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1、第四章数字控制器的模拟设计方法4.1PID控制规律的离散化方法4.2数字PID控制器的设计4.3PID控制算法的改进4.4数字PID控制器的参数整定4.5数字控制器的等价离散化设计4.6对数频率特性设计法41PID控制规律的离散化方法在连续控制系统中，按偏差的比例（P）、积分(I)和微分(D）进行控制的PID控制（或称PID调节）是最为常用的一种控制规律。它具有原理简单、易于实现，鲁棒性（Robustness）强和适用范围广等特点。PID控制器的参数比例系数Kp、积分时间常数T1以及微分时间常数几相互独立，参数整定比较方便。此外，PID算法比较简单，计算工作量比较小，容易实现多回路控制。因此，
2、即使是在现在日益占主流的计算机控制系统中，PID控制仍然是应用十分广泛的一种控制规律。41l模拟PID控制规律的离散化在连续控制系统中，采用如图41所示的PID控制器，其控制规律的形式为或写成传递函数的形式其中，兄为比例系数，TI为积分时间常数，TD为微分时间常数，U（t）为控制器的输出量，e（t）为控制器输人量，即给定量与输出量的偏差。为了用计算机实现PID控制规律，必须将连续形式的微分方程式（4.1）离散化成差分方程的形式。为此，取T为采样周期，k0，l，2，i，为采样信号，因采样周期T相对信号的变化周期是很小的,所以就可以用矩形面积求和的方法近似式(4.1）中的g分作贼激向后差分的方法近
3、似微分作用，即于是，式（41）可改写成如下差分方程的形式其中，u(k）为采样时刻k的输出量，e(k)和e（k1）分别为采样时刻k和k-1时刻的偏差值，式（4.3）输出量u(k)为全量输出，它对应于被控对象执行机构（如调节阀）每次采样时刻应达到的位置，为此，式（43）称为PID位置型控制算式。这即是PID控制规律的离散化形式。应该指出的是，若按式（43）计算u（k），输出值与过去所有状态有关，计算时就需要占用大量计算机内存和计算时间，这对用于实时控制的计算机来说非常不利。为此，考虑将式（43）改写成速推形式。根据式（43）写出第k-1个采样时刻的的输出值为用式（43）两边减去式（44）两边，得按
4、式（45）计算采样时刻k的输出量u（k），只需用到采样时刻k的偏差值e（k），以及向前递推两次的偏差值e（k1）、e（k2）和向前递推一次的输出值u（k1），这就大大节约了计算机内存和计算时间。许多情况下，执行机构本身具有累加或记忆功能，例如用步进电机作为执行元件，具有保持历史位置的功能只要控制器给出一个增量信号，就可使执行机构在原来位置的基础上前进或后退若干步，达到新的位置。这时，就需要采用增量型PID控制算式，亦即输出量是两个采样周期之间控制器的输出增量U（k）。由式（45），可得式（46）称为增量型PID控制算式。增量型PID控制算式和位置型PID控制算式相比仅仅是计算方法上的改进，它们
5、的本质是一样的。但增量型PID控制算法相对位置型PID控制算法有一些优点：（1）增量型PID控制算式只与最近几次采样的偏差值有关，不需要进行累加，或者说累加工作分出去由其它元件去完成了。所以，不易产生误差积累，控制效果较好。（2）增量型PID控制算法只输出控制增量，误差动作（计算机故障或干扰）影响小。（3）增量型PID控制算法中，由于执行机构本身具有保持作用，所以易于实现手动一自动的无扰动切换，或能够在切换时，平滑过渡。412PID控制规律的脉冲传递函数形式在连续控制系统中，所设计出的模拟控制器，常以传递函数的形式表示。与此类似，在计算机控制系统中，数字PID控制器可以用脉冲传递函数的形式表示
6、。若将式（43）进行z变换由于故式（43）的Z变换可写成如下形式于是，可得到PID控制规律的脉冲传递函数形式为式中由式（47），还可以得到其它类型的数字控制器的脉冲传递函数此为比例（p）数字控制器的脉冲传递函数形式。此为比例积分（PI）数字控制器的脉冲传递函数形式。此为比例微分（PD）数共控制器的脉冲传递函数形式。应该指出的是，在进行PID控制规律离散化时，还有许多其它方法。例如将积分作用用梯形积分法则近似，其Z变换为K1T(z十1）/(Z-1）,微分项的处理方法同上，其Z变换表示为，KD（Z一1）/Tz,其中见和几分别为积分控制系数和微分控制系数。这样，完整的数字PID控制器的组成框图如图4
7、2所示，其脉冲传递函数可表示为413数字PID控制器的工程实现用于生产过程控制的计算机要求具有很强的实时性，用微型计算机作为数字控制器时扭于受字长和运算速度的限制，需要采用一些方法来加快运算速度。常用的方法有：采用定点运算、简化算法、查表法、硬件乘法器等。这里我们仅讨论简化PID控制算式的方法。式（4.5）是位置型数字PID控制算式。按这个算式，计算机每输出u（k）一次，需要作四次加法、两次减法、四次乘法和两次除法。若将该式整理成如下形式式中，系数a0，a1，a2的定义与式（48）相同。这些系数为常数，可以高线算出。于是，按式（413）进行计算，计算机每输出U（k）一次，只需要作两次加法、一次
8、减法、三次乘法。按式（413）编制的位置型数字PID控制器的程序框图如图4.3所示。在进人程序之前，系数已经计算出来，并存人预设存储单元CONSO,CONSI及CONS2中。给定值和输出反馈值经采样后放人专门开辟的另外存储单元中。42数字PID控制器的设计421PID调节器参数对控制系统性能的影响进行PID控制器的设计，首先应该明确各参数对系统的影响如何，这样设计工作才不会盲目进行。大家知道，增大比例系数Kp将加快系统的响应速度，在有静差系统中有利于减小静差，但加大Kp只能是减小静差，却不能从根本上消除静差。而且过大的Kp会使系统产生超调，并产生振荡或使振荡次数加多，使调节时间加长，并使系统稳
9、定性变坏或使系统变得不稳定。若Kp选得太小，又会使系统的动作迟缓。积分控制通常与比例控制或微分控制联合使用，构成PI控制或PID控制。增大积分时间常数TI（积分减弱）有利于减小超调。减小振荡，使系统更稳定，但同时要延长系统消除静差的时间。TI大小会降低系统的稳定性，增大系统的振荡次数。和积分控制一样，微分控制一般和比例控制或积分控制联合使用，构成PD控制或PID控制。微分控制可以改善系统的动态特性，如减小超调量，缩短调节时间，允许加大比例控制，使稳态误差减小，提高控制精度。但应当注意的是，几偏大或偏小时，系统的超调量仍然较大，调节时间仍然较长。只有当TD比较合适时，才能得到比较满意的过渡过程。
10、此外，应该指出的是，微分控制也使系统对扰动有敏感的响应。例41计算机控制系统的结构图如图44所示，采样周期T=01s，若数字控制器D(z)=Kp，试分析Kp对系统性能的影响。解：系统广义对象的脉冲传递函数为系统的闭环脉冲传递函数当Kp=1时，系统在单位阶跃输人时，输出量的z变换为采用长除法，可求出系统输出序列的波形如图45所示。根据z变换的终值定理，输出量的稳态误差当Kp=1时，c（）0835，稳态误差ess=0.165当Kp=2时，c（）0910，稳态误差ess=0.09由此可见，当Kp增大时，系统的稳态误差将减小，但却不能最终消除稳态误差。通常Kp是根据静态速度误差系数Kv的要求来确定。为
11、消除稳态误差，可加入积分控制。例4-2计算机控制系统的结构仍如图44所示，采用数字控制器，试分析积分作用及参数选择，采样周期仍为T=0.1s。解：广义对象的脉冲传递函数仍和例 41一样系统的开环脉冲传递函数为了确定积分系数KI，可以使由于积分校正增加的零点抵消极点（z-0905）即令假设比例系数Kp已由静态速度误差系数几确定，若选定Kp1，由上式可以求出KI0.105则得数字控制器的脉冲传递函数为系统经过PI调节器校正后的闭环脉冲传递函数为在单位阶跃输人信号作用下，系统输出量的Z变换为由上式可以求出输出响应，如图45所示。系统在单位阶跃输人时，输出量的稳态值所以，系统的稳态误差ess0，可见加
12、积分校正后，消除了稳态误差，提高了控制精度。但是，由图45可以看出，采用PI控制虽然可以消除稳态误差，但系统的超调量达到了45，而且调节时间也很长。为了改善动态性能，还应该加入微分校正，即采用PID控制。微分控制作用，实质上是跟偏差的变化速率有关。微分控制能够预测偏差产生超前校正作用，因此，微分控制可以较好地改善动态性能。例43计算机控制系统的结构仍如图44所示，采用数字PID控制器，试分析微分作用及参数选择，采样周期仍为T01s。解：广义对象的脉冲传递函数仍和例41一样采用数字PID控制器校正，设校正装置的脉冲传递函数为假设Kp=1已经选定，并要求D（z）的两个零点抵消G0（z）的两个极点z
13、=0905和Z=0.819，则由上式可得方程因此，可以解得KI=0069，KD3062，所以PID控制器的脉冲传递函数为系统的开环脉冲传递函数为系统的闭环脉冲传递函数为系统在单位阶跃输人时，输出量的z变换为 由上式可以求得系统的输出响应C（kT），如图45所示。系统在单位阶跃输人下，输出量的稳态值为系统的稳态误差ess0，所以系统在PID控制时，由于积分控制的作用，对于单位阶跃输人，稳态误差为零。由于微分控制的作用，系统的动态特性也得到很大改善，调节时间缩短，超调量减小。通过图45可以看出比例、积分、微分的控制作用，并可以比较出比例控制、比例积分控制以及比例积分微分控制三种控制器的控制效果。4
14、22按二阶工程设计法设计数宇PID控制器二阶系统是工业生产过程中很常见的一种系统，其闭环传递函数的一般形式为将s=j代人上式，得它的模为根据控制理论可知，要使二阶系统的输出获得理想的动态品质，即该系统的输出量完全跟随给定量的变化，应满足下述条件：模：L（）1相位移：（）=0（416）将式（415）代人式（416），可得如下结果因此，可解得将式（417）代人式（414），可得到理想情况下二阶系统闭环传递函数的形式设G(s)为该系统的开环传递函数，根据可推导出（4.19）式（4.19）即为二阶品质最佳的基本公式。例44设被控对象由三个惯性环节组成，其传递函数的形式为其中TS1TS2TS3,试按二阶
15、工程设计法设计数字控制器。解：被控对象包含三个惯性环节，为将其校正成品质最佳二阶系统，需采用PID调节器进行校正，校正环节的传递函数为为提高系统的响应速度，令1=Ts1，2=Ts2，则经校正后系统的开环传递函数为将上式与式（419）进行比较，可得T1=2KTs3将上式代人式（420），可得二阶工程设计法要求的PID调节器的基本形式其中将上式进行离散化，即可得到二阶工程设计法PID数字控制器的控制算式。例4-5轧机液压厚度调节微型计算机控制系统主要由电液伺服阀、液压缸及差动变压器组成，图4.6所示为控制系统的简化图。轧机控制系统经过简化后，受控对象的开环传递函数为式中，常数K，T1，T2由电液伺
16、服阀、液压缸及差动变压器的参数决定，而且T1T2。从快速性和稳定性角度来看，用计算机实现对轧机系统的动态校正，就是要求计算机与轧机系统组成的闭环系统具有二阶最佳设计的基本形式（419）。设计算机所取代的模拟调节器的传递函数为W（S），又知轧机的传递函数G。（S）由两个惯性环节组成，所以，为将系统校正成二阶最佳设计的形式，应选择w（S）为PI调节器，其传递函数为为使调节器能抵消轧机系统中较大的时间常数T1，令=T1所以闭环系统的开环传递函数为将上式与式（419）相比较，解得Ti=2KT2因此PI调节器的传递函数为其中将W（S）进行离散化，得到数字控制器的差分方程如下式中43PID控制算法的改进一
17、般情况下，用计算机实现PID控制规律，不能把PID控制规律简单地离散化，否则，将不能得到比模拟调节器优越的控制质量。这是因为，与模拟控制器相比，计算机作控制器存在如下不足的地方：（1）模拟控制器的控制作用是连续的，而用计算机作控制器，在输出零阶保持器的作用下，控制量在一个采样周期内是不变的。（2）由于计算机进行数值计算和输人输出等工作需要一定时间，造成控制作用在时间上存在延迟。（3）计算机的有限字长和AD、DA转换精度将造成控制作用的误差。因此，应充分利用计算机的运算速度快、逻辑判断功能强、编程灵活等特点，采用一些模拟控制器难以实现的复杂控制规律，使PID控制更加合理和灵活多样，使其更能满足实
18、际生产过程的不同需要，才能在控制性能上超过模拟控制器。4.3.1防止积分饱和的方法在用标准的数字PID控制器控制变化较缓慢的对象时，由于偏差较大、偏差存在时间较长或者积分项太快，则控制器有可能饱和或溢出，进一步造成系统的超调，甚至引起振荡。其主要原因是由于积分项处理不当所致。在标准位置型数字PID算式（43）中，若给定值r突然由0变到r”时，由于系统的输出不可能马上跟踪上输人的变化，这样只要系统输出还没有达到给定值，则积分作用就会保持增加或减小使计算机的输出量向两个极端方向变化，直到计算机字长所能表示的负值或正值为止。这时，计算机实际输出的控制量就不再是通过式（43）计算的理论值，而是计算机字
19、长a一理想情况的控制中一有限制时产生积分饱和所决定的上限值（如图47所示）。当系统输出超过了给定值后，开始出现负偏差，但这时积分项存在很大的累加值，所以还需要相当一段时间后才能脱离饱和区，这样，就使系统出现了明显的超调。为此，便有了如下等多种对标准数字PID控制算式中积分项的改进方法。1积分分离法对于时间常数较大的被控对象，在阶跃信号作用下，偏差不会在几个采样周期内消除掉，积分项就很可能使输出值超出正常的表示范围。这时，可以采用积分分离的方法对积分项加以处理，具体方法为当偏差大于某一通过实验确定的规定的阈值（或称积分界限）时，取消积分项的作用，只有当偏差小于该规定的阈值时，才加人积分项的作用。
20、为此，将式（43）处理成如下形式其中式（421）积分项的程序框图如图48所示，相应的控制效果如图49所示。2遇限削弱积分法遇限削弱积分法的基本思想是：当控制量进人饱和区后，只执行削弱积分项的运算，而不进行增大积分项的累加。为此，在计算U(k)时，先判断U(k-1）是否达到饱和，若已超过Umax。，则只累计负偏差；若小于Umin，就只计正偏差。其算法框图如图410所示.3变速积分法在标准PID算法中，积分系数在整个调节过程中保持不变。变速积分的思想是，根据偏差的大小，改变积分项的累加速度，即偏差越大，积分越慢，甚至没有；偏差越小，积分越快，以利于尽快消除静差。具体算法如下设置一个系数fe(k),
21、是偏差e（k）的函数，其取值方法如下每次采样后将fe（k）与e(k)相乘，积记为e(k)，然后再进行累加，即积分项的计算方法为变速积分PID与标准PID相比，有以下优点：l）完全消除了积分饱和现象2）大大减小了超调量，可以很容易地使系统稳定。3）适应能力强，某些标准PID控制不理想的过程可以考虑采用这种算法。4）参数整定容易，各参数间相互影响减小了，而且A为两参数的要求不精确，可作一次性确定。变速积分与积分分离法相比有相似之处，但调节方式不同。积分分离对积分项采取“开关”控制，而变速积分则是缓慢地变化，故后者调节品质可以大大提高。4带死区的PID控制某 些 控 制 系 统 精 度 要 求 不高
22、，但不希望控制作用频繁动作，以力求平稳或减少机械磨损，在这些应用场合下，可采用带死区的PID控制。其控制算法是：按实际需 要 设 置 死 区 B，当e(k)B时，控制算式维持原 来 的 输 出；而 当e（k）1B时，经PID运算后输出控制量，其控制算式为算法的程序流程图如图411所示。432微分项的改进1不完全微分数字PID控制算式微分项的作甩有助于减小系统的超调，克服振荡，使系统趋于稳定。同时加快系统的响应速度，缩短调整时间，有利于改善系统的动态性能。模拟PID调节器是靠硬件来实现的，由于反馈电路本身特性的限制，无法实现理想的微分，其特性是实际微分的PID控制。为了分析数字PID控制器的微分
23、作用，由式（43）得出微分部分的输出UD（k）与偏差的关系为对应得Z变换为当e（t）为单位阶越函数时，所以由此得出标准数字PID控制器在单位阶越输人信号的作用下，微分项输出的脉冲序列为微分部分输出的脉冲序列表明，从第二个采样周期开始，微分项输出为零，如图412中脉冲1所示。图中同时给出了模拟PID调节器中微分项在单位阶越输人信号作用下的输出情况，如图412中曲线所示。可见，于单位阶越输人信号，标准数字PID控制器的微分作用仅在第一个采样周期起作用，然后即变为零，而模拟PID调节器的微分作用却是在较长的时间内起作用，逐渐变为零。通过比较就IL可以看出，标准数字PID控制器的微分作用要比模拟实际P
24、ID调节器的微分作用的性能要差。对惯性较大的实际控制系统而言，标准数字PID控制器的微分项需要改进。此外，应该指出的是，当瞬时偏差较大的情况下，标准数字PID控制器在较大偏差产生的一瞬间，输出的控制量将很大，容易造成溢出。不完全微分数字控制器可以解决上述问题。在标准数字PID控制器算式中，引人一惯性环节便构成了不完全微分数字控制器。它不仅可以平滑微分产生的瞬时脉动，而且能加强微分对全控制过程的影响。一阶惯性环节的传递函数为标准PID调节器的传递函数为由式（424）和式（425）得到不完全微分的PID调节规律为设则得到不完全微分的PID算式如下式中：a微分增益。根据式426我们可以把不完全微分调
25、节器看成由几个环节组成，如图413所示。下面分别讨论各环节的算法问题。（1）微分部分化成差分方程为对比较小的采样周期T（TT2）上式可简化为式（427）是微分部分用于编程的形式。（2）积分部分 积分部分的输人是微分部分的输出，积分部分的输出为V（k），所以得化成微分方程的形式并用一阶差分离散化，得差分方程（3）比例部分比例部分的表达式很简单，为微分作用的输出乘以K；，即比例部分的输出为（4）不完全微分数字控制器的输出由式（428）、（429）得不完全微分数字PID控制器的输出为标准数字PID控制器和不完全微分数字控制器的阶越响应如图414所示，比较这两种数字PID控制器的阶越响应，可以看出：（
26、1）标准数字PID控制器的控制品质较差。其原因在于微分作用仅局限于第一个采样周期有一个大幅度的输出。一般的工业执行机构无法在较短的采样周期内跟踪较大的。微分作用输出。而且，理想微分还容易引进高频干扰。（2）不完全微分数字PID控制器的控制品质较好。其原因是微分作用能缓慢地持续多个采样周期，使得一般的工业执行机构能比较好地跟踪微分作用输出。由于不完全微分数字PID控制器算式中含有一阶惯性环节，具有数字滤波的作用，因此，抗干扰作用也较强。2微分先行PID算法微分先行是指把微分运算放在比较器附近，它有两种结构，如图415所示。图415(a）是输出量微分，图415（b）是偏差微分。输出量微分是只对输出
27、量c(t)进行微分，而对给定值r(t)不作微分,这种输出量微分控制适甩手给定值频繁升降场合，可以避免因提降给定值时所引起的超调量大、阀门动作过分剧烈的振荡。偏差微分是对偏差值微分，也就是对给定值r(t)和输出量c(t)都有微分作用，偏差微分适用于串级控制的副控回路，因为副控回路的给定值是由主控回路的调节器给定的。也应该对其作微分处理，因此，应该在副控回路中采用偏差微分。PID控制算法的输入量是偏差信号e，即给定量r和系统输出值c的值差。在进入正常调节后由于C已接近r，所以偏差信号e的值不会太大。相对而言，干扰值对调节作用的影响较大。为了消除随机干扰的影响，除了从系统硬件及环境方面采取措施外，在
28、控制算法上也应采取一定措施，以抑制干扰的影响。对于作用时间较短暂的快速干扰，如采样样器、AD转换器的偶然出错等，我们可以简单地采用连续多次采样求平均值的数字滤波办法加以滤除。而对于一般的随机干扰，我们还可以采用如一阶惯性滤波的数字滤波方法来减少扰动的影响。除了采用一般的数字滤波方法外，我们分项的办法来一直干扰。因为数字PID算法式（45）和（46）是对模拟PID控制规律的近似，其中模拟PID控制规律中的积分项是用和式近似的，微分项是用差分项来近似的。在各项中，差分（尤其是二阶差分）对数据误差和噪声特别敏感，一旦出现干扰，通过差分的计算就非常容易引起控制量的很大变化。因此，在数字PID算法中，干
29、扰通过微；分项对控制的影响是主要的由于微分项在PID调节中往往是必要的，不能简单地把它弃去，所以，应研究对干扰不过于敏感的微分项的近似算法。四点中差分法就是最常用的一种种算法如图416所示。在四点中心差分修改算法中，一方面将TD/T选择得比正常情况下稍小一些，另一方面在组成差分时，不是直接应用现时偏差e(k),而是用过去和现在四个采样时刻的偏差的平均值作为基准，即然后通过加权平均和构成近似微分项，即整理后得用式（431）代替式（45）中的微分项，即得修改后的数字PID控制算式。同理，也可以用同样的方法对增量型数字PID控制算式的微分项加以改进，这里就不再具体加以推导。以上我们介绍了几种机电控制
30、系统中常用的数字PID控制器的改进方法。应该指出的是，目前人们提出和应用的数字PID控制器的改进方法很多，可以根据不同的应用场合灵活地选用，例如给定值频繁升降时对控制量进行阻尼的Po算法、混合过程PID算法、采样PI算法、批量PID算法、纯滞后补偿算法。44数字PID控制器的参数整定将各种数字PID控制算法用于实际系统时，必须确定算法中各参数的具体值，如比例增益Kp、积分时间常数TI、微分时间常数TD和采样周期T，以使系统全面满足各项控制指标，这一过程叫做数字控制器的参数整定数字控制就其本质来讲是一种采样控制系统。由于连续生产过程的控制回路一般都有较大的时间常数，在多数情况下，采样周期与系统的
31、时间常数相比要小得多。所以，数字控制器的参数选择可以利用模拟调节器的各种整定方法。根据实际受控对象的特性、负载情况，合理选择控制规律是直观重要的。根据分析可以有如下几点结论：（1）对于一阶惯性控制对象，当载荷不大，工艺要求不高时，可以考虑采用比例（P）控制，例如压力、液位、串级副控回路等。（2）对于一阶惯性与纯滞后工节串联的对象，当负载变化不大，要求控制精度较高时，可采用比例积分（PI）控制，例如压力、流量、液位的控制等。（3）在纯滞后较大，负载变化也较大，控制要求较高的场合，可采用比例积分微分（PID）控制，例如位置随动系统、过热蒸汽温度控制等。（4）当对象为高价（二阶以上）惯性环节又有纯滞
32、后特性，负载变化较大，控制性能要求也较高时，应考虑采用串级控制、前馈-反馈、前馈-串级或纯滞后补偿控制，例如数控机床的位置控制等。PID控制器的设计，可以用理论方法，也可以通过实验的方法。在对象的数学模型及其参数已知的情况下，可以用频率法或根轨迹法计算pID参数。但由于多数情况下无法精确地知道对象的数学模型及其参数，所以理论方法在工程上的应用有较大的局限性。因此，过程上常用实验的方法或者试凑的方法来确定PID的参数。441采样周期的选择进行数字PID控制器参数整定时，首先应该解决的一个问题是确定合理的采样周期T。上一章所讲的采样定理只是给出了采样频率的最低取值，工程上一般不能仅按采样定理来决定
33、采样频率，而是要考虑以下因素。（1）采样周期的选择受系统稳定性的影响我们所讨论的数字PID控制系统是一种准连续控制系统从上一章采样控制系统稳定性分析可以看出，对采样控制系统，采样周期对系统的稳定性有直接的影响。因此，应该从系统稳定条件，确定出采样周期的最大值，以保证系统是充分稳定的。（1（2）给定和扰动频率从控制系统随动和抗干扰的性能来讲，要求采样周期短些好，这样，给定值的改变可以迅速地通过采样得到反映，而不致在随动控制中产生大的延迟。对低频扰动，采样周期长短对系统的抗扰性能影响不大，因为系统输出中包含了扰动信号，通过反馈可以地抑制扰动的影响。对于中频干扰信号，如果采样周期选得太大，干扰就可能
34、得不到控制和抑制。对于高频扰动，由于系统的惯性较大，系统本身具有一定的滤波作用，亦即干扰信号到系统输出之间的开环响应的频带是有限的，所以高频扰动对系统的输出影响也是较小的。因此，如果干扰信号的最高频率是已知的，则可以通过采样定理来选择采样周期，以使干扰能够尽快得到消除。（3）计算机精度从计算机的精度来看，采样周期选得过短也是不合理的。因为工业控制用的计算机字长一般选得较短，且多为定点运算，所以，如果采样周期太小，前后两次采样的数值之差可因计算机精度不高而反映不出来，使得积分和微分作用不明显或失去作用。（4）执行机构的特性采样周期的的长短要与执行机构的惯性相适应，执行机构的惯性大，则采样周期就要
35、相应地长，否则，也会出现（3）中所提的问题。（5）控制回路数从计算机的工作量和每个控制回路的计算成本来看，一般要求采样周期大些。特别是当计算机用于多回路控制时，必须使每个回路的控制算法都有足够的时间完成。因此，在用计算机对动态特性不同的多个回路进行控制时，可以充分利用计算机的灵活性，对不同回路采用不同的采样周期，而不必强求统一采用最小采样周期。对多回路控制，采样周期与回路数n有以下关系（6）设闭环系统要求的频带为b，则系统的采样频率一般在以下范围内选取s（25100）b从以上的分析可以看出，各方面因素对采样周期的要求是不同的，有些是相互矛盾的。在实际应用中，应根据具体情况和主要的要求进行选择。
36、442扩充临界比例度法整定参数扩充临界比例度法是模拟调节器参数中使用的临界比例度法的推广。按这种方法进行数字PID控制器参数整定的步骤如下：（1）选择一个足湖抽邻阶治样周期，例如使采样周期在被控对象纯滞后时间的十分之一以下。（2）去掉数字控制器的积分和微分作用(TI=,TD=0)即调节器作比例调节器工作，用选定的采样周期使系统闭环工作。（3）逐渐减小比例度(=1K。)，直到系统发生持续等幅振荡。记下系统发生等幅振荡的临界比例度b和临界振荡周期Tb，作基准参数。（4）选择控制度。所谓控制度就是以模拟调节器为基准，将数字控制器的控制效果与模拟控制器的控制效果相比较。控制效果的评价函数通常用误差平方
37、面积表示，即实际应用中并不需要计算两个误差平方面积，控制度仅表示控制效果的物理概念。例如，当控制度为105时，表示数字控制器与模拟控制器控制效果相当；控制度为2。0时，则数字控制器比模拟控制器效果差。（5）选择好控制度后，查表41，得到T，Kp，TD的值。（6）按求得的参数运行，观察控制效果，可适当结合试凑法调整参数，直到满意为止。表41按扩充临界比例度法整定参数443扩充响应曲线法整定参数扩充响应曲线法是模拟调节器参数整定的响应曲线法的一种扩充也是一种实验方法，其整定步骤如下：（1）断开数字控制器，即数字控制器不接人控制系统中，使系统工作在手动操作状态。将被调量调节到给定值附近，并使之稳定下
38、来。然后突然改变给定值，给对象一个阶跃输人信号。（2）用记录仪表记录下被调量在阶跃输人作用下的变化过程曲线，如图417所示。（3）在曲线最大斜率处作切线，求得滞后时间，被控时间常常数T以及他们的比值（T/）.（4）根据所得的和Tr以及它们的比值Tr/，查表42，即可得数字控制器的T,KP，TI，TD的值。45数字控制器的等价离散化设计计算机控制系统的等价离散化设计方法，就是将计算机控制系统首先看成是模拟系统，按照系统性能指标要求，运用模拟控制规律的各种理论工具和设计方法，设计出模拟闭环控制系统的模拟控制器。然后，将设计好的模拟控制器离散化成数字控制器。亦即，在给定的控制规律D(s)的条件下，寻
39、找等价离散化控制规律D（S）。或者更精确地说，给定图418所示模拟控制系统的D（S），寻找控制器的最佳数字实现D（C）。数字实现要求以适当的采样周期对输出C(t)进行采样，并且以某种方式平滑计算机输出，以得到连续的控制量输出U（t）。一般情况下，零阶保持器是常用的平滑装置。这样，等价离散化设计方法就是以图个19所示的数字实现，寻找与希望的D(S)相匹配的最佳的D(z)。但是，由于这种设计方法并不是直接按采样系统设计，所以用这种设计方法得到的数字控制器与真实情况会有所偏差。而且D(S)反映e(T)的全部时间过程，而D(z)只用到e(t)在采样时刻的值e(kt).当采样周期较大时，系统实际达到的性
40、能可能要比预期的设计指标差。因此，用这种设计方法设计时，对采样周期的选择要更加注意。根据e(t)在采样点之间不同的假设，存在各种数字化近似方法。下面，我们介绍其中两种，双线形变换法和零极点匹配法。451双线性变换法假设我们希望用数字积分方法对一信号E（t）进行积分，为此我们采用图420所示的梯形积分法则。令u（kT）为e（t）的积分，于是，在tkT时刻的积分值等于（K一1）T 时刻的积分值加上由（k1）T到kT时刻的面积，即 对上式两端取Z变换，得于是我们知道，在连续时间域中，纯积分的拉氏变换为比较式（433）和式（434），若要将G0（s）变换成 G0（z），只要让即可。这种方法叫做双线性变
41、换法或图斯汀（TUStin）法。例46对于图421所示的系统，采样周期T001s，设计数字控制器D（z），使开环截止频率c15，相位裕度45。解：先不考虑校正环节，不完全忽略采样保持所引人的附加影响。考虑到离散频谱与连续频谱的幅值相差1河倍，可以将零阶保持器的传递函数简化为一个惯性环节，即于是未校正系统的开环传递函数为其对数幅频特性用实线画在图422中，由于采样保持环节的惯性远比对象的惯性小得多，实际上可以忽略。由图422可以得到截止频率c9515相位裕度可以算得不满足设计要求，为此加超前校正。假设校正后系统的对数幅频特性用虚线画在图422中。由图可得校正后系统的穿越频率相位裕度可以算得校正后
42、满足设计要求。然后用双线性变换将设计好的模拟控制器变成数字控制器，得到脉冲传递函数为编程用的差分方程为最后，对由D（z）和GhG0（z）所构成的闭环系统进行性能检验，看它是否与设计好的相应连续系统的性能近似。452零极点匹配法零极点匹配法的基本思想是将D（s）的极点和有限零点，都按z=eTs的映射关系，一一对应地变换为D（z）的极点和零点。因为物理系统的极点数通常多于零点数，设极点数和零点数分别为n和m,则D（s）还有（nm）个零点在无穷远处，因此给D（z）增加（nm）个(1+z-1)项。D（k）和D（z）的低频增益应该互相匹配。这样，零极点匹配法可按下列步骤进行：（1）根据zeTs的关系映射
43、D（s）和D（z）的极点和有限零点；（2）如果D（S）的极点数多于零点数，添力（1z-1）n-m项；（3）匹配直流或低频增益，在控制系统中最常用的办法是，使D（S）和D（S）的稳态增益相等。当D（S）为有差环节时，稳态增益表示为令二者相等，得由此式可求得D（z）的增益。当D（s）为一阶无差环节时，稳态增益表示为令二者相等，得由此式可求得D（z）的增益。例47 某模拟校正装置为0055，试按零极点匹配法求D（Z）。解 已知采样周期T即k802，所以需要指出的是，在以上两种离散化设计方法中，D（z）的分子和分母是等阶次的。这意味着kT在采样时刻的输出需要kT时刻的输人。欲没有时间滞后地同时采集e（
44、kT）。计算U（kT）以及输出U（kT）是不可能的，技术上是做不到的。然而，如果方程足够简单，或者计算机运算速度足够快，那么，由采样e（kT）到输出u（kT）的时间滞后对系统的实际响应可忽略不计。经验法则是保持时延为系统上升时间的120左右。当采样频率。s高于30倍系统通频带时，等价离散化方法是绝对可用的。46对数频率特性设计法连续系统的对数频率特性法或称伯德（Bode）图设计法有许多优点，并为广大工程技术人员所熟悉。但是，脉冲传递函数不是。的有理函数，而是以Z一户的形式出现，这样伯德图设计法就不能直接在Z平面中应用。为了将这种实用的设计方法用于计算机控制系统的设计，通过做以下双线性变换将z平
45、面上的单位圆映射为W平面的虚轴；z平面上的单位圆内部映射为W平面的左半平面；z平面上的单位圆外部映射为W平面的右半平面。这样我们便可以通过伯德图设计计算机控制系统了。若待设计的计算机控制系统的被控对象和零阶保持器组成的广义对象的脉冲传递函数为GhG0（Z），则用伯德图设计法设计计算机控制系统的步骤为（1）作双线性变换，将GhG。（z）变换为G（W），即（2）令Ww，绘制G（W）的幅频特性L（w）和相频特性(w)伯德图。根据伯德图，用与连续控制系统设计相同的方法，分析校正前系统的性能。（3）按给定要求修改L（w）为希望的L（），根据L（W）可写出相应的闭环系统希望的开环传递函数G（W）。（4）根
46、据G（W）和G（W）求出校正环节的传递函数D（W），即（5）将D（w）进行双线性反变换，变成Z平面上的D（z），即设计过程需要注意的是，G（W）常常是非最小相位系统，幅频特性L（w）和相频特性（w）并不一对应，所以要特别注意核对相频特性。这时，往往要配合使用根轨迹法，以确保相位校正不会向相反的方向进行。或许更好的办法是采用另一种变换平面w进行伯德图设计。w和Z的关系为若记W的虚拟频率为w，则由式（442），当T较小（采样频率足够高）时，得由此可知，和S平面，当T较小时，其频率是近似相等的。例48已知计算机控制系统如图423所示，其中对象的传递函数为保持器Gh（S）为零阶保持器，采样周期T=01
47、s。试确定串联数字控制器D（z），使系统满足如下要求：（1）速度误差系数Kv30；（2）相位裕度40o，幅值裕度Kg14dB；（3）伪穿越频率wc02（相当于穿越频率c4）。解：广义对象的脉冲传递函数为将T01s代人，得再根据速度误差系数Kv30的要求确定K的值。由于取K30，则得未校正系统的开环脉冲传递函数为然后，对G(z)进行双线形变换，即将代入上式，并整理得这是一个非最小相位系统。令wjw，可以绘出其伯德图如图424中虚线所示。由图可以看出，未校正系统是不稳定的（0）。在这种情况下，采用串联超前校正是不合适的。要使系统稳定，而且满足性能要求，必须采用串联滞后校正，设校正装置的传递函数为由
48、于要求相位裕度40且考虑到引人滞后校正之后引起的滞后相角，校正后系统的伪穿越频率wc应满足在图424中未校正系统对数相频特性曲线上找到对应于=50的伪频率w02502，因此可以选伪穿越频率为对应于wc的对数幅频特性为L（wc）16dB由此可以确定滞后校正的参数。由求得a016如果则于是校正装置的域的传递函数为校正后系统的W域开环传递函数为绘出其伯德图如图424中实线所示。由图可以看出，校正后系统的伪穿越频率为wc=025，相位裕度41。因此，采用上述滞后校正装置，可以满足对系统的各项性能指标要求。最后，将代入D(w)，可以得到数字控制器的脉冲传递函数为复习思考题1什么叫模拟PID调节器的数字实
49、现？它对采样周期有什么要求？2试画出准连续数字P、PI、PID控制器对阶跃输人的响应曲线？3什么是位置型和增量型数字PID控制算法？试比较它们的优缺点。4什么叫做积分饱和作用？是怎样引起的？可采用什么办法消除积分饱和？5试说明几种常用的数字PID控制算法的基本思想，它们各有什么优点？6随机干扰对数字PID控制有什么影响？在其算法中如何体现出来？可采取什么处理方法减小这种影响？7用双线性变换法（图斯汀法）求的差分方程或脉冲传递函数。8设计一计算机组成的控制系统。设被控对象的传递函数为（1）用模拟调节规律离散化方法，求数字控制器的差分方程；（2）画出数字控制器的程序框图。9在模拟PID控制的数字实现中，对采样周期的选择从理论上和算法的具体实现上各应考虑哪些因素？10设某采样离散控制系统如图422所示，绘制系统的伯德图，并确定系统的相位裕度和幅值裕度。11已知采样离散控制系统的结构图如图423所示，试求数字控制器D（Z），要求满足：（1）速度误差系数Kv10；（2）相位裕度40.12已知系统结构图如图424所示，其中采样周期T1s，试用根轨迹法求数字控制器D（z），使闭环系统的阻尼比07，速度误差系统Kv10。