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1、2.2.2 函数的表示法1 1 初中我们学习过初中我们学习过,函数的表示方法通常有函数的表示方法通常有 种种,它们是它们是 、和和 。列表法列表法图像法图像法解析法解析法三三 在研究函数的过程中在研究函数的过程中,采用不同的方法表示函数采用不同的方法表示函数,可以从不可以从不同的角度帮助我们理解函数的性质同的角度帮助我们理解函数的性质,是研究函数的重要手段是研究函数的重要手段.2列表法的优点：列表法的优点：不必通过计算就能知道两个变量之间的不必通过计算就能知道两个变量之间的对应关系，比较直观。对应关系，比较直观。在实际问题中常常使用表格，有些表格描述了两个变量间在实际问题中常常使用表格，有些表
2、格描述了两个变量间的函数关系。比如，某天一昼夜温度变化情况如下表的函数关系。比如，某天一昼夜温度变化情况如下表时刻时刻0：004：008：0012：0016：0020：0024：00温度温度/(OC)-2-5498.53.5-1 像这样，用像这样，用表格的表格的形式表示两个变量之间形式表示两个变量之间函数关系函数关系的方法，的方法，称为称为列表法列表法。列表法的缺点：列表法的缺点：它只能表示有限个元素间的函数关系。它只能表示有限个元素间的函数关系。1 1、列表法、列表法3图像法的优点：图像法的优点：能形象直观的表示出函数的局部变化规律。能形象直观的表示出函数的局部变化规律。人的心脏跳动强度是时
3、间的函数。医学上常用心电图，就是利用人的心脏跳动强度是时间的函数。医学上常用心电图，就是利用仪器记录心脏跳动的强度（函数值）随时间变化的曲线图。仪器记录心脏跳动的强度（函数值）随时间变化的曲线图。2、图像法、图像法 像这样，用像这样，用图像图像把两个变量间的把两个变量间的函数关系函数关系表示出来的方法，表示出来的方法，称为称为图像法图像法。图像法的缺点：图像法的缺点：只能近似求出自变量所对应的函数值，而且有时误只能近似求出自变量所对应的函数值，而且有时误 差较大。差较大。4 把两个变量的函数关系，用一个等式表示，这个等式叫做把两个变量的函数关系，用一个等式表示，这个等式叫做函数的函数的解析表达
4、式解析表达式，简称简称解析式解析式。3 3、解析法、解析法正比列函数正比列函数反比列函数反比列函数一次函数一次函数二次函数二次函数函函数数解解析析式式 一个函数的对应关系可以用自变量的一个函数的对应关系可以用自变量的解析表达式解析表达式（简称解（简称解析式）表示出来，这种方法称为析式）表示出来，这种方法称为解析法解析法。解析法的优点：解析法的优点：一是简明、全面地概括了变量间的关系；二是可一是简明、全面地概括了变量间的关系；二是可以通过解析式求任意一个函数值。三是能便利研究函数性质。以通过解析式求任意一个函数值。三是能便利研究函数性质。解析法的解析法的缺缺点：点：不够形象、直观，而且并不是所有
5、函数都有解析式。不够形象、直观，而且并不是所有函数都有解析式。5解析法解析法1、h=130t-5t2（0t26）2、南极臭氧层空洞图象法图象法3、恩格尔系数列表法列表法6(5)(5)(5)(5)气温的摄氏度数气温的摄氏度数气温的摄氏度数气温的摄氏度数x x x x与华氏度数与华氏度数与华氏度数与华氏度数y y y y之间可以进行转化。之间可以进行转化。之间可以进行转化。之间可以进行转化。(6)(6)(6)(6)某气象站测得当地某一天的气温变化情况如图所示：某气象站测得当地某一天的气温变化情况如图所示：某气象站测得当地某一天的气温变化情况如图所示：某气象站测得当地某一天的气温变化情况如图所示：2
6、010121816142422(时)时间t温度T（）-0468(4)(4)(4)(4)近年来上海市区的环境绿化不断得到改善，下表是近年来上海市区的环境绿化不断得到改善，下表是近年来上海市区的环境绿化不断得到改善，下表是近年来上海市区的环境绿化不断得到改善，下表是上海市区人均绿化面积变化的一些统计数据：上海市区人均绿化面积变化的一些统计数据：上海市区人均绿化面积变化的一些统计数据：上海市区人均绿化面积变化的一些统计数据：年份200020012002200320042005人均绿化面积(）4.55.57.09.410.011.0解析法解析法图象法图象法列列表表法法7用用表格表格的形式表示两个变量之
7、间的形式表示两个变量之间函数关系函数关系的方法。的方法。用用图像图像把两个变量间的把两个变量间的函数关系函数关系表示出来的方法。表示出来的方法。一个函数的对应关系可以用自变量的一个函数的对应关系可以用自变量的解析表达式解析表达式（简称（简称解析式解析式）表示出来。表示出来。函函数数的的表表示示法法列表法列表法图像法图像法解析法解析法 列表法图像法解析法优 点不必通过计算就能知道两个变量之间的对应关系，比较直观可以直观地表示函数的局部变化规律，进而可以预测它的整体趋势一是简明、全面地概括了变量间的关系；二是可以通过解析式求任意一个函数值。三是能便利研究函数性质。缺 点只能表示有限个元素间的函数关
8、系有些函数的图像难以精确作出不够形象、直观，一些实际问题难以找到它的解析式8例例1 某种笔记本每个某种笔记本每个5元元,买买x（x 1,2,3,4,5）个笔记本需要）个笔记本需要y(元元).试用三种表示方法表示函数试用三种表示方法表示函数y=f(x).解：这个函数的定义域是解：这个函数的定义域是数集数集 1,2,3,4,5，解析法表示解析法表示:y=5x,(x1,2,3,4,5)笔记本数笔记本数x12345钱数钱数y510152025列表法表示列表法表示:123450510152025图象法表示：图象法表示：9它的函数图像为第一和第二象限的角平分线它的函数图像为第一和第二象限的角平分线.-3
9、-2 -1 O1 2 3321xy解解:由绝对值的定义，得由绝对值的定义，得:例例2、请画出函数、请画出函数 的图像的图像:010例3、国内跨省市之间邮寄信函,每封信函的质量和对应的邮资如表.信函质量(m)/g0m2020m4040m6060m8080m100邮资(M)/元1.202.403.604.806.00画出图像,并写出函数的解析式.解：邮资是信函质量的函数，函数图像如图。函数的解析式为M1.20，0m20，2.40，20m40，3.60，40m60，4.80，60m80，6.00，80m100.o 20 40 60 80 100 m/g 1.204.803.602.401.20M/元
10、元11例3、国内跨省市之间邮寄信函,每封信函的质量和对应的邮资如表.信函质量(m)/g0m2020m4040m6060m8080m100邮资(M)/元1.202.403.604.806.00画出图像,并写出函数的解析式.解：邮资是信函质量的函数，函数图像如图。函数的解析式为M1.20，0m20，2.40，20m40，3.60，40m60，4.80，60m80，6.00，80m100.o 20 40 60 80 100 m/g 1.204.803.602.401.20M/元元 这样的函数称为分段函数分段函数分段函数不是几个分段函数不是几个函数，而是同一个函数，而是同一个函数在不同范围内函数在不同
11、范围内的表示方法不同的表示方法不同12所谓所谓“分段函数分段函数”，习惯上指在，习惯上指在定义域的不定义域的不同部分同部分，有，有不同的对应法则不同的对应法则的函数，的函数，（1）分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数；（2）分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集。对它应有以下两点基本认识：函数图象既可以是连续的曲线曲线，也可以是直线直线、线段线段、折线折线、离散的点点等等。13例例4、某质点在、某质点在30s内运动速度内运动速度v是时间是时间t的函数的函数,它的图像如图它的图像如图,用解析法表示出这个函数用解析法表示出这个函数,并求出并求出9s时质点的速度时质点的速度
12、.t/sv/(cm/s)0 5 10 15 20 25 303025201510 5代入(20，30)，(30，0)得b=105k+b=15设设 v=kt+bb=10k=1v=t+10代入(0，10)，(5，15)得20k+b=3030k+b=0k=3b=90v=3t+9014例例4、某质点在、某质点在30s内运动速度内运动速度v是时间是时间t的函数的函数,它的图像如图它的图像如图,用解析法表示出这个函数用解析法表示出这个函数,并求出并求出9s时质点的速度时质点的速度.t/sv/(cm/s)0 5 10 15 20 25 303025201510 5t0,5)，t5,10)，t10,20)，t
13、20,30.9 5,10)当当t=9s时时,质点的速度质点的速度v(9)=39=27(cm/s).解 速度是时间的函数，解析式为 求分段函数的值时，求分段函数的值时，首先应确定自变量在定义域中所在的范围首先应确定自变量在定义域中所在的范围;再按相应的对应法则求值再按相应的对应法则求值v(2)=v(12)=v(20)=v(7)=15例例4、某质点在、某质点在30s内运动速度内运动速度v是时间是时间t的函数的函数,它的图像如图它的图像如图,用解析法表示出这个函数用解析法表示出这个函数,并求出并求出9s时质点的速度时质点的速度.t/sv/(cm/s)0 5 10 15 20 25 303025201
14、510 5v(t)=t+10,(0 t5),3t,(5 t10),30,(10 t 20),t=9s时时,v(9)=39=27 (cm/s)-3t+90,(20 t30).解解:解析式为解析式为161.写出下列函数的定义域、值域：（1）f(x)=3x+5;（2）f(x)的图像如图；x12345678f(x)182764125216343512(3)(1)(1)、定义域和值域都是、定义域和值域都是(2)(2)、定义域为、定义域为思考交流思考交流值域为值域为(3)(3)、定义域为、定义域为值域为值域为1,2,3,4,5,6,7,81,8,27,64,125,216,343,512Ra1,a2a3,
15、a4b4,b3172.下面图形是函数图像吗？O 11xyO 11xyO 11xy对于每一个自变量是不是对于每一个自变量是不是有唯一的值和它对应有唯一的值和它对应思考交流思考交流183.3.下图中可表示函数下图中可表示函数y=f(x)的图像的只可能是（的图像的只可能是（）xyo oxyo oxyo oxyo oD D思考交流思考交流194.设设M=0,2,N=1,2,在下列各图在下列各图中中,能表示能表示f:MN的函数的函数是是().xxxxyyyy000022222222ABCDD思考交流思考交流205.已知函数已知函数f(x)=x+2,(x1)x2,(1x2)2x,(x2)若若f(x)=3,
16、则则x的值是的值是()A.1B.1或或C.1,D.D 思考交流思考交流21如何求函数解析式如何求函数解析式一、【配凑法（整体代换法）配凑法（整体代换法）】可把 看成一个整体，把右边变为由 组成的式子，再换元求出 的式子。若已知的表达式，欲求的表达式，22如何求函数解析式如何求函数解析式一、【配凑法（整体代换法）配凑法（整体代换法）】可把 看成一个整体，把 右边右边 变为由 组成的式子，再换元求出 的式子。若已知的表达式，欲求的表达式，23二、【换元法换元法】已知的表达式，欲求，我们常设 等式变形解题步骤：解题步骤：把把 t 换成换成 x把把 x 换成换成 t等式变形等式变形(用用 t 表示表示
17、 x）解题时，把某个式子看成一个整体解题时，把某个式子看成一个整体,用一个变量用一个变量去代替它去代替它,从而使问题得到简化从而使问题得到简化,这叫换元法。这叫换元法。24二、【换元法换元法】已知的表达式，欲求，我们常设解题步骤：解题步骤：把把 t 换成换成 x把把 x 换成换成 t等式变形等式变形(用用 t 表示表示 x）解题时，把某个式子看成一个整体解题时，把某个式子看成一个整体,用一个变量用一个变量去代替它去代替它,从而使问题得到简化从而使问题得到简化,这叫换元法。这叫换元法。25若已知 的结构时，可设出含参数的表达式，再根据已知条件，列方程或方程组，从而求出待定的参数，求得 的表达式。
18、三、【待定系数法待定系数法】正比列函数反比列函数一次函数二次函数由怛等式的性质，得故所求函数的解析式为故所求函数的解析式为26若已知 的结构时，可设出含参数的表达式，再根据已知条件，列方程或方程组，从而求出待定的参数，求得 的表达式。三、【待定系数法待定系数法】由怛等式的性质，得故所求函数的解析式为故所求函数的解析式为27待定系数法待定系数法只适用于已知所求函数类型求其解析式，配凑法配凑法与换元法换元法所依据的数学思想完全相同-整体思想。配凑法配凑法换元法换元法待定系数法待定系数法是求函数解析式常用的方法是求函数解析式常用的方法28四四、【、【方程组法方程组法】对于已知等式中出现两个不同变量的
19、函数关系式，依据这两个变量的关系，重新建立关于这两个变量的不同等式，利用整体思想整体思想把 和另一个函数看成未知数，解方程组得函数 的解析式。此类方法类似于解二元一次方程组，故称为方程组法。292得：得：代入消元法 加减消元法30四四、【、【方程组法方程组法】对于已知等式中出现两个不同变量的函数关系式，依据这两个变量的关系，重新建立关于这两个变量的不同等式，利用整体思想把 和另一个函数看成未知数，解方程组得函数 的解析式。此类方法类似于解二元一次方程组，故称为方程组法。312得：得：32五五、【、【赋值法赋值法(特殊值代入法特殊值代入法)】1033解析主要看是否是一对多，A 定义域分段时不能重
20、复思考交流思考交流1、34解析只有满足对任意x都有唯一的y与之对应 D思考交流思考交流2、不能一对多 358 1、某人去上班，由于担心迟到，因此跑着赶路，直到跑累了再走完余下的路程如果用纵轴表示与工作单位的距离，横轴表示出发后的时间，则下列四个图像中比较符合此人走法的是()解析一开始离工作单位最远，排除A、C；开始跑得快，故在较少时间内离工作单位越来越近，故一开始时减得快，后来减得慢，即开始时倾斜程度较陡，后来较缓D 思考交流思考交流3、36 3汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s看做时间t的函数，其图像可能是()解析搞清楚汽车行驶过程中的每一阶段
21、的路程随时间的变化情况是解题的关键汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶直至停车，在行进过程中s随时间t的增大而增大，故排除D.另外汽车在行进过程中有匀速行驶的状态，故排除C.又因为在开始时汽车启动后加速行驶的过程中行驶路程s随时间t的变化越来越快，在减速行驶直至停车的过程中行驶路程s随时间t的变化越来越慢，排除B.A 4、374已知函数 f(x)，g(x)分别由下表给出：x1 2 3f(x)2 3 1则f(g(1)_；x123g(x)321当g(f(x)2时，x_.解析由题意知，g(1)=3，g(2)2，f(g(1)=f(3)=1f(x)2，x1.11思考交流思考交流5、38解析分段函数的求值问题，关键是将自变量对应到相应的“段”，然后代入求解 思考交流思考交流6、393思考交流思考交流7、405.已知函数f(x)的图象如图所示，则此函数的定义域是 ，值域是 .【解析】由图象可看出 3x3，2y22,2 3,3思考交流思考交流8、41解：解：(1)、f(x)的定义域为的定义域为x|x1 x|1x1 x|x1 Rf(x)的值域为的值域为y|y2 1y|y2y|y2或或y1f(x)的定义域为R，值域为y|y2或y1.思考交流思考交流9、42