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1、312空间向量的数乘运算空间向量的数乘运算一一.复习复习.1.1.平面向量中平面向量中,什么是平行向什么是平行向量量?(?(共线向量共线向量)2.2.平面向量共线的定理平面向量共线的定理二、共线向量二、共线向量:零零向量与任意向量共线向量与任意向量共线.1.1.共线向量共线向量:如果表示空间向量的如果表示空间向量的有向线段所在直线互相平行或重合有向线段所在直线互相平行或重合,则这些则这些向量叫做共线向量向量叫做共线向量(或平行向量或平行向量),),记作记作 2.2.共线向量定理共线向量定理:对空间任意两个对空间任意两个向量向量 的充要条件是存在实数使的充要条件是存在实数使OABPa 若若P P
2、为为A,BA,B中点中点,则则 OP=1/2(OA+OB)OP=1/2(OA+OB)推论推论:如果如果 为经过已知点为经过已知点A A且平行且平行已知非零向量已知非零向量 的直线的直线,那么对任一点那么对任一点O,O,点点P P在直线在直线 上的充要条件是存在实数上的充要条件是存在实数t,t,满足等式满足等式OP=OA+t OP=OA+t 其中其中 叫做直线的叫做直线的方向向量方向向量.或或OP=(1-t)OA+tOBOP=(1-t)OA+tOB三三.共面向量共面向量:1.1.共面向量共面向量:平行于同一平面的向量平行于同一平面的向量,叫做共面叫做共面 向量向量.OA注注:空间任意两个向量都是
3、共面向量空间任意两个向量都是共面向量 推论推论:空间一点空间一点P P位于平面位于平面ABCABC内的充内的充要条件是存在有序实数对要条件是存在有序实数对x,yx,y使使 AP=xAB+yACAP=xAB+yAC (证明四点共面）证明四点共面）或对空间任一点或对空间任一点O,O,有有 OP=OA+xAB+yACOP=OA+xAB+yAC2.2.共面向量定理共面向量定理:如果两个向量如果两个向量 不共线不共线,则向量则向量P P与向量与向量 共面的充要条共面的充要条件是存在实数对件是存在实数对 使使例例3.已知平行四边形已知平行四边形ABCD，从平面，从平面AC外一点外一点O引向量引向量OE=K
4、OA,OF=kOB,OG=KOC,OH=KOD,求证求证（1）四点）四点E，F，G，H共面。共面。（2）平面）平面EG/平面平面ACOF FA AB BC CD DE EH HG G例例4。PA平面平面ABCD,ABCD是矩形是矩形,M、N分分别是别是AB、PC中点。中点。求证：求证：MN/平面平面PAD小结小结:(2)(2)若若AC=AC=mAB+nADmAB+nAD,则则A,B,C,DA,B,C,D四点共面四点共面1.证明四点共面的方法证明四点共面的方法(1)若若AB=kDC,得得AB/DC,则则A,B,C,D四点共面四点共面2.证明线面平行的方法证明线面平行的方法(1)若若AB=kEF,则则EF/AB,EF在平面在平面内内,AB不在平面不在平面内内 所以所以AB/平面平面(2)(2)若若AB=AB=mEF+nEGmEF+nEG,则则AB,EF,EGAB,EF,EG共面共面,AB/,AB/平面平面EFGEFG