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1、一、二维随机变量 设X和Y是定义在(,P)上的两个随机变量,则称（X，Y）为二维随机变量或二维随机向量。二、联合分布函数 定义：设（X，Y）是二维随机变量，x、y是任意实数，函数F（x,y）=PXx,Yy称为（X，Y）的分布函数，或称随机变量X与Y的联合分布函数.FX（x）=PXx,Y+FY（y）=PX+,Yy边缘分布函数3.1二维随机变量的分布1联合分布函数的性质(1)0F（x,y）1;(2)F(x,-)=F(-,y)=F(-,-)=0 F(+,+)=1;(3)F(x,y)对x和y分别是不减函数.(4)F（x，y）关于x右连续，关于y右连续，即 F（x+0，y）=F（x，y F（x，y+0）
2、=F（x，y）(5)对于任意的点(x1，y1)，(x2，y2),x1x2,y1y2F(x2，y2)-F(x2，y1)-F(x1，y2)+F(x1，y1)02三二维离散型随机变量及分布定义：如果二维随机变量(X，Y)所有可能取的数对为有限个或可数个，则称（X，Y）为二维离散型随机变量并且称,为（，）的概率分布，或称做与的联合概率分布简称联合分布，联合分布也可用表格列出联合分布的性质：3由已知条件求联合分布例袋内有四张卡片，分别写有、，每次从中任取两张，记，分别表示取到的两张卡片中的最小数字与最大数字，求与的联合分布。解：解：4例2.X表示随机的在14的4个整数中取出的一个数,Y表示在1X个整数中
3、随机地取出的一个数,求与的（）联合分布解解:（）边缘分布125二维离散型随机变量的边缘分布边缘分布具有一元随机变量分布列的性质联合分布唯一决定边缘分布6例5.已知随机变量X和Y的分布列分别为(1)求X与Y的联合分布(2)X与Y是否独立且已知PXY=0=1解解:(1)由于PXY=0=1所以PXY0=097例6.设A,B为两随机事件,且P(A)=1/4,P(B|A)=1/3,P(A|B)=1/2.令求(X,Y)的联合分布8四二维连续型随机变量及概率密度定义：设随机量(X,Y)的分布函数为F(x,)，如果存在非负函数f(x，)，使得对任意实数X，有：则称（X，）为二维连续型随机变量，称f(x，)是（
4、X，）的概率密度函数，或与的联合密度函数概率密度的性质：若是平面上的一个区域，则9求联合密度函数中所含参数，并利用联合密度函数求事件概率10例例.书书例例.先看求待定参数先看求待定参数11121113五边缘概率密度函数及边缘分布函数(1)边缘概率密度函数(2)边缘分布函数边缘密度具有一元随机变量密度函数的性质联合密度函数唯一决定边缘密度函数14已知联合密度函数求边缘密度函数15116二维均匀分布的随机向量其边缘分布不一定是均匀分布二维均匀分布是矩形区域上的均匀分布，则每一个分量的边缘分布一定是相应区间上的均匀分布，且相互独立17.条件分布与随机变量的独立性n一.条件分布与独立性的一般概念n二.
5、离散型随机变量的条件概率分布与独立性n三.连续型随机变量的条件概率分布与独立性181.条件分布分布函数 F(x)=x|A2.两随机变量X与Y相互独立F(x,y)=FX(x)FY(y)3.X与Y相互独立其函数 g1(X),g2(Y)也相互独立一.条件分布与独立性的一般概念.条件分布与随机变量的独立性条件分布与随机变量的独立性19二.离散型随机变量的条件概率分布与独立性条件分布具有一元随机变量分布列的性质.条件分布联合分布唯一决定条件分布离散型随机变量的独立性20例.已知X服从参数p=0.6的分布，在及X下，关于的条件分布分别如下求二元随机变量（，）的联合分布，以及在时关于的条件分布解：解：21例
6、1.若(X,Y)的分布为则，应满足的条件是若与相互独立，则，若与相互独立，则22例.设两个独立的随机变量与的分布列为求随机变量与的联合分布例3.设两随机变量与的联合分布为已知随机事件与相互独立，则23三.连续型随机变量的条件密度函数与独立性条件密度函数：设（，）的密度函数为连续型随机变量的独立性242526例5.一人到办公室时间分布在812点,其秘书为79点,两人到达时间相互独立,求他们到办公室时间差不超过5分钟的概率.解:设X,Y分别为二者到达时间，则因为两人到达时间相互独立，则（，）密度为273.3二维随机变量函数的分布已知(X,Y)的联合分布一.离散型随机变量函数的分布Z=g(X,Y),
7、则也可用表格表示(X,Y)Z=g(X,Y)28例.书例.;(X,Y)X+YXY(0,-1)(0,0)(0,2)(1,-1)(1,0)(1,2)(2,-1)(2,0)(2,2)29例3.设两个独立的随机变量与的分布列为求随机变量的分布列30二.连续型随机变量函数的分布31为确定积分限,先找出使被积函数不为0的区域 例1 若X和Y 独立,具有共同的概率密度求Z=X+Y的概率密度.解:由卷积公式也即也即32为确定积分限,先找出使被积函数不为0的区域 如图示如图示:也即也即于是于是33 解解 例2 设随机变量X与Y相互独立 且两者都在区间0 1上均匀分布 试求ZXY的概率密度 由卷积公式由卷积公式 对
8、任意实数对任意实数z 有有 34 解 例3 设XN(1 2)YN(3 4)且X与Y相互独立 设ZXY 求Z的概率密度函数 由卷积公式 对任意实数z 有 即知ZN(4 6)35 解解 例4 设X1 X2 Xn相互独立 且均在区间0 上均匀分布 Ymax(X1 X2 Xn)Zmin(X1 X2 Xn)求Y Z的概率密度fY(y)及fZ(z)X1 X2 Xn具有相同的概率密度f(x)及相同的分布函数F(z)nF(y)n1f(y)fY(y)fmax(y)于是 fZ(z)fmin(z)n1 F(z)n 1f(x)36 解解 例5 设二维随机变量(X Y)具有概率密度 设ZXY 试求Z的数学期望 37X的
9、函数Y=g(X)X的函数Y=g(X)X的密度函数f(x)X的分布为数学期望X为连续型随机变量 X为离散型随机变量三.随机向量的函数的数学期望X的函数Z=g(X,Y)X的函数Z=g(X,Y)X的函数Z=g(X,Y)=XYX的函数Z=g(X,Y)=XY383.4随机向量数字特征一协方差定义：设(X，Y)是二维随机变量，若E(XEX)(YEY)存在，则称它是X和Y的协方差，记作Cov(X，Y)，即 Cov(X，Y)=E(XEX)(YEY)（）当(X，Y)是离散型随机变量时，其概率分布为 （）当(X，Y)是连续型随机变量，其概率密度为f(x,y),则 Cov（X，Y）=39（1）Cov（X，Y）=Co
10、v(Y，X)（2）Cov(aX+b,cY+d)=acCov(X,Y)（3）Cov(X1+X2,Y)=Cov(X1,Y)+Cov(X2,Y)（4）Cov(X,Y)=E(XY)EXEY（）D（XY）=DX+DY2Cov（X，Y）（）若X与Y相互独立，则Cov（X，Y）=0（7）Cov（X，C）=0协方差的性质40二相关系数（标准协方差）为X与Y的相关系数，当=0时，称X与Y不相关，当0时，称X与Y相关.刻画了X与Y之间的线性相关程度。（）相关系数的性质2）=1 X与Y以概率1线性相关.即存在常数a和b，且a0，使得PY=aX+b=1（）称）|1（）相关与独立的关系独立不相关；相关不独立41独立独立
11、不独立不独立42（）判断与是否独立（）计算（，）（）计算（）（）计算例设与的联合分布如下：解：（）显然与不独立（）0.=0.4=0.3(，)=0.3-0.28=0.02（）()=DX+DY2COV(X,Y)2.7443例3.设X、Y是两个随机变量，已知EX=2，EX=20，EY=3，EY=34，=0.5则E（3X+2Y）=，D（3X+2Y）=解：E（3X+2Y）=3EX+2EY=12又 DX=16，DY=25 Cov（X、Y）=10D（3X+2Y）=D(3X)+D(2Y)+2Cov(3X,2Y)=9DX+4DY+12Cov(X、Y)=364解：Cov(X-0.4,Y)=Cov(X,Y)+Cov
12、(-0.4,Y)0.9例.已知COV(X,Y)=0.9,Z=X-0.4,则Cov(Z,Y)=_.0.912364若X与Y的相关系数为0.9,Z=X-0.4,则Yz=_.0.944例.设R.V.X服从参数=1的泊松分布，YB(4,0.8),已知D（X+Y）=2.6，相关系数XY=_解：DX=1，DY=npq=40.80.2=0.64而D（X+Y）=DX+DY+2Cov（X,Y）D（X+Y）=2.6 Cov(X,Y)=0.48=0.6例5.如果随机变量X与Y满足D（X+Y）=D（X-Y）,则必有 _(A)X与Y独立 (B)X与Y不相关(C)D（Y）=0 (D)D（X）D（Y）=0 解:D（X+Y）
13、=DX+DY+2Cov（X,Y）,D（X-Y）=DX+DY-2Cov（X,Y）Cov（X,Y）=0(B)0.6453.5大数定理与中心极限定理一大数定理大数定理的定义：概率论中用来阐明大量随机现象平均结果具有稳定性的定律，统称为大数定理依概率收敛46三个大数定理三个大数定理（）伯努利大数定理频率稳定于概率（）切比雪夫大数定理独立随机变量的平均值稳定于其数学期望（）辛钦大数定理独立重复观察的算术平均值稳定于其数学期望47l中心极限定理的定义：概率论中用来阐明大量随机变量和的分布以正态分布为极限分布的定理，统称为中心极限定理l依分布收敛：二.中心极限定理48两个中心极限定理(1)林德伯格勒维中心极
14、限定理49(2)棣莫弗拉普拉斯中心极限定理50例2.要测量，两地之间的距离，限于测量工具，将其分成1200段进行测量，设每段测量误差(单位：千米)相互独立，且均服从(-0.5,0.5)上的均匀分布，试求总距离测量误差的绝对值不超过千米的概率解:Xi表示第i段上的测量误差,X为总距离误差，则从而要求的概率为51例.设有个电子器件，它们的使用寿命服从0.1的指数分布其使用情况是第一个损坏第二个立即使用，第二个损坏第三个立即使用等等令为个器件使用的总计时间，求超过小时的概率从而要求的概率为52例5某保险公司多年统计资料表明，在索赔户中，被盗索赔户占20%，现随机抽查100个索赔户，求被盗索赔户不高于30户的概率解：设被盗索赔户为，显然(100,0.2)从而要求的概率为53(1)求二维离散型随机变量的联合分布,并利用联合分布求事件的概率(2)求二维连续型随机变量的联合密度函数中的待定系数并利用联合密度函数求事件的概率(3)由二维随机变量的联合分布求边缘分布，判断随机变量的独立性.(4)求两个随机变量的简单函数的概率分布(5)求协方差,相关系数(6)利用中心极限定理,求事件的概率方法归纳本单元的典型题大致有下列几种54