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1、?为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益第五章 应变分析?为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益单元体变形有两种形式：线单元的相对伸缩称为正应变；两个线单元间夹角的相对变化称为剪应变。应变是表示变形大小的物理量。物体变形时，质点必有位移；但质点有位移时却未必有变形；物体变形时，同时伴随有刚体运动(平动和转动)，应变分析时应该把刚体运动滤掉。应变状态可通过过一点的三个正交线单元的变形情况来确定。5.1 基本概念和应力分析相似，应变分析需要引入
2、点的应变状态的概念。不同方向应变的大小是不同的。一点的应变状态需要一个应变张量来描述。应变张量和应力张量有着相似的性质。?为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益考察物体变形前后平行于坐标轴的线单元在直角坐标系中的变化。一、直角坐标系中的应变分量线元rx的正应变为 线元rx的倾角变化为rxryrxxyryrxryrxxyryoo5.2 小变形分析(一般指小于10-3的变形)线元ry的正应变为 线元ry的倾角变化为?为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工
3、的合法权益推广到三维空间，一个线元可以有一个正应变和两个倾角变化。因此描述一个单元体的变形可以有九个分量。以x-y坐标面上线单元的变化为例，真正那反映物体剪切变形的是两个线元倾角变化之和。两个倾角往往并不相等。为了和剪力互等相协调，定义一个互等的剪应变为这一新定义没有改变变形的大小，只是相当于迭加了一个刚体转动。推广到三维空间，可以用一个应变张量确定一点的应变状态：一、直角坐标系中的应变分量?为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益对于一个变形体而言，质点位移是位置的函数。质点是连续的，位移也是连续的。变形体各质点位移
4、的总和构成物体的位移场。如何确定一点的位移？位移是矢量，它有三个分量，每个分量都是位置的函数。变形体的位移场可以用一组三个方程来表示：变形是由质点位移造成的。但是质点位移并不一定要造成变形。下面考察位移和表示变形的应变有什么关系。x方向位移y方向位移z方向位移二、位移函数?为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益AyxuodxCBvdyACBBBCC为简单起见，考虑一个二维问题：设变形体上A(x,y)点位移为u(x,y)和v(x,y)，则某相邻点(x+dx,y+dy)的位移为A点移动到A，位移为u和v。那么，与A点分别
5、距离为dx和dy的B点和C点位移是多少？三、位移与应变之间的关系(几何方程)?为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益对于B点，可以看成是：1)刚体运动至B点，位移为u，2)在x方向移动至B 点，位移增量(B B)为 3)在y方向移动至B 点，位移增量(B B)为根据应变的定义：同样，对于C点，有C C=CC=线元AB的正应变：线元AC的正应变：线元AB和AC的剪应变：三、几何方程（续）?为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益推广至三维空间，
6、便得到位移与应变关系的所谓几何方程:根据求和约定，上述六式可以简记为：注：六个应变分量是从三个位移分量得出，因此不是相互独立的。它们需要满足一组关系式(称为协调方程)。三、几何方程（续）?为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益变形后线元在坐标轴上的投影为设该线元的长度为 r,在坐标轴上的投影为 dx,dy,dz，则如某点变形后应变状态为，那么过该点方向余弦为l,m,n 线元变形后相应的应变如何求得？变形后线元长度变为:四、单元体任意方向上的应变?为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工
7、作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益又知展开上式、减去 r2 并略去高阶微量，得：代入整理得：四、单元体任意方向上的应变?为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益上式中将应变分量换成应力分量，便得到求斜面上正应力的公式。对于斜线元的剪应变，也有类似的关系。这表明应变张量和应力张量在形式上是一致的。同理，应变张量和应力张量一样具有张量的一切特征：不变量(第一不变量当体积不变时等于零)、应变张量的分解、主应变、主剪应变、应变莫尔圆等。等效应变与等效应力形式上类似，仅系数不同：五、应变张量的一些相关概念应变张量的一些
8、相关概念?为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益1、应变张量的分解上式可简记为：应变偏张量也有三个不变量I1,I2,I3。其中I1=0前一个张量对应着材料的形状变化，称为应变偏张量；后一个张量对应着体积变化，称为应变球张量。?为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益2、主应变、应变主轴和主剪应变A)主应变、应变主轴?为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益B)主剪应变
9、?为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益3、八面体应变和等效应变A)八面体应变B)等效应变?为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益特别地对于塑性应变而言，常会用到应变增量和应变速率的概念。原因有二：1)几何方程是从小变形推出的，而塑性变形的全过程往往是大变形；2)应力全量和应变全量之间一般不存在单值关系，应变增量只取决于当时的应力全量。用应变增量表示的几何方程为：两边除以 dt 便得到用应变速率表示的几何方程：七、应变增量和应变速率张量应变
10、增量和应变速率张量?为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益练习一：冲头自上而下以速度压向一圆柱体使其均匀变形，求 其垂直方向的应变速率。X练习二：冲头自上而下压下，使圆柱体其均匀变形，求 其位移场。练习三：物体一平面的法向为主应变方 向。在该平面上贴应变片测得方向正应变。试根据莫尔圆上的几何关系求 各主应变。?为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益5.3 变形协调方程与塑性变形时的体积不变条件一、变形协调方程在几何方程中，六个应变分量取决于
11、三个位移分量对x、y、z的偏导数，所以六个应变分量不能是相互无关的函数，它们之间应有一定的关系，才能保证物体中的所有单元体在变形之后仍然可以连续地组合起来，这样的关系就叫变形连续方程或协调方程。?为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益一、变形协调方程描述坐标平面内应变分量之间的关系?为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益描述不同平面中应变分量之间的关系?为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益和塑性变形相比，弹性变形往往小到可以忽略不计的程度。于是就得到体积不变条件，使问题简化。设单元体初始长度为dx,dy,dz，则初始体积为(dxdydz)。小变形时，可以认为只有正应变才会引起体积变化，变形后体积为体积不变条件意味着单元体的体积变化率为零：二、塑性变形时的体积不变条件