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1、令令惯性力惯性力有有质点的达朗贝尔原理:作用在质点的主动力、约束力和虚加的惯性在形式上形式上组成平衡力系。15-1 15-1 惯性力惯性力质点的达朗贝尔原理质点的达朗贝尔原理在任意瞬时，质点的惯性力的大小等于质点的 质量与其加速度的乘积，方向与加速度的方向相反，作用在使质点获得加速度的施力物体上。例例15-1 15-1 用达朗贝尔原理求解用达朗贝尔原理求解已知已知:求求:Ol解解:解得解得先分析小球的受力和加速度，如图15-2 15-2 质点系的达朗贝尔原理质点系的达朗贝尔原理记记为为作用于第作用于第i i个质点上外力的合力个质点上外力的合力.为作用于第为作用于第i i个质点上内力的合力个质点
2、上内力的合力.则有则有因因有有另一表述：作用在质点系上的外力与虚加在每个质点上的惯性力在形式上组成平衡力系。质点系的达朗贝尔原理：质点系中每个质点上作用的主动力，约束力和它的惯性力在形式上组成平衡力系.例例15-215-2如图所示如图所示,定滑轮定滑轮的半径为的半径为r,质量为质量为m均匀分均匀分布在轮缘上布在轮缘上,绕水平轴绕水平轴转转动动.垮过滑轮的无重绳的两垮过滑轮的无重绳的两端挂有质量为端挂有质量为m1 1和和m2 2的重的重物物(m m2),),绳与轮间不打绳与轮间不打滑滑,轴承摩擦忽略不计轴承摩擦忽略不计,求求重物的加速度重物的加速度.OABr解解:由由解得解得以系统为研究对象，加
3、速度和受力分析如图。OABraam1gmgm2gFNy球球球球磨磨磨磨机机机机是是是是一一一一种种种种破破破破碎碎碎碎机机机机械械械械，在在在在鼓鼓鼓鼓室室室室中中中中装装装装进进进进物物物物料料料料和和和和钢钢钢钢球球球球，如如如如图图图图所所所所示示示示。当当当当鼓鼓鼓鼓室室室室绕绕绕绕水水水水平平平平轴轴轴轴转转转转动动动动时时时时，钢钢钢钢球球球球被被被被鼓鼓鼓鼓室室室室携携携携带带带带到到到到一一一一定定定定高高高高度度度度，此此此此后后后后脱脱脱脱离离离离壳壳壳壳壁壁壁壁而而而而沿沿沿沿抛抛抛抛物物物物线线线线轨轨轨轨迹迹迹迹落落落落下下下下，最最最最后后后后与与与与物物物物料料料
4、料碰碰碰碰撞撞撞撞以以以以达达达达到到到到破破破破碎碎碎碎的的的的目目目目的的的的。如如如如已已已已知知知知鼓鼓鼓鼓室室室室的的的的转转转转速速速速为为为为n n rpmrpm，直直直直径径径径为为为为D D。设设设设钢钢钢钢球球球球与与与与壳壳壳壳壁壁壁壁间间间间无滑动，试求最外层钢球的脱离角无滑动，试求最外层钢球的脱离角无滑动，试求最外层钢球的脱离角无滑动，试求最外层钢球的脱离角 。例例15-3应用质点动静法应用质点动静法应用质点动静法应用质点动静法 设钢球的质量为设钢球的质量为设钢球的质量为设钢球的质量为m m。钢球脱离壳壁的瞬时，钢球脱离壳壁的瞬时，钢球脱离壳壁的瞬时，钢球脱离壳壁的瞬
5、时，壳壁对钢球的约束力壳壁对钢球的约束力壳壁对钢球的约束力壳壁对钢球的约束力F FN N=0=0。鼓室以匀角速度鼓室以匀角速度鼓室以匀角速度鼓室以匀角速度 转动，钢球尚未脱离转动，钢球尚未脱离转动，钢球尚未脱离转动，钢球尚未脱离壳壁时，其加速度为：壳壁时，其加速度为：壳壁时，其加速度为：壳壁时，其加速度为：因此惯性力的大小为因此惯性力的大小为因此惯性力的大小为因此惯性力的大小为F*F*解：解：解：解：m mg gF FN NF F 即脱离角即脱离角即脱离角即脱离角 与鼓室转速与鼓室转速与鼓室转速与鼓室转速n n有关。有关。有关。有关。求得求得求得求得 这就是钢球在任一位置这就是钢球在任一位置时
6、所受的法向时所受的法向动约束力，显然当钢球脱离壳壁时，动约束力，显然当钢球脱离壳壁时，FN=0，由此可求出其脱离角由此可求出其脱离角为为m mg gF FN NF F 15-315-3刚体惯性力系的简化刚体惯性力系的简化 刚体平移刚体平移惯性力系向质心简化惯性力系向质心简化.只只简化为一个力简化为一个力2 2 刚体定轴转动刚体定轴转动大小为大小为:由由由由有有记记为为对于对于z z 轴的惯性积轴的惯性积.同理同理如果刚体有质量对称面且该面与转动轴垂直如果刚体有质量对称面且该面与转动轴垂直,简化中简化中心取此平面与转轴的交点心取此平面与转轴的交点,则则有有刚体作平面运动刚体作平面运动（平行于质量
7、对称面）（平行于质量对称面）因因例例15-4 质质质质量量量量为为为为 m m ，长长长长 l l 的的的的匀匀匀匀质质质质细细细细直直直直杆杆杆杆 ABAB ，其其其其 A A 端端端端铰铰铰铰接接接接在在在在铅铅铅铅直直直直轴轴轴轴 AzAz 上上上上，并并并并以以以以匀匀匀匀角角角角速速速速度度度度 绕绕绕绕该该该该轴轴轴轴转转转转动动动动。求求求求当当当当 ABAB 与与与与转转转转轴轴轴轴间间间间的的的的夹角夹角夹角夹角 =常量常量常量常量(图图图图 a a )时时时时 与与与与 的关系，以及铰链的关系，以及铰链的关系，以及铰链的关系，以及铰链 A A 的约束力。的约束力。的约束力。
8、的约束力。mgF*FAzFAx(a a )(b(b )取取取取杆杆杆杆 AB AB 作作作作为为为为研研研研究究究究对对对对象象象象。受受受受力力力力如如如如图图图图(b b )。显显显显然然然然当当当当 不不不不变变变变时时时时，杆杆杆杆上上上上各各各各点点点点只只只只有有有有向向向向心心心心加加加加速速速速度度度度a an n ，方方方方向向向向都都都都为为为为水水水水平平平平并并并并指指指指向向向向转转转转轴轴轴轴；这这这这样，杆的惯性力是同向平行分布力，如图样，杆的惯性力是同向平行分布力，如图样，杆的惯性力是同向平行分布力，如图样，杆的惯性力是同向平行分布力，如图(b b )所示。所示
9、。所示。所示。解：解：解：解：mgF*FAzFAx(a a )(b(b )因而惯性力的元素是因而惯性力的元素是因而惯性力的元素是因而惯性力的元素是 沿沿杆杆 AB 取取任任一一微微小小段段 d考考虑虑，它它的的质质量量是是mg d/gl，加速度是加速度是2sin。全杆惯性力合力的大小可用积分求出全杆惯性力合力的大小可用积分求出全杆惯性力合力的大小可用积分求出全杆惯性力合力的大小可用积分求出设合力设合力设合力设合力 F F*的作用线与杆的作用线与杆的作用线与杆的作用线与杆 AB AB 的交点是的交点是的交点是的交点是 D D ，并以并以并以并以 b b 代表代表代表代表 D D 到到到到A A
10、的距离，则的距离，则的距离，则的距离，则mgF*FAzFAx由对点由对点由对点由对点 A A 的合力矩定理，有的合力矩定理，有的合力矩定理，有的合力矩定理，有把式把式(1)代入式代入式(2)，即可求得，即可求得mgF*FAzFAx写出杆的动态平衡方程，有写出杆的动态平衡方程，有写出杆的动态平衡方程，有写出杆的动态平衡方程，有把表达式把表达式(1)代入平衡方程代入平衡方程(3)，有，有即即即即（3 3）（4 4）（5 5）mgF*FAzFAx从而求得从而求得从而求得从而求得显然显然,第二个解只在第二个解只在 3g/2l21 时成立。第一个解能否成立，时成立。第一个解能否成立，还需进一步分析。还需
11、进一步分析。利用利用利用利用(4)(4)，(5)(5)，可以求得铰链上的反作，可以求得铰链上的反作，可以求得铰链上的反作，可以求得铰链上的反作用力，有用力，有用力，有用力，有第第5章章 达朗伯原理达朗伯原理mgF*FAzFAx例例15-5 15-5 如图所示如图所示,电动机定子及其外壳总质量为电动机定子及其外壳总质量为m1,质心位质心位于于O O 处处.转子的质量为转子的质量为m2,质心位于质心位于 处处,偏心矩偏心矩e,图示图示平面为转子的质量对称面平面为转子的质量对称面.电动机用地角螺钉固定于水平基础电动机用地角螺钉固定于水平基础上上,转转O O与水平基础间的距离为与水平基础间的距离为h
12、h.运动开始时运动开始时,转子质心转子质心位于位于最低位置最低位置,转子以匀角速度转子以匀角速度 转动转动.求求:基础与地角螺钉给电动机总的约束力基础与地角螺钉给电动机总的约束力.xym1gm2gCOh解解:因因以电动机为研究对象，如图例例15-6 15-6 如图所示如图所示,电动绞车安装在梁上电动绞车安装在梁上,梁的两端搁在梁的两端搁在支座上支座上,绞车与梁共重为绞车与梁共重为P.绞盘半径为绞盘半径为R,与电机转子固结在一与电机转子固结在一起起,转动惯量为转动惯量为J,质心位于质心位于O 处处.绞车以加速度绞车以加速度a a提升质量为提升质量为m m的重物的重物,其它尺寸如图其它尺寸如图.已
13、知已知:求求:支座支座A，B受到的附加约束力。受到的附加约束力。ABxyal1l2l3mgW解解:解得解得:以绞车和梁一起为研究对象ABxyal1l2l3mgF*WFAFBM*上式中前两项为静约束力，附加动约束力为上式中前两项为静约束力，附加动约束力为附加压力（或附加动约束力）决定于惯性力系，附加压力（或附加动约束力）决定于惯性力系，附加压力（或附加动约束力）决定于惯性力系，附加压力（或附加动约束力）决定于惯性力系，只求附加压力时，列方程不必考虑重力。只求附加压力时，列方程不必考虑重力。只求附加压力时，列方程不必考虑重力。只求附加压力时，列方程不必考虑重力。均均质质圆圆盘盘质质量量为为mA，半
14、半径径为为r。细细长长杆杆长长l=2r，质质量量为为m。杆杆端端A点点与与轮轮心心为为光光滑滑铰铰接接，如如图图所所示示。如如在在A处处加加一一水水平平拉拉力力F，使使轮轮沿沿水水平平面面滚滚动动。问问F力力多多大大能能使使杆杆的的B端端刚刚刚刚离离开开地地面面？又又为为保保证证纯纯滚滚动动，轮轮与与地地面面间间的的静静滑滑动动摩摩擦擦系系数数应应为为多多大大？m mA Ag gm mg gF FA AB BC C例例例例 题题题题 5-75-7 细细细细细细杆杆杆杆杆杆刚刚刚刚刚刚离离离离离离地地地地地地面面面面面面时时时时时时仍仍仍仍仍仍为为为为为为平平平平平平动动动动动动，而而而而而而地
15、地地地地地面面面面面面约约约约约约束束束束束束力力力力力力为为为为为为零零零零零零，设设设设设设其其其其其其加加加加加加速速速速速速度度度度度度为为为为为为a a a。以以以以以以杆杆杆杆杆杆为为为为为为研研研研研研究究究究究究对对对对对对象象象象象象，杆杆杆杆杆杆承承承承承承受受受受受受的的的的的的力力力力力力并并并并并并加加加加加加上上上上上上惯性力如图所示，其中惯性力如图所示，其中惯性力如图所示，其中惯性力如图所示，其中惯性力如图所示，其中惯性力如图所示，其中F F F*C C C=mamama。整个系统承受的力并加上惯性力如图，其中整个系统承受的力并加上惯性力如图，其中整个系统承受的力
16、并加上惯性力如图，其中整个系统承受的力并加上惯性力如图，其中整个系统承受的力并加上惯性力如图，其中整个系统承受的力并加上惯性力如图，其中F FF*A AA=m mmA AAa aa ,由方程由方程由方程由方程 得得得得解出解出解出解出A AB BC CF F*C Cm mg gF FAxAxF FAyAya a解：解：解：解：按动静法列出方程按动静法列出方程按动静法列出方程按动静法列出方程m mA Ag gm mg gF FA AB BC CF F*AAF F*C CMM*为求摩擦力，应以圆轮为研究对象。为求摩擦力，应以圆轮为研究对象。为求摩擦力，应以圆轮为研究对象。为求摩擦力，应以圆轮为研究
17、对象。由方程由方程由方程由方程 ，得，得，得，得地面摩擦力地面摩擦力地面摩擦力地面摩擦力解得解得解得解得m mA Ag gm mg gF FA AB BC CF FNNF F*AAF F*C CMM*F Fs s m mA Ag gF FA AF FNNF F*AAMM*F Fs s 再再再再 以以以以 整整整整 个个个个 系系系系 统统统统 为为为为 研研研研 究究究究 对对对对 象象象象，由由由由 方方方方 程程程程 ，得，得，得，得由此，地面摩擦系数由此，地面摩擦系数由此，地面摩擦系数由此，地面摩擦系数A AF FNNF F*AAF F*C Cm mA Ag gm mg gF FB BC
18、 CMM*F Fs s m mA Ag gF FA AF FNNF F*AAMM*F Fs s15-4 15-4 转子的静平衡与动平衡的概念转子的静平衡与动平衡的概念解得解得即即:必有必有通过质心的惯性主轴称为中心惯性主轴因此，避免出现轴承动约束力的条件是：刚体的转轴应因此，避免出现轴承动约束力的条件是：刚体的转轴应是刚体的中心惯性主轴是刚体的中心惯性主轴.引起的轴承约束力称动约束力引起的轴承约束力称动约束力由由称称满足满足的轴的轴z z为为惯性主轴惯性主轴动约束力为零的条件为动约束力为零的条件为:转子的静平衡：静平衡：设刚体的转轴通过质心，且刚体除重力外，没有受到其它主动力作用，则刚体可以在
19、任意位置静止不动，这种现象称为静平衡。转子的动平衡：动平衡：当刚体的转轴通过质心且为惯性主轴时，刚体转动时不出现轴承附加动反力，这种现象称为动平衡。转子的静平衡与动平衡的概念转子的静平衡与动平衡的概念 飞轮质量为飞轮质量为m，半径为半径为R，以匀角速度以匀角速度转动。设轮缘转动。设轮缘较薄，质量均匀分布，轮辐质量不计。若不靠考虑重力的较薄，质量均匀分布，轮辐质量不计。若不靠考虑重力的影响，求轮缘横截面的张力。影响，求轮缘横截面的张力。例例例例 题题题题 5-85-8 取取取取取取四四四四四四分分分分分分之之之之之之一一一一一一轮轮轮轮轮轮缘缘缘缘缘缘为为为为为为研研研研研研究究究究究究对对对对
20、对对象象象象象象，如如如如如如图图图图图图所所所所所所示示示示示示。将轮缘分成无数微小的弧段，每段加惯性力将轮缘分成无数微小的弧段，每段加惯性力将轮缘分成无数微小的弧段，每段加惯性力将轮缘分成无数微小的弧段，每段加惯性力将轮缘分成无数微小的弧段，每段加惯性力将轮缘分成无数微小的弧段，每段加惯性力 建立平衡方程建立平衡方程建立平衡方程建立平衡方程建立平衡方程建立平衡方程令令令令令令 ，有，有，有，有，有，有xyRABOFAFB解：解：解：解：由于轮缘质量均分布，任一截由于轮缘质量均分布，任一截面张力都相同。面张力都相同。再建立平衡方程再建立平衡方程同样解得同样解得xyRABOFAFB 半半径径为
21、为R，重重量量为为W1的的大大圆圆轮轮，由由绳绳索索牵牵引引，在在重重量量为为W2的的重重物物A的的作作用用下下，在在水水平平地地面面上上作作纯纯滚滚动动，系系统统中中的的小小圆圆轮轮重重量量忽忽略略不不计计。求求大大圆圆轮轮与与地地面之间的滑动摩擦力。面之间的滑动摩擦力。A AO OC CWW1 1WW2 2R R例例例例 题题题题 5-95-9 解：解：解：解：考察整个系统，有考察整个系统，有考察整个系统，有考察整个系统，有4 4个个个个未知约束力。未知约束力。未知约束力。未知约束力。如如如如果果果果直直直直接接接接采采采采用用用用动动动动静静静静法法法法，需需需需将将将将系系系系统统统统
22、拆拆拆拆开开开开。因因因因为为为为系系系系统统统统为为为为一一一一个个个个自自自自由由由由度度度度，所所所所以以以以考考考考虑虑虑虑先先先先应应应应用用用用动动动动能能能能定定定定理理理理，求求求求出出出出加加加加速速速速度度度度，再对大圆轮应用动静法。再对大圆轮应用动静法。再对大圆轮应用动静法。再对大圆轮应用动静法。1.应用动能定理。应用动能定理。AOCW1W2RFFNFOxFOy1.1.应用动能定理。应用动能定理。应用动能定理。应用动能定理。两边对时间两边对时间两边对时间两边对时间 t t 求导，且求导，且求导，且求导，且得得得得A AO OC CWW1 1WW2 2R RF FF FN NF FOxOxF FOyOy2.应用动静法。应用动静法。取轮子为研究对象。取轮子为研究对象。C CF FF FN NJ JJC CC WW1 1a a将将将将 带入上式得带入上式得带入上式得带入上式得FOxAOCW1W2RFFNFOy作业：作业：P205P212511、516、517