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1、第四章第四章 随机解释变量问题随机解释变量问题 学习目的学习目的 了解随机解释变量问题的概念、产生的原因及造成的后了解随机解释变量问题的概念、产生的原因及造成的后果、克服的方法。果、克服的方法。基本要求基本要求1)认识到随机解释变量问题是计量经济学建模经常会遇到的问题认识到随机解释变量问题是计量经济学建模经常会遇到的问题;2)了解随机解释变量问题的概念、产生的原因及造成的后果了解随机解释变量问题的概念、产生的原因及造成的后果;3)掌握存在随机解释变量问题时的计量经济学建模方法及应用。掌握存在随机解释变量问题时的计量经济学建模方法及应用。随机解释变量问题及其产生原因随机解释变量问题及其产生原因随
2、机解释变量的影响随机解释变量的影响随机解释变量问题的修正随机解释变量问题的修正第四章第四章 随机解释变量问题随机解释变量问题第一节第一节 随机解释变量问题及其产生原因随机解释变量问题及其产生原因、随机解释变量问题、随机解释变量问题 在很多情况下，我们不能假定解释变量全部是确定性变量，而实际上它在很多情况下，我们不能假定解释变量全部是确定性变量，而实际上它们有的是随机变量，我们把违背这一基本假设的问题称为们有的是随机变量，我们把违背这一基本假设的问题称为随机解释变量问题随机解释变量问题。对于模型对于模型 （4-1）其基本假设之一是解释变量其基本假设之一是解释变量X1，X2，Xk都是确定性变量。如
3、果都是确定性变量。如果存在一个或多个解释变量为随机变量，则称原模型存在随机解释变量问题。存在一个或多个解释变量为随机变量，则称原模型存在随机解释变量问题。例例:为讨论方便，假设为讨论方便，假设(4-1)式中式中X1为随机解释变量。为随机解释变量。对于随机解释变量对于随机解释变量X1，由于它和随机扰动项，由于它和随机扰动项i的关系不同，会使模型的关系不同，会使模型参数估计量的特性发生不同变化，所以又可分三种不同情况：参数估计量的特性发生不同变化，所以又可分三种不同情况：析析:1随机解释变量与随机干扰项独立随机解释变量与随机干扰项独立2随机解释变量与随机干扰项同期无关随机解释变量与随机干扰项同期无
4、关,但异期相关但异期相关3随机解释变量与随机干扰项同期相关随机解释变量与随机干扰项同期相关(4-3)(4-4)即即(4-5)即即即即(4-2)二、随机解释变量问题产生的原因二、随机解释变量问题产生的原因随机解释变量问题主要表现随机解释变量问题主要表现但是，并不是所有包含滞后被解释变量的模型都带来但是，并不是所有包含滞后被解释变量的模型都带来“随机解释变量问题随机解释变量问题”用滞后被解释变量作为模型的解释变量的情况。用滞后被解释变量作为模型的解释变量的情况。耐用品存量调整模型。耐用品存量调整模型。著名的著名的“耐用品存量调整模型耐用品存量调整模型”可表示为可表示为(4-6)例例4-1:4-1:
5、该模型表示，耐用品的存量该模型表示，耐用品的存量 由前一个时期的存量由前一个时期的存量 和当期收入和当期收入 共同决定。这是一个滞后被解释变量作为解释变量的模型。但是，如果模型不共同决定。这是一个滞后被解释变量作为解释变量的模型。但是，如果模型不 只与只与 相关，与相关，与 不相关，属于随机解释变量与随机干扰项同期无关，但异期相关的情况。不相关，属于随机解释变量与随机干扰项同期无关，但异期相关的情况。存在随机干扰项的序列相关性，那么随机解释变量存在随机干扰项的序列相关性，那么随机解释变量例例4-2:4-2:合理预期的消费函数模型。合理预期的消费函数模型。合理预期理论认为消费合理预期理论认为消费
6、 是由对收入的预期是由对收入的预期 所决定的：所决定的：(4-7)在预期收入在预期收入 与实际收入与实际收入之间存在假设：之间存在假设：(4-8)的情况下，容易推出合理预期消费函数模型：的情况下，容易推出合理预期消费函数模型：（4-9）在该模型中，作为解释变量的在该模型中，作为解释变量的 不仅是一个随机解释变量，而且与模型的不仅是一个随机解释变量，而且与模型的 高度相关高度相关(因为因为与与高度相关高度相关)，属于随机解释变量，属于随机解释变量 随机干扰项随机干扰项与随机干扰项同期相关的情况。与随机干扰项同期相关的情况。第二节第二节 随机解释变量的影响随机解释变量的影响 计量经济学模型一旦出现
7、随机解释变量，且与随机干扰计量经济学模型一旦出现随机解释变量，且与随机干扰项相关的话，如果仍采用普通最小二乘法估计模型参数，则项相关的话，如果仍采用普通最小二乘法估计模型参数，则不同性质的随机解释变量问题会产生不同的后果。不同性质的随机解释变量问题会产生不同的后果。以一元线性回归模型为例进行说明。以一元线性回归模型为例进行说明。图4-1 从图形从图形(图图4-1)上看，如果随机解释变量与随机干扰项正相关，则在抽上看，如果随机解释变量与随机干扰项正相关，则在抽取样本时，容易出现取样本时，容易出现X值较小的点在总体回归线下方，而值较小的点在总体回归线下方，而X值较大的点在总值较大的点在总体回归线上
8、方的情况，因此，拟合的样本回归线则可能低估体回归线上方的情况，因此，拟合的样本回归线则可能低估(underestimate)了截距项，而高估了截距项，而高估(overestimate)斜率项。反之，如果随机解释变量与随机斜率项。反之，如果随机解释变量与随机干扰项负相关，则往往导致拟合的样本回归线高估截距项，而低估斜率项。干扰项负相关，则往往导致拟合的样本回归线高估截距项，而低估斜率项。对一元线性回归模型对一元线性回归模型(4-10)在第二章曾得到如下最小二乘估计量：在第二章曾得到如下最小二乘估计量：(4-11)随机解释变量随机解释变量X与随机干扰项与随机干扰项的关系不同，参数的关系不同，参数O
9、LS估计量的统计估计量的统计性质也会不同。性质也会不同。分三种不同情况：分三种不同情况：1如果如果X与与 相互独立，得到的参数相互独立，得到的参数OLS估计量仍然是无偏一致估计量。估计量仍然是无偏一致估计量。(4-12)而而,所以所以(4-13)同理，同理，（4-14）所以参数所以参数OLS估计量估计量,仍然是无偏一致估计量仍然是无偏一致估计量分三种不同情况：分三种不同情况：（4-15）2如果如果X与与同期不相关而异期相关，得到的参数同期不相关而异期相关，得到的参数OLS估计量有偏，但却估计量有偏，但却尽管尽管与与同期无关，但对任一同期无关，但对任一，的的与与相关，相关，因此因此，于是，于是
10、即参数即参数OLS估计量是有偏的。但是由（估计量是有偏的。但是由（4-14）可看出）可看出是是的一致估计。的一致估计。是一致的。由是一致的。由(4-12)式易知，式易知，分母中一定包含不同期的分母中一定包含不同期的X ,由异期相关性知由异期相关性知 3如果如果 与与 同期相关，得到的参数估计量有偏且非一致。同期相关，得到的参数估计量有偏且非一致。这时这时Cov(Xt,t)=E(xtt)0,由（由（4-12）、（）、（4-14）容易看出）容易看出参数参数OLS估计量有偏且非一致。估计量有偏且非一致。第三节第三节 随机解释变量问题的修正随机解释变量问题的修正工具变量的选取工具变量的选取工具变量的应
11、用工具变量的应用工具变量法估计量的性质工具变量法估计量的性质 模型中出现随机解释变量并且与随机干扰项相关时，普通最小二乘估计模型中出现随机解释变量并且与随机干扰项相关时，普通最小二乘估计量是量是有偏有偏的。如果随机解释变量与随机干扰项的。如果随机解释变量与随机干扰项异期相关异期相关，则可以通过增大样，则可以通过增大样本容量的办法来得到一致的估计量；但如果是本容量的办法来得到一致的估计量；但如果是同期相关同期相关，即使增大样本容量，即使增大样本容量也无济于事。这时，最常用的方法是也无济于事。这时，最常用的方法是工具变量工具变量(instrument variables)法法。一、工具变量的选取一
12、、工具变量的选取 在模型估计过程中被作为工具使用的变量，在模型估计过程中被作为工具使用的变量，用以替代与随机干扰项相关的随机解释变量。用以替代与随机干扰项相关的随机解释变量。被选择为工具变量的变量必须满足以下被选择为工具变量的变量必须满足以下条件条件：1.工具变量工具变量Z与所替代的随机解释变量与所替代的随机解释变量X高度相关，即高度相关，即（4-16）2.工具变量工具变量 Z 与随机干扰项与随机干扰项不相关，即不相关，即（4-17）3.工具变量工具变量 Z 与模型中其他解释变量不相关，以避免出现多重共线性。与模型中其他解释变量不相关，以避免出现多重共线性。工具变量工具变量二、工具变量的应用二
13、、工具变量的应用（以一元回归模型为例说明）（以一元回归模型为例说明）记一元线性回归模型如下：记一元线性回归模型如下：(4-18)用用普通最小二乘法普通最小二乘法估计模型估计模型(4-18)式式 得正规方程组：得正规方程组：(4-19)按照按照工具变量工具变量的选择条件选择的选择条件选择 z为为 X 的工具变量的工具变量得正规方程组：得正规方程组：（4-20）（4-21）于是于是于是于是 采用工具变量法得到的采用工具变量法得到的正规方程组为正规方程组为 二、工具变量的应用二、工具变量的应用（以多元线性回归模型为例说明）（以多元线性回归模型为例说明）其矩阵形式为其矩阵形式为 采用参数估计量得到的采
14、用参数估计量得到的正规方程组为正规方程组为（4-22）其中其中 通常，对于没有选择另外的变量通常，对于没有选择另外的变量作为工具变量的解释变量，可以认为作为工具变量的解释变量，可以认为用自身作为工具变量。于是用自身作为工具变量。于是Z称为工称为工具变量矩阵。具变量矩阵。三、工具变量法估计量的性质三、工具变量法估计量的性质1 1工具变量法估计量是有偏估计量工具变量法估计量是有偏估计量2 2工具变量法估计量是一致估计量工具变量法估计量是一致估计量1 1工具变量法估计量是工具变量法估计量是有偏估计量有偏估计量 用工具变量法所求的参数估计量用工具变量法所求的参数估计量 与总体参数真值与总体参数真值 之
15、间的关系为之间的关系为（4-23）于是于是（4-24）因因 Z 和和 X 都是随机变量，在一般情况下都是随机变量，在一般情况下，故，故（4-25）上式说明工具变量法估计量一般不具有无偏性。上式说明工具变量法估计量一般不具有无偏性。这说明工具变量法估计量具一致性。这说明工具变量法估计量具一致性。2 2工具变量法估计量是一致估计量工具变量法估计量是一致估计量如果工具变量如果工具变量 Z 选取恰当，则由（选取恰当，则由（4-16）、（）、（4-17）有）有 因此，对式（因此，对式（4-23），两边取概率极限得），两边取概率极限得（4-26）特别指出：特别指出：第一第一，工具变量法并没有改变原模型，只
16、是在原模型的参数估计过程中用，工具变量法并没有改变原模型，只是在原模型的参数估计过程中用 工具变量工具变量“替代替代”随机解释变量。随机解释变量。第一步，用第一步，用OLS法进行法进行X关于工具变量关于工具变量Z的回归的回归（4-27）第二步，以第一步得到的第二步，以第一步得到的 为解释变量，进行如下为解释变量，进行如下OLS回归；回归；（4-28）或者说或者说可等价地分解成下面的两步可等价地分解成下面的两步OLS回归：回归：特别指出：特别指出：如果一个随机解释变量可以找到多个相互独立的工具变量，人们如果一个随机解释变量可以找到多个相互独立的工具变量，人们 希望充分利用这些工具变量的信息，这就
17、形成了广义矩方法希望充分利用这些工具变量的信息，这就形成了广义矩方法(GMM)。在在GMM中，如何求解成为它的中，如何求解成为它的核心问题核心问题。GMM是近是近20年计量经济学理论方法发展的重要方向之一。年计量经济学理论方法发展的重要方向之一。工具变量法是工具变量法是GMM的一个特例的一个特例 OLS法也可看成是工具变量法的特例。法也可看成是工具变量法的特例。考虑到随机解释变量与随机干扰项相关的考虑到随机解释变量与随机干扰项相关的主要来源主要来源是由于同期测量误是由于同期测量误差引起的，就可以用滞后一期的随机解释变量作为原解释变量的工具变量。差引起的，就可以用滞后一期的随机解释变量作为原解释变量的工具变量。第二，第二，第三，第三，