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1、1第二节第二节第二节第二节 Euler Euler Euler Euler方法方法方法方法2 2009,Henan Polytechnic University22 Euler2 Euler2 Euler2 Euler方法方法方法方法第五章第五章第五章第五章 常微分方程数值解法常微分方程数值解法常微分方程数值解法常微分方程数值解法5.2.1.5.2.1.Euler方法方法设节点为设节点为xk=x0+kh (h=(b-a)/n k=0,1,n)方法一方法一 泰勒展开法泰勒展开法 （将（将y(xk+1)在在xk泰勒展开得泰勒展开得）则可得：则可得：3 2009,Henan Polytechnic
2、University32 Euler2 Euler2 Euler2 Euler方法方法方法方法第五章第五章第五章第五章 常微分方程数值解法常微分方程数值解法常微分方程数值解法常微分方程数值解法 方法二方法二 数值微分法（用向前差商近似导数）数值微分法（用向前差商近似导数）4 2009,Henan Polytechnic University42 Euler2 Euler2 Euler2 Euler方法方法方法方法第五章第五章第五章第五章 常微分方程数值解法常微分方程数值解法常微分方程数值解法常微分方程数值解法方法三方法三 数值积分法数值积分法 5 2009,Henan Polytechnic
3、University52 Euler2 Euler2 Euler2 Euler方法方法方法方法第五章第五章第五章第五章 常微分方程数值解法常微分方程数值解法常微分方程数值解法常微分方程数值解法依上述公式逐次计算可得：依上述公式逐次计算可得：也称也称Euler为单步法，为单步法，又称为又称为显格式的单步法显格式的单步法。6 2009,Henan Polytechnic University62 Euler2 Euler2 Euler2 Euler方法方法方法方法第五章第五章第五章第五章 常微分方程数值解法常微分方程数值解法常微分方程数值解法常微分方程数值解法 2 2 欧拉法的几何意义：欧拉法的几
4、何意义：也称也称欧拉折线法欧拉折线法.从上述几何意义上得知，由从上述几何意义上得知，由EulerEuler法所得的折线法所得的折线明显偏离了积分曲线，可见此方法明显偏离了积分曲线，可见此方法非常粗糙。非常粗糙。7 2009,Henan Polytechnic University72 Euler2 Euler2 Euler2 Euler方法方法方法方法第五章第五章第五章第五章 常微分方程数值解法常微分方程数值解法常微分方程数值解法常微分方程数值解法3.3.欧拉法的局部截断误差：欧拉法的局部截断误差：定义定义在在假假设设 yi=y(xi)，即即第第 i 步步计计算算是是精精确确的的前前提提下下，
5、考考虑虑的的截截断断误误差差 Ri=y(xi+1)yi+1 称称为为局局部部截截断误差断误差定义定义若若某某算算法法的的局局部部截截断断误误差差为为O(hp+1)，则则称称该该算法有算法有p 阶精度。阶精度。8 2009,Henan Polytechnic University82 Euler2 Euler2 Euler2 Euler方法方法方法方法第五章第五章第五章第五章 常微分方程数值解法常微分方程数值解法常微分方程数值解法常微分方程数值解法 欧拉法的局部截断误差：欧拉法的局部截断误差：欧拉法具有欧拉法具有 1 1 阶精度。阶精度。9 2009,Henan Polytechnic Univ
6、ersity92 Euler2 Euler2 Euler2 Euler方法方法方法方法第五章第五章第五章第五章 常微分方程数值解法常微分方程数值解法常微分方程数值解法常微分方程数值解法5.2.2 后退的后退的 欧拉公式欧拉公式（隐式欧拉公式）（隐式欧拉公式）向后差商近似导数向后差商近似导数由于未知数由于未知数 yn+1 同时出现在等式的两边，故称为同时出现在等式的两边，故称为隐隐式式 欧拉公式，而前者称为欧拉公式，而前者称为显式显式 欧拉公式。隐式公式欧拉公式。隐式公式不能直接求解，一般需要用不能直接求解，一般需要用Euler显式公式得到初显式公式得到初值，然后用值，然后用Euler隐式公式迭
7、代求解。因此隐式公隐式公式迭代求解。因此隐式公式较显式公式计算复杂，但稳定性好。式较显式公式计算复杂，但稳定性好。10 2009,Henan Polytechnic University102 Euler2 Euler2 Euler2 Euler方法方法方法方法第五章第五章第五章第五章 常微分方程数值解法常微分方程数值解法常微分方程数值解法常微分方程数值解法11 2009,Henan Polytechnic University112 Euler2 Euler2 Euler2 Euler方法方法方法方法第五章第五章第五章第五章 常微分方程数值解法常微分方程数值解法常微分方程数值解法常微分方程数
8、值解法几何意义几何意义：向后差商近似导数向后差商近似导数x0 x1)(,()(1101xyxfhyxy+12 2009,Henan Polytechnic University122 Euler2 Euler2 Euler2 Euler方法方法方法方法第五章第五章第五章第五章 常微分方程数值解法常微分方程数值解法常微分方程数值解法常微分方程数值解法 见上图，见上图，显然，这种近似也有一定误差，显然，这种近似也有一定误差，如何估计这种误差如何估计这种误差y(xn+1)yn+1？方法同上，基于方法同上，基于Taylor展开估计局部截断误差。展开估计局部截断误差。但是注意，隐式公式中右边含有但是注意
9、，隐式公式中右边含有f(xn+1,yn+1),由于由于yn+1不准确，所以不能直接用不准确，所以不能直接用y(xn+1)代替代替f(xn+1,yn+1)设已知曲线上一点设已知曲线上一点 Pn(xn,yn),过过该点作弦线，斜率为该点作弦线，斜率为(xn+1,yn+1)点的方向场点的方向场f(x,y)方向方向,若步长若步长h充分充分小，可用弦线和垂线小，可用弦线和垂线x=xn+1的交点的交点近似曲线与垂线的交点。近似曲线与垂线的交点。几何意义几何意义xnxn+1PnPn+1xyy(x)13 2009,Henan Polytechnic University132 Euler2 Euler2 Eu
10、ler2 Euler方法方法方法方法第五章第五章第五章第五章 常微分方程数值解法常微分方程数值解法常微分方程数值解法常微分方程数值解法隐式隐式欧拉法的局部截断误差：欧拉法的局部截断误差：14 2009,Henan Polytechnic University142 Euler2 Euler2 Euler2 Euler方法方法方法方法第五章第五章第五章第五章 常微分方程数值解法常微分方程数值解法常微分方程数值解法常微分方程数值解法1 Eulers Method15 2009,Henan Polytechnic University152 Euler2 Euler2 Euler2 Euler方法方
11、法方法方法第五章第五章第五章第五章 常微分方程数值解法常微分方程数值解法常微分方程数值解法常微分方程数值解法隐式隐式欧拉法的局部截断误差：欧拉法的局部截断误差：即隐式欧拉公式具有即隐式欧拉公式具有 1 阶精度。阶精度。1 Eulers Method16 2009,Henan Polytechnic University162 Euler2 Euler2 Euler2 Euler方法方法方法方法第五章第五章第五章第五章 常微分方程数值解法常微分方程数值解法常微分方程数值解法常微分方程数值解法比较欧拉显式公式和隐式公式及其局部截断误差比较欧拉显式公式和隐式公式及其局部截断误差显式公式隐式公式17
12、2009,Henan Polytechnic University172 Euler2 Euler2 Euler2 Euler方法方法方法方法第五章第五章第五章第五章 常微分方程数值解法常微分方程数值解法常微分方程数值解法常微分方程数值解法 若将这两种方法进行算术平均，若将这两种方法进行算术平均，即可消除误差即可消除误差的主要部分而获得更高的精度的主要部分而获得更高的精度,称为梯形法称为梯形法5.2.3 梯形公式梯形公式18 2009,Henan Polytechnic University182 Euler2 Euler2 Euler2 Euler方法方法方法方法第五章第五章第五章第五章 常
13、微分方程数值解法常微分方程数值解法常微分方程数值解法常微分方程数值解法 在用数值积分的方法推导欧拉公式时，右端的在用数值积分的方法推导欧拉公式时，右端的积分用梯形积分公式可得：积分用梯形积分公式可得：19 2009,Henan Polytechnic University192 Euler2 Euler2 Euler2 Euler方法方法方法方法第五章第五章第五章第五章 常微分方程数值解法常微分方程数值解法常微分方程数值解法常微分方程数值解法梯形法的迭代计算和收敛性梯形法的迭代计算和收敛性注：注：的确有局部截断误差的确有局部截断误差 ，即梯形公式具有即梯形公式具有2 阶精度，比欧拉方法有了进步
14、。但阶精度，比欧拉方法有了进步。但注意到该公式是注意到该公式是隐式隐式公式，计算时不得不用到迭代法，公式，计算时不得不用到迭代法，其迭代收敛性与欧拉公式相似。其迭代收敛性与欧拉公式相似。20 2009,Henan Polytechnic University202 Euler2 Euler2 Euler2 Euler方法方法方法方法第五章第五章第五章第五章 常微分方程数值解法常微分方程数值解法常微分方程数值解法常微分方程数值解法21 2009,Henan Polytechnic University212 Euler2 Euler2 Euler2 Euler方法方法方法方法第五章第五章第五章第
15、五章 常微分方程数值解法常微分方程数值解法常微分方程数值解法常微分方程数值解法 改进的欧拉格式改进的欧拉格式 欧拉方法容易计算，但精度较低；梯形公式精度欧拉方法容易计算，但精度较低；梯形公式精度高，但是隐式形式，不易求解；若将二者结合，可得高，但是隐式形式，不易求解；若将二者结合，可得到改进的欧拉格式。到改进的欧拉格式。22 2009,Henan Polytechnic University222 Euler2 Euler2 Euler2 Euler方法方法方法方法第五章第五章第五章第五章 常微分方程数值解法常微分方程数值解法常微分方程数值解法常微分方程数值解法 上述方法也可以表示为下述两种形
16、式：上述方法也可以表示为下述两种形式：23 2009,Henan Polytechnic University232 Euler2 Euler2 Euler2 Euler方法方法方法方法第五章第五章第五章第五章 常微分方程数值解法常微分方程数值解法常微分方程数值解法常微分方程数值解法5.2.5 欧拉两步公式欧拉两步公式中心差商近似导数中心差商近似导数x0 x2x1假设假设 ，则可以导出，则可以导出即中点公式也具有即中点公式也具有 2 阶精度，且是显式的。阶精度，且是显式的。需要需要2 2个初值个初值 y0和和 y1来启动递推过程，这样的算法称来启动递推过程，这样的算法称为为双步法双步法24 2
17、009,Henan Polytechnic University242 Euler2 Euler2 Euler2 Euler方法方法方法方法第五章第五章第五章第五章 常微分方程数值解法常微分方程数值解法常微分方程数值解法常微分方程数值解法预测预测-校正系统校正系统中点法具有二阶精度，且是显式的，与梯形公式精度相匹配，用中点法具有二阶精度，且是显式的，与梯形公式精度相匹配，用中点公式作预测，梯形公式作校正，得到如下预测校正系统：中点公式作预测，梯形公式作校正，得到如下预测校正系统：校正误差约为预测误校正误差约为预测误差的差的1/425 2009,Henan Polytechnic Univers
18、ity252 Euler2 Euler2 Euler2 Euler方法方法方法方法第五章第五章第五章第五章 常微分方程数值解法常微分方程数值解法常微分方程数值解法常微分方程数值解法预测误差和校正误差预测误差和校正误差的事后误差估计式的事后误差估计式利用上两式可以估计预测值和校正值与准确值的误差，可以利用上两式可以估计预测值和校正值与准确值的误差，可以期望，利用这两个误差分别作预测值和校正值的补偿，有可期望，利用这两个误差分别作预测值和校正值的补偿，有可能提高精度。能提高精度。设设pn,cn分别为第分别为第n步的预测值和校正值，即步的预测值和校正值，即此时此时cn+1未知，未知，故用故用pn-c
19、n代替代替26 2009,Henan Polytechnic University262 Euler2 Euler2 Euler2 Euler方法方法方法方法第五章第五章第五章第五章 常微分方程数值解法常微分方程数值解法常微分方程数值解法常微分方程数值解法预测预测-校正校正-改进公式改进公式注：利用该算法计算注：利用该算法计算yn+1时，需要时，需要27 2009,Henan Polytechnic University272 Euler2 Euler2 Euler2 Euler方法方法方法方法第五章第五章第五章第五章 常微分方程数值解法常微分方程数值解法常微分方程数值解法常微分方程数值解法例
20、：试分别用欧拉格式和改进的欧拉格式求解例：试分别用欧拉格式和改进的欧拉格式求解下列初值问题：下列初值问题：解：欧拉格式的具体算式为：解：欧拉格式的具体算式为：28 2009,Henan Polytechnic University282 Euler2 Euler2 Euler2 Euler方法方法方法方法第五章第五章第五章第五章 常微分方程数值解法常微分方程数值解法常微分方程数值解法常微分方程数值解法 改进的欧拉格式为：改进的欧拉格式为：29 2009,Henan Polytechnic University292 Euler2 Euler2 Euler2 Euler方法方法方法方法第五章第五
21、章第五章第五章 常微分方程数值解法常微分方程数值解法常微分方程数值解法常微分方程数值解法30 2009,Henan Polytechnic University302 Euler2 Euler2 Euler2 Euler方法方法方法方法第五章第五章第五章第五章 常微分方程数值解法常微分方程数值解法常微分方程数值解法常微分方程数值解法 改进的欧拉格式的具体算式为：改进的欧拉格式的具体算式为：结果列表如下：结果列表如下：31 2009,Henan Polytechnic University312 Euler2 Euler2 Euler2 Euler方法方法方法方法第五章第五章第五章第五章 常微分
22、方程数值解法常微分方程数值解法常微分方程数值解法常微分方程数值解法 xk欧拉法yk欧拉预校yk准确解y(xk)0.11.095 445 1150.21.183 215 9570.31.264 911 0640.41.341 640 7870.51.414 213 5620.61.483 239 6970.71.549 193 3390.81.612 451 5500.91.673 320 0531.01.732 050 8081.11.095 909 0911.191 818 1821.184 096 5691.277 437 8341.266 201 3611.358 2126001.343 360 1511.435 1329191.416 401 9291.508 9662541.485 955 6021.580 3382381.552 514 0911.649 7834311.616 474 7831.717 7793481.678 166 3641.784 7708321.737 867 401