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1、第四章第四章 有限长单位脉冲响应（有限长单位脉冲响应（FIR）滤波器的设计方法滤波器的设计方法序言序言4.1线性相位线性相位FIR数字滤波器的特性数字滤波器的特性:作用和条件作用和条件4.2窗口设计法（时间窗口法）窗口设计法（时间窗口法）4.3频率取样法频率取样法4.3最优化设计最优化设计4.5IIR与与FIR数字滤器的比较数字滤器的比较 线性相位的条件FIR滤波器的类型及其频谱特性设计方法了解了解FIR？FIR数字滤波器的差分方程描述数字滤波器的差分方程描述 对应的系统函数对应的系统函数因为它是一种线性时不变系统，可用卷积和形式表示因为它是一种线性时不变系统，可用卷积和形式表示比较比较、得：
2、得：FIR数字滤波器的特点数字滤波器的特点(与与IIR数字滤波器比较数字滤波器比较)：优点优点：（：（1）在满足一定的对称条件下，可以实现严格的线性相）在满足一定的对称条件下，可以实现严格的线性相位，避免被处理的信号位，避免被处理的信号产生相位失真，这一特点产生相位失真，这一特点在在宽频带信号处理、阵宽频带信号处理、阵列信号处理、数据传输等列信号处理、数据传输等系统中非常重要；系统中非常重要；（2）具有任意的幅度特性；）具有任意的幅度特性；（3）极点全部在原点，无稳定性问题；）极点全部在原点，无稳定性问题；（4）任何一个非因果的有限长序列，总可以通过一）任何一个非因果的有限长序列，总可以通过一
3、定的延时，转变为因果序列，定的延时，转变为因果序列，所以因果性总是所以因果性总是满足；满足；（5）无反馈运算，运算误差小。）无反馈运算，运算误差小。缺点：（缺点：（1）因为无极点，要获得好的过渡带特性，需以较）因为无极点，要获得好的过渡带特性，需以较高的阶数为代价；高的阶数为代价；（2）无法利用模拟滤波器的设计结果，一般无解）无法利用模拟滤波器的设计结果，一般无解析设计公式，要借助计算机辅助设计程序完成。析设计公式，要借助计算机辅助设计程序完成。4.1 线性相位线性相位FIR数字滤波器的特性数字滤波器的特性 4.1.1线性相位的条件线性相位的条件 线性相位意味着一个系统的相频特性是频率的线性函
4、数，即式中为常数，此时通过这一系统的各频率分量的时延为一相同的常数，系统的群时延为 FIR滤波器的DTFT为式中 H()是正或负的实函数。等式中间和等式右边的实部与虚部应当各自相等，同样实部与虚部的比值应当相等:将上式两边交叉相乘，再将等式右边各项移到左边，应用三角函数的恒等关系 满足上式的条件是 另外一种情况是，除了上述的线性相位外，还有一附加的相位，即 利用类似的关系 可以得出新的解答为 偶对称 奇对称图1 线性相位特性分四种情况4.1.2线性相位线性相位FIR滤波器的幅度特性滤波器的幅度特性主要了解幅度函数的对称性和为零值的频率位置1 偶对称，N为奇数 h(n)=h(N-1-n)利用h(
5、n)偶对称令 ，则令则由于 偶对称，因此 对这些频率也呈偶对称。2h(n)偶对称，偶对称，N为偶数为偶数h(n)=h(N-1-n)令 ，则或写为：(1)由于 奇对称，所以 对 也为奇对称;(2)由于 时，处必有一零点，因此这种情况不能用于设计 时 的滤波器，如高通、带阻滤波器。3.h(n)奇对称，N为奇数，h(n)=-h(N-1-n)令 n=m+(N-1)/2，得：所以 (1)由于 点呈奇对称，所以 对这些点也奇对称。(2)由于 时，相当于H（z）在 处有两个零点，不能用于 的滤波器设计，故不能用作低通、高通和带阻滤波器的设计。4.h(n)奇对称，N为偶数 令(1)由于 在=0,处为零，所以H
6、()在=0,2处为零，即H(z)在z=1上有零点;(2)对=0,2呈奇对称,对=呈偶对称四种线性相位FIR滤波器四种线性相位FIR DF特性 第一种情况，偶对称、N奇数，四种滤波器都可设计。第二种情况，偶、偶，可设计低、带通滤波器，不能设计 高通和带阻。第三种情况，奇、奇，只能设计带通滤波器，其它滤波器 都不能设计。第四种情况，奇、偶，可设计高通、带通滤波器，不能设 计低通和带阻。例例1N=5,h(0)=h(1)=h(3)=h(4)=-1/2,h(2)=2，求幅度函数H()。解 为奇数并且h(n)满足偶对称关系，由式（4.15），得a(0)=h(2)=2a(1)=2 h(3)=-1a(2)=2
7、 h(4)=-1H()=2-cos-cos2 =2-(cos+cos2)小结：四种FIR数字滤波器的相位特性只取决于h(n)的对称性，而与h(n)的值无关。幅度特性取决于h(n)。设计FIR数字滤波器时，在保证h(n)对称的条件下，只要完成幅度特性的逼近即可。4.1.3线性相位线性相位FIR滤波器的零点特性滤波器的零点特性 因此，系统函数具有如下特点：由该式可看出，若z=zi是H（z）的零点，则z=z-1i也一定是H（z）的零点。由于h(n)是实数，H（z）的零点还必须共轭成对，所以z=z*i 及 z=1/z*也必是零点。所以线性相位滤波器的零点必须是互为倒数的共轭对，这种共轭对共有四种可能的
8、情况：既不在单位园上，也不在实轴上，有四个互为倒数的两组共轭 对，zi z*i 1/zi 1/z*i 图4.2(a)在单位圆上，但不在实轴上，因倒数就是自己的共轭，所以有一对共轭零点，zi,z*i 图4.2（b）不在单位圆上，但在实轴上，是实数,共轭就是自己，所以有一对互为倒数的零点,zi,1/zi 图4.2（c）又在单位圆上，又在实轴上，共轭和倒数都合为一点，所以成单出现，只有两种可能，zi=1或zi=-1 图4.2(d)我们从幅度响应的讨论中已经知道，对于第二种FIR滤波器（h(n)偶对称，N为偶数），即 是 的零点，既在单位圆，又在实轴，所以，必有单根；同样道理，对于第三种FIR滤波器，h(n)奇对称，N为奇数，因 所以z=1，z=-1都是H（z）的单根；对于第四种滤波器，h(n)奇对称，N为偶数，H（0）=0，所以z=1是H（z）的单根。线性相位滤波器是FIR滤波器中最重要的一种，应用最广。实际使用时应根据需用选择其合适类型，并在设计时遵循其约束条件。