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1、1 1 泰勒泰勒级数展开定理级数展开定理2 2 将函数展开成将函数展开成泰勒泰勒级数级数4.3 4.3 解析函数的泰勒展开解析函数的泰勒展开实函数在某一点的邻域内展开成泰勒级数是实函数在某一点的邻域内展开成泰勒级数是非常重要的问题，它是表示函数、研非常重要的问题，它是表示函数、研究函数性质究函数性质以及进行数值计算的一种工具以及进行数值计算的一种工具.对于复变函数对于复变函数,我们已经知道幂级数在收敛我们已经知道幂级数在收敛圆域内收敛于解析函数圆域内收敛于解析函数.在本节我们将证明解析在本节我们将证明解析函数在解析点的某邻域内一定能够展开成幂级数函数在解析点的某邻域内一定能够展开成幂级数亦即泰
2、勒级数亦即泰勒级数.这是解析函数的重要特征这是解析函数的重要特征.4.3.1 4.3.1 泰勒泰勒级数展开定理级数展开定理R为为 到到D边界的距离边界的距离定理定理4.9(Taylor展开定理展开定理)设设 在区域在区域D内解析内解析,为为D内的一点内的一点,.R(D是全平面时是全平面时,R=+),则则 在在 内可内可展开为幂级数展开为幂级数 其中其中上述的幂级数称为上述的幂级数称为在在 的的泰勒级数泰勒级数(展开式展开式).综合定理综合定理4.8和定理和定理4.9，得到关于解析函数的，得到关于解析函数的重要性质：重要性质：定理定理4.10 函数函数 f(z)在在z0处解析的充要条件是处解析的
3、充要条件是 f(z)在在z0的某邻域内有泰勒展开式的某邻域内有泰勒展开式.这是解析函数的重要特征这是解析函数的重要特征.泰勒展开式的唯一性泰勒展开式的唯一性 设设复复变变函数函数 f(z)是是 D内的解析函数内的解析函数,z0是是D内的一点，且在内的一点，且在 内可展成幂级数内可展成幂级数则这个幂级数是则这个幂级数是 在在的泰勒级数，即的泰勒级数，即注：注：这个结果为把函数展开成泰勒级数的间接这个结果为把函数展开成泰勒级数的间接方法奠定了基础方法奠定了基础.4.3.2 4.3.2 将函数展开成将函数展开成泰勒泰勒级数级数将函数展开为将函数展开为泰勒泰勒级数的方法级数的方法:1.直接方法直接方法
4、;2.间接方法间接方法.1.直接方法直接方法由由Taylor展开定理直接计算级数的系数展开定理直接计算级数的系数然后将函数然后将函数 f(z)在在z0 展开成幂级数展开成幂级数.例例4.4 求求在在的泰勒展开式的泰勒展开式.所以它在所以它在 处的泰勒级数为处的泰勒级数为并且收敛半径并且收敛半径解解:因因为为在复平面上解析，且在复平面上解析，且 2.间接方法间接方法 借助于一些已知函数的展开式借助于一些已知函数的展开式,结合解析结合解析函数的性质函数的性质,幂级数运算性质幂级数运算性质(逐项求导逐项求导,逐逐项项积分等积分等)和其它的数学技巧和其它的数学技巧(代换等代换等),求函数求函数的的泰勒
5、展开式泰勒展开式.间接法的优点间接法的优点:不需要求各阶导数与收敛半径不需要求各阶导数与收敛半径,因而比因而比直直接展开更为简洁接展开更为简洁,使用范围也更为广泛使用范围也更为广泛.例例4.5利用利用并且收敛半径并且收敛半径同理同理本例利用直接方法也很简单本例利用直接方法也很简单以及以及可求得可求得 和和解：解：是是的唯一奇点的唯一奇点,且且 故收故收敛敛半径半径在在 中，用中，用-z替换替换 z,则则 逐项求导，得逐项求导，得 例例 4.7将将 展开展开为为z的幂级数的幂级数.令令 则则 解：根据例解：根据例4.6，例例4.8 将函数将函数 在在处展开成处展开成 泰勒级数，并指出该级数的收敛
6、范围泰勒级数，并指出该级数的收敛范围.当当 即即 时时,解：先对函数进行代数变形，即解：先对函数进行代数变形，即 附附:常见函数的常见函数的Taylor展开式展开式1 1 罗朗罗朗级数的概念级数的概念2 2 函数的函数的罗朗罗朗级数展开级数展开3 3 典型例题典型例题4.4 4.4 罗朗罗朗级数级数4.4.1 4.4.1 罗朗罗朗级数的概念级数的概念如果函数如果函数f(z)在在z0点解析点解析,则在则在z0的某邻域内的某邻域内,可可展开为展开为Taylor级数级数,其各项由其各项由z-z0的非负幂组成的非负幂组成.如果如果f(z)在圆环域在圆环域 内解析内解析,则则 f(z)在这在这个圆环域内
7、不一定都能展开为个圆环域内不一定都能展开为z-z0的幂级数的幂级数.本节将引进一种在本节将引进一种在圆环域收敛的双边幂级数圆环域收敛的双边幂级数,即即Laurent级数级数.它将在后面讨论孤立奇点与留数它将在后面讨论孤立奇点与留数及及Z变换理论中起重要作用变换理论中起重要作用.负幂项部分负幂项部分正幂项部分正幂项部分主要部分主要部分解析部分解析部分这种双边幂级数的形式为这种双边幂级数的形式为同时收敛同时收敛罗朗级数罗朗级数收敛收敛收敛半径收敛半径R收敛域收敛域收敛半径收敛半径R2收敛域收敛域两收敛域无公共部分两收敛域无公共部分;两收敛域有公共部分两收敛域有公共部分结论结论:.常见的特殊圆环域常
8、见的特殊圆环域:.(1)(1)幂级数的收敛幂级数的收敛域域是圆域是圆域,且和函数在且和函数在收敛收敛域域(2)(2)内解析内解析.(2)(2)在圆域内的解析函数一定能展开成幂级数在圆域内的解析函数一定能展开成幂级数.对于对于罗朗罗朗级数，已经知道：级数，已经知道：罗朗罗朗级数的收敛级数的收敛域域是圆环域，且和函数在圆是圆环域，且和函数在圆环域内解析环域内解析.问题问题:在圆环域内解析的函数是否可以展开在圆环域内解析的函数是否可以展开成成罗朗罗朗级数级数?对于通常的幂级数，讨论了下面两个问题对于通常的幂级数，讨论了下面两个问题:4.4.2 4.4.2 函数的函数的罗朗罗朗级数展开级数展开定理定理
9、4.12(Laurent展开定理展开定理)设设 函数函数f(z)在圆环域在圆环域 内解析内解析,则函数则函数f(z)在此圆环域内可展开为罗朗级数在此圆环域内可展开为罗朗级数 其中其中曲线曲线C是圆环域内任一条绕是圆环域内任一条绕z0的正向简单闭曲线的正向简单闭曲线.注注:函数函数f(z)展开成罗朗级数的系数展开成罗朗级数的系数 与展开成与展开成Taylor级数的系数在形式上完全相同级数的系数在形式上完全相同,但但 这里的函数这里的函数f(z)在圆环域在圆环域 内解析内解析,在在内不一定解析内不一定解析,所以不能化为所以不能化为z0处的导数处的导数 特别地特别地,如果如果函数函数 f(z)在在内
10、内解析解析,那么根据那么根据柯西柯西-古萨定理古萨定理,所以所以罗朗级数包含了罗朗级数包含了Taylor级数级数.罗朗展开式的唯一性罗朗展开式的唯一性 设函数设函数f(z)在圆环域在圆环域R1|z-z0|R2内解析，并且内解析，并且可以展开成双边幂级数可以展开成双边幂级数则系数为则系数为 注注:函数在圆环域内罗朗展开式是唯一的函数在圆环域内罗朗展开式是唯一的,因此因此为为函数展开成函数展开成罗朗罗朗级数的间接级数的间接方法奠定了基础方法奠定了基础.曲线曲线C是圆环域内任一条绕是圆环域内任一条绕z0的正向简单闭曲线的正向简单闭曲线.将函数在圆环域内展开成将函数在圆环域内展开成罗朗罗朗级数级数,理
11、论理论(1)直接方法直接方法 直接直接计算展开式系数计算展开式系数然后写出然后写出罗朗展开式罗朗展开式这种方法只有理论意义这种方法只有理论意义,而没有实用价值而没有实用价值.就是就是 上应该有两种方法上应该有两种方法:直接方法与间接方法直接方法与间接方法.说说,只有在进行理论推导时只有在进行理论推导时,才使用这种表示方才使用这种表示方法法.根据解析函数罗朗级数展开式的唯一性根据解析函数罗朗级数展开式的唯一性,可可运用代数运算、代换、求导和积分等方法将函数运用代数运算、代换、求导和积分等方法将函数展开成展开成罗朗级数罗朗级数.(2)间接方法间接方法这是将函数展开成这是将函数展开成罗朗罗朗级数的级
12、数的常用方法常用方法.给定函数给定函数与复平面内的一点与复平面内的一点以后以后,函函数在各个不同的圆环域中有不同的罗朗展数在各个不同的圆环域中有不同的罗朗展开式开式.(包括包括Taylor展开式作为特例展开式作为特例)这与罗朗展开式的唯这与罗朗展开式的唯一性并不矛盾一性并不矛盾,但在同一圆环域内的展开式唯一但在同一圆环域内的展开式唯一.内展开成罗朗级数内展开成罗朗级数.例例4.9 4.9 将函数将函数在圆环域在圆环域处都解析处都解析,并且可分解为并且可分解为 4.4.3 4.4.3 典型例题典型例题函数函数f(z)在在z=1和和z=2处处不解析不解析,在其它点在其它点oxy1(1)在在 内内,
13、有有 则则 于是在于是在 内，内，12oxy(2)在在 内内,有有 2oxy于是在于是在 内内,(3)在在 内内,有有 于是在于是在 内内,2oxy.1(4)由由 知知,展开的级数形式应为展开的级数形式应为 所以在所以在 内内,例例4.10将函数将函数 在区域在区域 内展开成罗朗级数内展开成罗朗级数.解因为在解因为在 内展开内展开,所以所以 展开的级数形式应为展开的级数形式应为 因为因为 所以在所以在 内内,例例4.11将将 在在 内展开内展开 为罗朗级数为罗朗级数.解除解除z=0点之外点之外,f(z)在复平面内处处解析在复平面内处处解析,对任何复数对任何复数z z,于是在于是在 内内,第四章第四章 完完