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1、1第二部分第二部分 专题六专题六类型 1 与全等三角形相关证明与计算1(2016梧州)如图，过O上的两点A，B分别作切线，并交BO、AO的延长线于点C，D，连接CD，交O于点E，F，过圆心O作OMCD，垂足为M点求证：(1)ACOBDO；(2)CEDF.证明：(1)AC，BD为O的切线，CAODBO90，在ACO和BDO中，Error!ACOBDO(ASA)(2)ACOBDO，CODO.OMCD，MCDM，EMMF，CEDF.2(2018北京)如图，AB是O的直径，过O外一点P作O的两条切线PC，PD，切点分别为C，D，连接OP，CD.(1)求证：OPCD；(2)连接AD，BC，若DAB50，
2、CBA70，OA2，求OP的长(1)证明：如答图，连接OC，OD.OCOD.PD，PC是O的切线，ODPOCP90.在 RtODP和 RtOCP中，2Error!RtODPRtOCP(HL)，DOPCOP，ODOC，OPCD.(2)解：OAODOCOB2，ADODAO50，BCOCBO70，AOD80，BOC40，COD60.ODOC，COD是等边三角形，由(1)知，DOPCOP30，在 RtODP中，OP.OD cos304 333(2017贺州)如图，O是ABC的外接圆，AB为直径，BAC的平分线交O于点D，过点D的切线分别交AB，AC的延长线于E，F，连接BD.(1)求证：AFEF；(2
3、)若AC6，CF2，求O的半径(1)证明：如答图 1，连接OD.EF是O的切线，且点D在O上，ODEF.OAOD，DABADO.AD平分BAC，DABDAC，ADODAC，AFOD，AFEF.(2)解：如答图 2，过D作DGAE于点G，连接CD.BADDAF，AFEF，3BDCD，DGDF，在 RtADF和 RtADG中，Error!RtADFRtADG(HL)，同理可得 RtCDFRtBDG，BGCF2，AGAFACCF628，ABAGBG8210，O的半径为AB5.1 24(2018苏州)如图，AB是O的直径，点C在O上，AD垂直于过点C的切线，垂足为D，CE垂直AB，垂足为E.延长DA交
4、O于点F，连接FC，FC与AB相交于点G，连接OC.(1)求证：CDCE；(2)若AEGE，求证：CEO是等腰直角三角形证明：(1)连接AC.CD是O的切线，OCCD.ADCD，DCOD90，ADOC，DACACO.OCOA，CAOACO，DACCAO.CEAB，CEA90，在CDA和CEA中，Error!CDACEA(AAS)，CDCE.(2)连接BC.CDACEA，DCAECA.CEAG，AEEG，CACG，ECAECG.AB是O的直径，ACB90，CEAB，ACEB.BF，FACEDCAECG.D90，DCFF90，FDCAACEECG22.5，AOC2F45，CEO是等腰直角三角形4类
5、型 2 与相似三角形相关证明与计算1(2018玉林适应考试)如图，AD是O的直径，AB为O的弦，OPAD，OP与AB的延长线交于点P，点C在OP上，且BCPC.(1)求证：直线BC是O的切线；(2)若OA3，AB2，求BP的长(1)证明：如答图，连接OB.OAOB，AOBA.又BC PC，PCBP.OPAD，AP90，OBACBP90，OBC180(OBA CBP)90.点B在O上，直线BC是O的切线(2)解：如答图，连接DB.AD是O的直径，ABD 90，RtABDRtAOP，即 ，解得AP9，AB AOAD AP2 36 APBPAPBA927. 2(2018贺州)如图，AB是O的弦，过A
6、B的中点E作ECOA，垂足为C，过点B作直线BD交CE的延长线于点D，使得DBDE.5(1)求证：BD是O的切线；(2)若AB12，DB5，求AOB的面积(1)证明：OAOB，DBDE，AOBA，DEBDBE.ECOA，DEBAEC，ADEB90，OBADBE90，OBD90.OB是O的半径，BD是O的切线(2)解：过点D作DFAB于点F，连接OE，如答图点E是AB的中点，AB12，AEEB6，OEAB.又DEDB，DFBE，DEDB5，EFBF3，DF4.DE2EF2AECDEF，AEDF.OEAB，DFAB，AEODFE90，AEODFE，EO FEAE DF即 ，得EO ，EO 36 4
7、9 2SAOBABOE 12 27. 1 21 29 23(2018随州)如图，AB是O的直径，点C为O上一点，CN为O的切线，OMAB于点O，分别交AC，CN于D，M两点6(1)求证：MDMC；(2)若O的半径为 5，AC4，求MC的长5(1)证明：如答图，连接OC.CN为O的切线，OCCM，OCAACM90.OMAB，OACODA90.OAOC，OACOCA，ACMODACDM，MDMC.(2)解：由题意可知AB5210，AC4.5AB是O的直径，ACB90， BC2.1024 525AODACB，OADCAB，AODACB, ，即，可得OD .设MCMDx，OD BCAO ACOD2 5
8、54 55 2在 RtOCM中，由勾股定理得(x )2x252，5 2解得x，即MC.15 415 44(2016来宾)如图，在ABC中，C90，BAC的平分线交BC于点D，DEAD，交AB于点E，AE为O的直径(1)判断BC与O的位置关系，并证明你的结论；(2)求证：ABDDBE；(3)若 cosB，AE4，求CD.2 23(1)解：结论：BC与O相切证明：如答图，连接OD.7OAOD，OADODA.AD平分CAB，CADDAB，CADADO，ACOD.ACBC，ODBC，BC是O的切线(2)证明：BC是O的切线，ODB90，BDEODE90.AE是O的直径，ADE90，DAEAED90.O
9、DOE，ODEOED，DABBDE.ABDDBE，ABDDBE.(3)解：在 RtODB中，cosB，BD OB2 23设BD2k，OB3k.OD2BD2OB2，248k29k2，k2，BO6，BD4.2DOAC, ， ，BD CDBO AO4 2CD6 2CD. 4 23类型 3 与锐角三角函数相关证明与计算1(2018毕节)如图，在ABC中，以BC为直径的O交AC于点E，过点E作AB的垂线交AB于点F，交CB的延长线于点G，且ABG2C.(1)求证：EG是O的切线；8(2)若 tanC ，AC8，求O的半径1 2(1)证明：如答图，连接OE，BE.ABG2C，ABGCA，CA，BCAB.B
10、C是O的直径，CEB90，CEAE.COOB，OEAB.GEAB，EGOE.又OE是O半径，EG是O的切线(2)解：AC8，CEAE4.tanC ，BE2，BC2，BE CE1 2CE2BE25CO，即O的半径为.552(2018贵港二模)如图，已知在 RtABC中，ABC90 ，以AB为直径的O与AC交于点D，点E是BC的中点，连接BD, DE.(1)求证： DE是O的切线；(2)若AB3AD，求 sinC.(1)证明：连接OD.AB是O的直径，ADB90，BDC90.E为BC的中点，DEBECE，EDBEBD.ODOB，ODBOBD.ABC90，EDOEDBODBEBDOBDABC90，O
11、DDE，OD是O的半径，DE是O的切线. (2)解：AB为O的直径， ADB90，ABDBAD90.ABC90，CBAC90，CABD.AB3AD，sinABD ，sinC .AD AB1 31 33(2018柳州三模)如图，AB是O的直径，弦CDAB于H，过CD延长线上一点E作O的切线交AB的延长线于F，切点为G，连接AG交CD于K.9(1)求证： KEGE；(2)若KC2KDCE ，试判断AC与EF的位置关系，并说明理由；(3)在(2)的条件下，若 sinE ，AK2 ，求FG的长3 55第 3 题答图(1) 解：如答图 1，连接OG. EG是O的为切线，KGEOGA90.CDAB, AK
12、HOAG90.又OAOG, OGAOAG, KGEAKHGKE, KEGE.(2)解：ACEF.理由：连接GD，如答图 2 所示KG2KDGE，即， ，KG KDGE KGKG GEKD KG又KGEGKE，GKDEGK , EAGD.又CAGD, EC, ACEF.(3) 解：连接OG，OC，如答图 3 所示sinEsinACH ，设AH3t，则AC5t，CH4t.KEGE，ACEF, 3 5CKAC5t, HKCKCHt.在 RtAHK中，根据勾股定理得AH2HK2AK2，即(3t)2t2(2)52，解得t.设O的半径为r，在 RtOCH中，2OCr，OHr3t，CH4t，由勾股定理得OH
13、2CH2OC2，即(r3t)2(4t)2r2，解得r . EF为O的切线， 25 26OGF为直角三角形，在 RtOGF中，OGr，tanOFGtanCAH ， CH AH4 310FG.OG tanOFG25 26 4 325 284(2016北海)在ABC中，ABAC.以AB为直径的O交AC于点E，交BC于点D, O的切线BP与AC的延长线交于点P，连接DE，BE.(1)求证：；BDDE(2)求证：AEDBCP；(3)已知：sinBAD，AB10，求BP的长55(1)证明：AB是O的直径，ADB90，即ADBC.又ABAC，AD平分BAC，BADDAC，.BDDE(2)证明： AB是O的直
14、径，ADBC，BDDC.，BDDE，BDDEDCDE，DECDCE.AEDDEC180，DCEBCP180，AEDBCP.(3)解：sinBAD，AB10，BD AB55ACAB10，BD2，DCDE2.55设ECx，则AE10x，在 RtABE中，BE2AB2AE2, 在 RtBEC中，BE2BC2EC2，AB2AE2BC2EC2，即 102(10x)2(22)2x2，55解得x4， EC4，AE6，BE8.AB2AE210262ABEEBP90，EBPP90，ABEP. 又AEBABP90，ABEAPB，即，BP. AE ABBE BP6 108 BP40 311类型 4 与特殊三角形相关
15、证明与计算1(2016钦州)如图，在ABC中，ABAC，AD是角平分线，BE平分ABC交AD于点E，点O在AB上，以OB为半径的O经过点E，交AB于点F.(1)求证：AD是O的切线；(2)若AC4，C30，求的长EF(1)证明：如答图，连接OE.OBOE，OBEOEB.BE平分ABC，OBEEBD，OEBEBD，OEBD.ABAC，AD平分BAC，ADBC，OEABDA90.点F有O上，AD是O的切线(2)解：ABAC4，CB30，BD2.设O的半径为r，则BOOEr，AOABOB4r.OEBD，3AO AB，OE BD即，解得r812，4r 4r2 33l(2).EF308 3121804
16、332(2018巴中)如图，在ABC中，ABBC，以AB为直径的O交BC于点D，交AC于点F，过点C作CEAB，与过点A的切线相交于点E，连接AD.12(1)求证：ADAE；(2)若AB6，AC4，求AE的长(1)证明：AE与O相切，AB是O的直径，BAE90，ADB90.CEAB，E90，EADB.在ABC中，ABBC，BACBCA.CEAB，BACACE，BCAACE.又ACAC，ADCAEC(AAS)，ADAE.(2)解：设AEADx，CECDy，则BD6y.AEC和ADB为直角三角形，AE2CE2AC2，AD2BD2AB2，将AB6，AC4，AEADx，CECDy，BD6y代入，解得x
17、，y ，即AE的长为8 234 3. 8 233(2016南宁)如图，在 RtABC中，C90，BD是角平分线，点O在AB上，以点O为圆心，OB为半径的圆经过点D，交BC于点E.(1)求证：AC是O的切线；(2)若OB10，CD8，求BE的长(1)证明：如答图，连接OD.BD为ABC的平分线，12.OBOD，13，23，ODBC.C90，ODA90.13点D在O上，AC为O的切线；(2)解：过O作OGBC，连接OE，如答图四边形ODCG为矩形，GCODOB10，OGCD8，在 RtOBG中，利用勾股定理得BG6.OGBE，OBOE，BE2BG12.类型 5 与特殊四边形相关证明与计算1(201
18、7毕节)如图，已知O的直径CD6，A，B为圆周上两点，且四边形OABC是平行四边形，过A点作直线EFBD，分别交CD，CB的延长线于点E，F，AO与BD交于G点(1)求证：EF是O的切线；(2)求AE的长(1)证明：CD为O的直径，DBC90，BDBC.四边形OABC是平行四边形，AOBC，BDOA.EFBD，OAEF.点A在O上，EF是O的切线(2)解：连接OB，如答图四边形OABC是平行四边形，OABC，而OBOCOA，OBOCBC，OBC为等边三角形，C60.14AOEC60.在 RtOAE中，tanAOE，AE OAAE3tan603.32(2018贵港二模)如图，在矩形ABCD中，点
19、O在对角线AC上，以OA的长为半径的O与AD，AC分别交于点E，F，且ACBDCE.第 2 题图(1)求证：直线CE与O相切；(2)若 tanBAC，BC2，求O的半径2(1)证明：四边形ABCD是矩形，BCAD，BCADAC.又ACBDCE，DACDCE.连接OE，则DACAEODCE.DCEDEC90，AEODEC90，OEC90，即OECE.又OE是O的半径，直线CE与O相切(2)解：tanBAC，BC2，AB ，22AC.DCEACB，6tanDCEtanACB，22DEDCtanDCE1.在 RtCDE中，CE.CD2DE23设O的半径为r，则在 RtCOE中，CO2OE2CE2，即
20、(r)2r23，6解得r.643(2017贵港)如图，在菱形ABCD中，点P在对角线AC上，且PAPD，O是PAD的外接圆15(1)求证：AB是O的切线；(2)若AC8，tanBAC，求O的半径22(1)证明：连接OP，OA，OP交AD于点E，如答图第 3 题答图PAPD，OPAD，AEDE，APDP1OPA90.OPOA，OAPOPA，1OAP90.四边形ABCD为菱形，12，2OAP90，OAAB，AB是O的切线(2)解：连接BD，交AC于点F，如答图四边形ABCD为菱形，DB与AC互相垂直平分AC8，tanBAC，22AF4，tanDAC，DF AF22DF2，AD2，2AF2DF26A
21、E.在 RtPAE中，tan1，6PE AE22PE.设O的半径为R，3则OER，OAR，在 RtOAE中，3OA2OE2AE2，R2(R)2()2，36R，即O的半径为. 3 323 324如图，正方形ABCD顶点A，D在O上，边BC经过O上一定点P，且PF平分16AFC，边 AB，CD分别与O相交于点E，F，连接EF.(1)求证：BC是O的切线；(2)若FC2，求PC的长(1)证明：如答图，连接OP.四边形ABCD是正方形，BCD90，ABBC.PF平分AFC，AFPPFC.OPOF，AFPOPF，PFCOPF，OPCD，BPOC90，OPBC.又OP是O的半径，BC是O的切线(2)解：如答图，连接AP.D90，AF是O的直径，AEFAPF90，BEFBC90.OPCD，OPCDBA， ，BPBCBA.AO AFBP BC1 21 21 2APBFPC90，PFCFPC90，APBPFC.BC90，APBPFC, ， ，PC2FC4. FC PBCP BA1 2FC CPPB BA1 217