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1、3.1 3.1 不等关系与不等式不等关系与不等式第一课时第一课时 第三章第三章 不等式不等式问题提出问题提出1.1.在数学中，表示等量关系的式子叫做在数学中，表示等量关系的式子叫做等式等式，那么，那么“不等式不等式”的含义如何理解的含义如何理解？表示不等关系的式子叫做不等式表示不等关系的式子叫做不等式.2.2.现实世界和日常生活中，既有相等关现实世界和日常生活中，既有相等关系，又存在着大量的不等关系系，又存在着大量的不等关系.例如，两例如，两点之间线段最短，三角形两边之和大于点之间线段最短，三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边，等等第三边、两边之差小于第三边，等等.人人们还经常用长与短
2、、高与矮、轻与重、们还经常用长与短、高与矮、轻与重、大与小、不超过或不少于等来描述某种大与小、不超过或不少于等来描述某种客观事物在数量上存在的不等关系客观事物在数量上存在的不等关系.因此，因此，如何用数学语言表述这样的不等关系，如何用数学语言表述这样的不等关系，就成为一个新的学习的内容就成为一个新的学习的内容.知识探究知识探究(一一)：用不等式表示不等关系：用不等式表示不等关系思考思考1 1：限速限速40km/h40km/h的路标，指示司机在的路标，指示司机在前方路段行使时，应使汽车的速度前方路段行使时，应使汽车的速度v v不超不超过过40km/h.40km/h.怎样用不等式表示这里的不等怎样
3、用不等式表示这里的不等关系？关系？思考思考2 2：某品牌酸奶的质量检查规定，酸某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量奶中脂肪的含量f f应不少于应不少于2.5%2.5%，蛋白质，蛋白质的含量的含量p p 应不少于应不少于2.3%2.3%，怎样用不等式，怎样用不等式组表示这里的不等关系？组表示这里的不等关系？0 0v v40 40 思考思考3 3：设点设点A A与平面与平面的距离为的距离为d d，B B为为平面平面上的任意一点，则上的任意一点，则d d与与|AB|AB|的大小的大小关系怎样表示？关系怎样表示？d|ABd|AB|A AB Bd d思考思考4:4:某种杂志原以每本某种杂志原以每本
4、2.52.5元的价格销元的价格销售，可以售出售，可以售出8 8万本万本.据市场调查，若单据市场调查，若单价每提高价每提高0.10.1元，销售量就可能相应减少元，销售量就可能相应减少20002000本本.若把提价后杂志的定价设为若把提价后杂志的定价设为x x元，元，怎样用不等式表示销售的总收入不低于怎样用不等式表示销售的总收入不低于2020万元？万元？思考思考5 5：某钢铁厂要把长度为某钢铁厂要把长度为4000mm4000mm的钢的钢管截成管截成500mm500mm和和600mm600mm两种两种.按照生产的要按照生产的要求，求，600mm600mm钢管的数量不能超过钢管的数量不能超过500mm
5、500mm钢钢管的管的3 3倍倍.如何用不等式组表示上述所有如何用不等式组表示上述所有不等关系？不等关系？知识探究知识探究(二二)：比较实数大小的基本原理：比较实数大小的基本原理 思考思考1 1：实数可以比较大小，对于两个实实数可以比较大小，对于两个实数数a a，b b，其大小关系有哪几种可能？，其大小关系有哪几种可能？a ab b，a ab b，a ab.b.思考思考2 2：任何一个实数都对应数轴上的一任何一个实数都对应数轴上的一个点，那么大数与小数所对应的点的相个点，那么大数与小数所对应的点的相对位置关系如何？对位置关系如何？大数对应的点位于小数对应的点的右边大数对应的点位于小数对应的点的
6、右边 思考思考3 3：如果两个实数的差是正数，那如果两个实数的差是正数，那么这两个实数的大小关系如何？反之成么这两个实数的大小关系如何？反之成立吗？如何用数学语言描述这个原理？立吗？如何用数学语言描述这个原理？a ab b0 a0 ab b 思考思考4 4：如果两个实数的差等于零，那么如果两个实数的差等于零，那么这两个实数的大小关系如何？反之成立这两个实数的大小关系如何？反之成立吗？如何用数学语言描述这个原理？吗？如何用数学语言描述这个原理？a ab=0 a=b b=0 a=b 思考思考5 5：如果两个实数的差是负数，那么如果两个实数的差是负数，那么这两个实数的大小关系如何？反之成立这两个实数
7、的大小关系如何？反之成立吗？如何用数学语言描述这个原理？吗？如何用数学语言描述这个原理？思考思考6 6：考察下列三个不等式：考察下列三个不等式：|x|xx|x；x x2 20 0；sinxsinx0.0.这些不等式各有什么特点？如何通过数这些不等式各有什么特点？如何通过数学概念加以区分？学概念加以区分？a ab b0 a0 ab b 绝对不等式，矛盾不等式，条件不等式绝对不等式，矛盾不等式，条件不等式.思考思考7 7：怎样理解怎样理解abab？思考思考8 8：对于数列对于数列aan n，a an n1 1a an n或或a an n1 1a an n(nN(nN*)与与a an n1 1aan
8、 n等价吗？等价吗？理论迁移理论迁移 例例1 1 某用户计划购买单价分别为某用户计划购买单价分别为6060元、元、7070元的单片软件和盒装磁盘，使用资金元的单片软件和盒装磁盘，使用资金不超过不超过500500元，根据需要，软件至少买元，根据需要，软件至少买3 3片，磁盘至少买片，磁盘至少买2 2盒，用不等式组表示软盒，用不等式组表示软件数件数x x与磁盘数与磁盘数y y应满足的条件应满足的条件.例例2 2 比较下列两组代数式的大小：比较下列两组代数式的大小：(1)x(1)x2 2+3+3与与3x3x；(2)x(2)x6 6+1+1与与x x4 4+x+x2 2；(3)(3)(4)(4)小结作
9、业小结作业1.1.用不等式表示不等关系是一种数学建用不等式表示不等关系是一种数学建模，准确理解题意，设定字母表示相关模，准确理解题意，设定字母表示相关数量，是正确建模的关键数量，是正确建模的关键.对具有多个不对具有多个不等关系的实际问题，要用不等式组来表等关系的实际问题，要用不等式组来表示示.2.2.两个实数的差的符号能反映这两个实两个实数的差的符号能反映这两个实数的大小关系，这是确定两个实数大小数的大小关系，这是确定两个实数大小关系的基本原理，同时也是发掘不等式关系的基本原理，同时也是发掘不等式性质的理论依据性质的理论依据.3.3.用用“差比法差比法”比较两个实数的大小，比较两个实数的大小，
10、一般分三步进行：作差一般分三步进行：作差变形变形判断符判断符号号.其中变形的目的在于判断差式的符其中变形的目的在于判断差式的符号，常用的变形手段有因式分解、配方号，常用的变形手段有因式分解、配方等等.作业：作业：P74P74练习：练习：1 1，2.2.P75 P75习题习题3.1B3.1B组：组：1.1.第二课时第二课时 3.1 3.1 不等关系与不等式不等关系与不等式问题提出问题提出1.1.反映实数大小关系的基本原理是什么？反映实数大小关系的基本原理是什么？a ab b0 a0 ab b a ab=0 a=b b=0 a=b a ab b0 a0 ab b 2.2.用用“差比法差比法”比较两
11、个代数式大小的比较两个代数式大小的一般步骤如何？一般步骤如何？作差作差变形变形判断符号判断符号 3.3.对不等式的认识仅停留在上述层面上对不等式的认识仅停留在上述层面上是不够的，为了深入研究各种背景下的是不够的，为了深入研究各种背景下的不等关系，我们必须建立相关的不等式不等关系，我们必须建立相关的不等式理论，这是我们需要进一步研究的问题理论，这是我们需要进一步研究的问题.探究（一）：不等式的基本性质探究（一）：不等式的基本性质 思考思考1 1：有一个不争的事实：若甲的身材有一个不争的事实：若甲的身材比乙高，则乙的身材比甲矮，反之亦然比乙高，则乙的身材比甲矮，反之亦然.从从数学的观点分析，这里反
12、映了一个不数学的观点分析，这里反映了一个不等式性质，等式性质，你能用数学符号语言表述这你能用数学符号语言表述这个不等式性质吗？个不等式性质吗？a ab bb ba a（对称性）（对称性）思考思考2 2：又有一个不争的事实：若甲的又有一个不争的事实：若甲的身材比乙高，乙的身材比丙高，那么甲身材比乙高，乙的身材比丙高，那么甲的身材比丙高，这里反映出的不等式性的身材比丙高，这里反映出的不等式性质如何用数学符号语言表述？质如何用数学符号语言表述？a ab b，b bc ac ac c；a ab b，b bc ac ac c（传递性）（传递性）思考思考3 3：再有一个不争的事实：若甲的年再有一个不争的事
13、实：若甲的年薪比乙高，如果年终两人发同样多的奖薪比乙高，如果年终两人发同样多的奖金或捐赠同样多的善款，则甲的年薪仍金或捐赠同样多的善款，则甲的年薪仍然比乙高，这里反映出的不等式性质如然比乙高，这里反映出的不等式性质如何用数学符号语言表述？何用数学符号语言表述？a ab b a+ca+cb+cb+c（可加性）（可加性）思考思考4 4：还有一个不争的事实：若甲班的还有一个不争的事实：若甲班的男生比乙班多，甲班的女生也比乙班多，男生比乙班多，甲班的女生也比乙班多，则甲班的人数比乙班多则甲班的人数比乙班多.这里反映出的这里反映出的不等式性质如何用数学符号语言表述？不等式性质如何用数学符号语言表述？a
14、ab b，c cd d a+ca+cb+db+d（同向可加性）（同向可加性）思考思考5 5：如果如果a ab b，c c0 0，那么，那么acac与与bcbc的的大小关系如何？如果大小关系如何？如果a ab b，c c0 0，那么，那么acac与与bcbc的大小关系如何？为什么？的大小关系如何？为什么？思考思考6 6：如果如果a ab b0 0，c cd d0 0，那么，那么acac与与bdbd的大小关系如何？为什么？的大小关系如何？为什么？a ab b，c c0 ac0 acbcbc；a ab b，c c0 ac0 acbcbc a ab b0 0，c cd d0 ac0 acbdbd 思考
15、思考7 7：如果如果a ab b0 0，nNnN*，那么，那么a an n与与b bn n的大小关系如何？的大小关系如何？思考思考8 8：如果如果a ab b0 0，nNnN*，那么，那么与与 的大小关系如何？的大小关系如何？a ab b0 0 (nNnN*)a ab b0 a0 an nb bn n(nNnN*)探究（二）：探究（二）：不等式的拓展性质不等式的拓展性质 思考思考1 1：在等式中有移项法则，即在等式中有移项法则，即a ab bc ac ac cb b，那么移项法则在不等式，那么移项法则在不等式中成立吗？中成立吗？a ab bc ac ac cb b思考思考2 2：如果如果a a
16、i ib bi i(i(i1 1，2 2，3 3，n)n)，a a1 1a a2 2a an n与与b b1 1b b2 2b bn n的大的大小关系如何？小关系如何？a ai ib bi i(i(i1 1，2 2，3 3，n)n)a a1 1a a2 2a an nb b1 1b b2 2b bn n 思考思考3 3：如果如果a ai ib bi i(i(i1 1，2 2，3 3，n)n)，那么，那么a a1 1a a2 2a an nb b1 1b b2 2b bn n吗？吗？aibi0(i1，2，3，n)a1a2anb1b2bn思考思考4 4：如果如果a ab b，那么，那么a an n
17、与与b bn n的大小关的大小关系确定吗？系确定吗？a ab b，n n为正奇数为正奇数 a an nb bn n思考思考5 5：如果如果a ab b，c cd d，那么，那么a ac c与与b bd d的大小关系确定吗？的大小关系确定吗？a ac c与与b bd d的大的大小关系确定吗？小关系确定吗？a ab b，c cd ad ac cb bd d思考思考6 6：若若a ab b，abab0 0，那么，那么 的大小关系如何？的大小关系如何？a ab b，abab0 0理论迁移理论迁移 例例1 1 已知已知a ab b0 0，c c0 0，求证求证:.例例2 2 已知已知 ，x xy y0
18、0，求证：求证：.例例3 3 若若a ab b0 0，判断下列结论是否成，判断下列结论是否成立立.（1 1）（2 2）（3 3）（4 4）acac2 2bcbc2 2 例例4 4 给出三个不等式：给出三个不等式：abab0 0，,bcbcadad，以其中任意两个作条件，余下一个做结以其中任意两个作条件，余下一个做结论，可组成几个正确命题论，可组成几个正确命题.小结作业小结作业1.1.不等式的不等式的8 8条基本性质，就是不等式的条基本性质，就是不等式的运算法则，是分析、研究和解决不等式运算法则，是分析、研究和解决不等式问题的逻辑依据，在此基础上还可引伸问题的逻辑依据，在此基础上还可引伸出许多其
19、他性质，学习上要求掌握基本出许多其他性质，学习上要求掌握基本性质，了解拓展性质性质，了解拓展性质.2.2.上述不等式性质都是可以证明的结论，上述不等式性质都是可以证明的结论，反映实数大小关系的基本原理是证明不反映实数大小关系的基本原理是证明不等式性质的理论基础等式性质的理论基础.3.3.在不等式的基本性质中，有些条件与在不等式的基本性质中，有些条件与结论是等价的，有些是不等价的，在不结论是等价的，有些是不等价的，在不等式的乘法、乘方、开方运算性质中，等式的乘法、乘方、开方运算性质中，还要附加大于还要附加大于0 0的条件，应用时必须认准的条件，应用时必须认准.4.4.不等式的不等式的8 8条基本
20、性质还可作适当变条基本性质还可作适当变通，如通，如abab，b bc c a ac c；abab，c c0 0 acbcacbc；a ab b，c c0 ac0 acbcbc等等等等.作业：作业：P75P75习题习题3.1A3.1A组：组：2 2，3.3.B B组：组：2.2.第三课时第三课时 3.1 3.1 不等关系与不等式不等关系与不等式1.1.两个实数大小关系的比较原理两个实数大小关系的比较原理知识梳理知识梳理a ab b0 0 a ab b a ab=0 b=0 a=ba=b a ab b0 0 a ab b 2.2.不等式的基本性质不等式的基本性质（1 1）a ab b b ba a
21、（对称性）（对称性）（2 2）a ab b，b bc c a ac c；a ab b，b bc c a ac c（传递性）（传递性）（3 3）a ab b a+ca+cb+cb+c（可加性）（可加性）（4 4）a ab b，c cd d a+ca+cb+db+d（5 5）a ab b，c c0 0 acacbcbc；a ab b，c c0 0 acacbcbc（6 6）a ab b0 0，c cd d0 0 ac acbdbd （7 7）a ab b0 0 a an nb bn n(nNnN*)（8 8）a ab b0 0 (nNnN*)应用举例应用举例 例例1 1 已知已知 a ab b1
22、1，求证：，求证：例例2 2 已知已知b ba ac c，a a0 0，求证：，求证：例例3 3 已知已知a a、b b为正实数，求证：为正实数，求证：例例4 4 比较下列各组代数式的大小：比较下列各组代数式的大小：（1 1）a a2 2b b2 2与与2(a2(ab b1 1)；（2 2）(a(ab)(ab)(a3 3b b3 3)与与(a(a2 2b b2 2)2 2 (a(a0 0，b b0).0).例例5 5 已知已知c ca a0 0，c cb b0 0，比较，比较 a a与与 .例例6 6 已知数列已知数列aan n 是等比数列，数是等比数列，数列列 b bn n 是等差数列，且是
23、等差数列，且a a1 1b b1 10 0，a a3 3b b3 30 0，a a1 1aa3 3，试比较，试比较a a5 5与与b b5 5的大小的大小.小结作业小结作业1.1.证明不等式和比较大小，是不等式的证明不等式和比较大小，是不等式的两个基本问题，解决不等式问题必须以两个基本问题，解决不等式问题必须以不等式性质为理论依据，常用方法有比不等式性质为理论依据，常用方法有比较法、综合法、分析法等较法、综合法、分析法等.2.2.比较法包括差比法和商比法比较法包括差比法和商比法.其中商比其中商比法的理论依据是法的理论依据是 或或 .作业：作业：P75P75习题习题3.1A3.1A组：组：4 4，5.5.B B组：组：3.3.