【例 32】 如图所示，平面ABCD平面BCE，四边形ABCD为矩形，BCCE，点F为CE的中点.(1)证明：AE平面BDF.(2)点M为CD上任意一点，在线段AE上是否存在点P，使得PMBE？若存在，确定点P的位置，并加以证明；
14、若不存在，请说明理由.(1)证明 连接AC交BD于O，连接OF，如图.9四边形ABCD是矩形，O为AC的中点，又F为EC的中点，OF为ACE的中位线，OFAE，又OF平面BDF，AE平面BDF，AE平面BDF.(2)解 当P为AE中点时，有PMBE，证明如下：取BE中点H，连接DP，PH，CH，P为AE的中点，H为BE的中点，PHAB，又ABCD，PHCD，P，H，C，D四点共面.平面ABCD平面BCE，平面ABCD平面BCEBC，CD平面ABCD，CDBC.CD平面BCE，又BE平面BCE，CDBE，BCCE，H为BE的中点，CHBE，又CDCHC，BE平面DPHC，又PM平面DPHC，BE
15、PM，即PMBE.规律方法 1.求条件探索性问题的主要途径：(1)先猜后证，即先观察与尝试给出条件再证明；(2)先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明充分性.2.涉及点的位置探索性问题一般是先根据条件猜测点的位置再给出证明，探索点存在问题，点多为中点或三等分点中某一个，也可以根据相似知识建点.命题角度 3 空间位置关系与几何体的度量计算【例 33】 (2017全国卷)如图，在四棱锥PABCD中，ABCD，且BAPCDP90.10(1)证明：平面PAB平面PAD；(2)若PAPDABDC，APD90，且四棱锥PABCD的体积为 ，求该四棱锥的侧面8 3积.(1)证明 由已知BAPC
16、DP90，得ABPA，CDPD.由于ABCD，故ABPD.又PAPDP，PA，PD平面PAD，从而AB平面PAD.又AB平面PAB，所以平面PAB平面PAD.(2)解 如图，在平面PAD内作PEAD，垂足为E.由(1)知，AB平面PAD，故ABPE，又ABADA，可得PE平面ABCD.设ABx，则由已知可得ADx，PEx，222故四棱锥PABCD的体积VPABCDABADPEx3.由题设得x3 ，故x2.1 31 31 38 3从而结合已知可得PAPDABDC2，ADBC2，PBPC2，22可得四棱锥PABCD的侧面积为PAPDPAABPDDCBC2sin 6062.1 21 21 21 23
17、规律方法 1.本题证明的关键是垂直与平行的转化，如由ABCD，CDPD，从而得ABPD，进一步证明平面PAB中的AB平面PAD，再运用面面垂直的判定定理得出平面PAB平面PAD.2.第(2)问先由已知分别求出四棱锥各个侧面的底边长和高，再求出四棱锥的侧面积.其中利用第(1)问的结论得出AB平面PAD，从而进一步证明PE平面ABCD，确定四棱锥PABCD的高PE，将空间论证与几何体的计算交汇渗透，这是命题的方向.【训练 3】 (2018长沙模拟)在如图所示的几何体中，四边形CDEF为正方形，四边形ABCD为等腰梯形，ABCD，AC，AB2BC2，ACFB.311(1)求证：AC平面FBC.(2)
18、求四面体FBCD的体积.(3)线段AC上是否存在点M，使EA平面FDM？若存在，请说明其位置，并加以证明；若不存在，请说明理由.(1)证明 在ABC中，因为AC，AB2，BC1，3所以AC2BC2AB2，所以ACBC.又因为ACFB，BCFBB，BC，FB平面FBC，所以AC平面FBC.(2)解 因为AC平面FBC，FC平面FBC，所以ACFC.因为CDFC，ACCDC，所以FC平面ABCD.在等腰梯形ABCD中可得CBDC1，所以FC1.所以BCD的面积为S.34所以四面体FBCD的体积为VFBCDSFC.1 3312(3)解 线段AC上存在点M，且点M为AC中点时，有EA平面FDM.证明如
19、下：连接CE，与DF交于点N，取AC的中点M，连接MN.因为四边形CDEF是正方形，所以点N为CE的中点.所以EAMN.因为MN平面FDM，EA平面FDM，所以EA平面FDM.所以线段AC上存在点M，且M为AC的中点，使得EA平面FDM成立.基础巩固题组(建议用时：40 分钟)12一、选择题1.(2016浙江卷)已知互相垂直的平面，交于直线l，若直线m，n满足m，n，则( )A.ml B.mn C.nl D.mn解析 因为l，所以l，又n，所以nl，故选 C.答案 C2.(2018福州质检)若l，m是两条不同的直线，m垂直于平面，则“lm”是“l”的( )A.充分而不必要条件 B.必要而不充分
20、条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件解析 m，若l，则必有lm，即llm.但lml，lm时，l可能在内.故“lm”是“l”的必要而不充分条件.答案 B3.(2018衡水中学质检)如图，在四面体ABCD中，已知ABAC，BDAC，那么点D在平面ABC内的射影H必在( )A.直线AB上B.直线BC上C.直线AC上D.ABC内部解析 因ABAC，BDAC，ABBDB，所以AC平面ABD.又AC平面ABC，所以平面ABC平面ABD.所以D在平面ABC内的射影必在交线AB上.答案 A4.(2018广州一模)设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的是( )A.若，m，n，则m
21、nB.若m，mn，n，则13C.若mn，m，n，则D.若，m，n，则mn解析 若，m，n，则m与n相交、平行或异面，故 A 错误；m，mn，n，又n，故 B 正确；若mn，m，n，则与的位置关系不确定，故 C 错误；若，m，n，则mn或m，n异面，故 D 错误.答案 B5.如图，在三棱锥DABC中，若ABCB，ADCD，E是AC的中点，则下列正确的是( )A.平面ABC平面ABDB.平面ABD平面BDCC.平面ABC平面BDE，且平面ADC平面BDED.平面ABC平面ADC，且平面ADC平面BDE解析 因为ABCB，且E是AC的中点，所以BEAC，同理有DEAC，又BEDEE，于是AC平面BD
22、E.因为AC平面ABC，所以平面ABC平面BDE.又AC平面ACD，所以平面ACD平面BDE，所以选 C.答案 C二、填空题6.如图，已知PA平面ABC，BCAC，则图中直角三角形的个数为_.解析 PA平面ABC，AB，AC，BC平面ABC，PAAB，PAAC，PABC，则PAB，PAC为直角三角形.由BCAC，且ACPAA，BC平面PAC，从而BCPC，因此ABC，PBC也是直角三角形.14答案 47.如图所示，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足_时，平面MBD平面PCD(只要填写一个你认为正确的条件即可).解析 由定理可知，BDPC.当
23、DMPC(或BMPC)时，有PC平面MBD.又PC平面PCD，平面MBD平面PCD.答案 DMPC(或BMPC等)8.如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC2，AA11，则AC1与平面A1B1C1D1所成角的正弦值为_.解析 连接A1C1，则AC1A1为AC1与平面A1B1C1D1所成的角.因为ABBC2，所以A1C1AC2，2又AA11，所以AC13，所以 sinAC1A1 .AA1 AC11 3答案 1 3三、解答题9.(2016北京卷)如图，在四棱锥PABCD中，PC平面ABCD，ABDC，DCAC.(1)求证：DC平面PAC；(2)求证：平面PAB平面PAC；(3)设点E为
24、AB的中点，在棱PB上是否存在点F，使得PA平面CEF？说明理由.(1)证明 因为PC平面ABCD，DC平面ABCD，15所以PCDC.又因为ACDC，且PCACC，所以DC平面PAC.(2)证明 因为ABCD，DCAC，所以ABAC.因为PC平面ABCD，AB平面ABCD，所以PCAB.又因为PCACC，所以AB平面PAC.又AB平面PAB，所以平面PAB平面PAC.(3)解 棱PB上存在点F，使得PA平面CEF.理由如下：取PB的中点F，连接EF，CE，CF，又因为E为AB的中点，所以EFPA.又因为PA平面CEF，且EF平面CEF，所以PA平面CEF.10.(2018日照调研)如图，平面
25、五边形ABCDE中，ABCE，且AE2，AEC60，CDED，cosEDC .将CDE沿CE折起，使点D移动到P的位置，且AP，得到75 73四棱锥PABCE.(1)求证：AP平面ABCE；(2)记平面PAB与平面PCE相交于直线l，求证：ABl.证明 (1)在CDE中，CDED，cosEDC ，75 7由余弦定理，CE2()2()22 4，77775 7CE2.连接AC，AE2，AEC60，AC2.又AP，PEDE，在PAE中，PA2AE2PE2，37即APAE，同理APAC，又AC，AE平面ABCE，ACAEA，故AP平面ABCE.(2)ABCE，且CE平面PCE，AB平面PCE，16AB
26、平面PCE.又平面PAB平面PCEl，ABl.能力提升题组(建议用时：20 分钟)11.(2018唐山一模)如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，G是EF的中点，现在沿AE，AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H，那么在这个空间图形中必有( )A.AG平面EFH B.AH平面EFHC.HF平面AEF D.HG平面AEF解析 根据折叠前、后AHHE，AHHF不变，又HEHFH，AH平面EFH，B 正确.过A只有一条直线与平面EFH垂直，A 不正确.AGEF，EFGH，AGGHG，EF平面HAG，又EF平面AEF，平面HAG平面AEF，过H
27、作直线垂直于平面AEF，一定在平面HAG内，C 不正确.由条件证不出HG平面AEF，D 不正确.答案 B12.如图，在四边形ABCD中，ADBC，ADAB，BCD45，BAD90，将ADB沿BD折起，使平面ABD平面BCD，构成三棱锥ABCD，则在三棱锥ABCD中，下列命题正确的命题序号是_.平面ABD平面ABC；平面ADC平面BDC；平面ABC平面BDC；平面ADC平面ABC.解析 因为在四边形ABCD中，ADBC，ADAB，BCD45，BAD90，所以BDCD，又平面ABD平面BCD，且平面ABD平面BCDBD，CD平面BCD，所以CD平面ABD，又AB平面ABD，则CDAB，17又ADA
28、B，ADCDD，所以AB平面ADC，又AB平面ABC，所以平面ABC平面ADC.答案 13.(2016四川卷)如图，在四棱锥PABCD中，PACD，ADBC，ADCPAB90，BCCDAD.1 2(1)在平面PAD内找一点M，使得直线CM平面PAB，并说明理由；(2)证明：平面PAB平面PBD.(1)解 取棱AD的中点M(M平面PAD)，点M即为所求的一个点，理由如下：因为ADBC，BCAD.所以BCAM，且BCAM.1 2所以四边形AMCB是平行四边形，从而CMAB.又AB平面PAB.CM平面PAB.所以CM平面PAB.(说明：取棱PD的中点N，则所找的点可以是直线MN上任意一点)(2)证明 由已知，PAAB，PACD.因为ADBC，BCAD，1 2所以直线AB与CD相交，所以PA平面ABCD.又BD平面ABCD，从而PABD.因为ADBC，BCAD，1 2M为AD的中点，连接BM，所以BCMD，且BCMD.所以四边形BCDM是平行四边形，18所以BMCDAD，所以BDAB.1 2又ABAPA，所以BD平面PAB.又BD平面PBD，所以平面 PAB平面 PBD.