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1、Evaluation Warning: The document was created with Spire.Doc for .NET.第70课 棱 锥考试目标 主词填空1.定义：有一个个面是多多边形，其其余各面面是有一一个公共共顶点的的三角形形的多面面体.2.分类：按底面面边数分分：三棱棱锥、四四棱锥特例：正棱棱锥底面是是正多边边形并且且顶点在在底面上上射影是是底面中中心的棱棱锥.3. 性质质：如果果棱锥被被平行于于底面的的平面所所截，那那么截面面和底面面相似，并并且它们们面积之之比等于于截得棱棱锥的高高和已知知棱锥高高的平方方比.即即(类推：).对于正棱锥锥：（11）各条条侧棱相相等；（
2、22）各侧侧面是全全等的等等腰三角角形；（33）棱锥锥的高和和斜高及及斜高在在底面上上的射影影构成一一个直角角三角形形；棱锥锥的高和和侧棱的的底面上上的射影影也构成成一个直直角三角角形.4.侧面积积和体积积：.题型示例例 点津津归纳【例1】 棱锥锥PABCCD的底底面是正正方形，侧侧面PAAB，PADD都垂直直于底面面，另两两侧面与与底面成成45角，M，N分别为为BC，CD的中中点，最最长的侧侧棱为115 ccm.求求:(1)棱锥锥的高；（2）底底面中心心O到平面面PMNN的距离离.【解前点津津】 棱锥的的概念在在本题求求解中并并无作用用，重点点应分析析和利用用好给出出的面面面关系.【规范解答
3、答】 如图所所示.(1)设高高为h,由平平面PAAB，平平面PAAD都垂垂直于底底面，得得PA底面ACC.例1题图又PBAA=455，PA=AB=h,AC=h .由PA2AC2PC2及PC115，得h=5(cm );(2)BBDAC,BDPA,BD平平面PAAC.又MNBBD,MN平面PAAQ，平面PAAQ平面PMMN.作OHPPQ于H，则OHH之长即即为所求求.作AGPPQ于G.在RtPPAQ中中，AQQ,PQ=AG=再由得OH= (cm).【解后归纳纳】 由于在在棱锥中中，随处处可以找找到解题题必需的的三角形形，因此此平面几几何知识识和解三三角形的的知识往往往成为为正确解解题的关关键.例2
4、题图【例2】 如图图，已知知四棱锥锥PABCCD的底底面是菱菱形，棱棱长为44a,且ABCC=600,PC平面ABBCD，PC=4a,E是PA的中中点.（1）求证证：平面面BDEE平面ABBCD；（2）求：E点到平平面PBBC的距距离；（3）求：二面角角AEBD的平面面角的大大小.【解前点津津】 （1）证证平面BBDE平面ABBCD，需需证平面BDEE过平面面ABCCD的一一条垂线线OE；（2）欲求求E到平面面PBCC的距离离可转化化为求直直线OEE到平面的距离离，进一一步转化化为求点点O到平面面PBCC的距离离.（3）利用用三垂线线定理作作出二面面角的平平面角AGOO,从而而解出AGGO可求
5、求得AGOO的大小小.【规范解答答】 证明:（1）连连结ACC、BD交于于O，连OEE、BE、DE.ABCDD为菱形形，OA=OC.又E为PAA中点，OEPC.PC平平面ABBCD，OE平面ABBCD.又OE平面面BDEE,平面BDDE平面ABBCD.(2)解:OEPC,PC平面面PBCC,OE平平面PBBC.E到平面面PBCC的距离离与O到平面面PBCC的距离离相等.PC平平面ABBCD，平面PBBC平面ABBCD，过O作OFFBC于F，则OFF平面PBBC，即OF是OO到平面面PBCC的距离离.ABCC=600,AC=AAB=BC=44a,OC=22a,OF=OOCsinn60=2a=.点
6、E到平平面PBBC的距距离为.（3）解:过O作OGBE于G，连AGG，OEAAC,BDAC,AC平平面BDDE，AGBE.AGOO是二面面角ABED的平面面角.OE=PPC=22a,OB=2,BE=4a.由三角形面面积相等等得：OOG=,又AO=AC=22a.RtAOOG中，ttanAGOOAGOO=arrctaan.二面角AAEBD的平面面角的大大小为aarcttan.【解后归纳纳】 本题考考查线线线平行、垂垂直、线线面平行行与垂直直、面面面垂直的的判定及及性质，点点到面的的距离、二二面角大大小的求求法，综综合运用用知识的的能力，转转化能力力.【例3】 如图图，设三三棱锥SSABCC的三个个
7、侧棱与与底面AABC所所成角都都是600,又BACC=600,且SAABC.例3题图（1）求证证SABCC为正三三棱锥；（2）已知知SAa,求SABCC的全面面积.【解前点津津】 (1)正棱锥锥的定义义中，底底面是正正多边形形；顶点在底面面上射影影是底面面的中心心，两个个条件缺缺一不可可.（2）只要要求出正正三棱锥锥SABCC的侧高高SD与底底面边长长，则问题易于于解决.【规范解答答】 (1)证明：作三棱棱锥SABCC的高SOO，O为垂足足.连结AO并并延长交交BC于D.因为SABC,所所以ADDBC,又又侧棱与与底面所所成的角角都相等等，从而O为AABC的的外心,OD为BC的垂垂直平分分线，
8、所以ABAC.又又BACC600,故ABCC为正三三角形，且且O为其中中心，所所以SABCC为正三三棱锥.（2）在RRtSAOO中，由由于SAAa,SAOO=600,所以以SO=,AO=a, 因O为重心心，所以以AD.BC=2BBD=22ADcoot 660=,OD=AD=.在RtSSOD 中，SSD2SO2OD2，则.SSAABC全全=【解后归纳纳】 求正棱棱锥的侧侧面积或或全面积积还可以以利用公公式S正棱锥锥底ccosS正棱锥锥侧（为侧面面与底面面所成的的二面角角），就就本题ccos=,SABCC=,所以SSABCC侧=,也可求出出全面积积.【例4】 已知知正三棱棱锥PABCC底面边边长为
9、22,高也也是2.(1)求此此三棱锥锥的全面面积;(2)过这这棱锥底底面的一一边作垂垂直于它它所对棱棱的截面面,求这这个截面面的面积积.【规范解答答】 (1)斜高hh=,S全=SS侧+S底=(2)设顶顶点P在底面面上的射射影为OO,连AOO并延长长交BCC于E,连结结PE,PEBBC,AEBC,BC平平面PAAE,PABC.在在平面PPAE中中,作EEDPA于D,则PAA截面BCCD.在PAEE中,AEE=,AB=22,AE=,在RttPAOO中,POO=2,AO=,PA=,PADE=AEPO,DE=,截面DBBC的面面积是.【解后归纳纳】 关于多多面体表表面积的的计算,常用方方法是将将其表面
10、面展开成成平面图图形,转转化为平平面几何何问题来来解决;关于截截面积的的计算问问题,则则须根据据截面的的图形特特征选择择适当方方法求之之.对应训练练 分分阶提升升一、基础夯夯实1.具有下下列性质质的三棱棱锥中，哪哪一个是是正棱锥锥 ( )A.顶点在在底面上上的射影影到底面面各顶点点的距离离相等B.底面是是正三角角形，且且侧面都都是等腰腰三角形形C.相邻两两条侧棱棱间的夹夹角相等等D.三条侧侧棱相等等，侧面面与底面面所成角角也相等等2.在四棱棱锥的四四个侧面面中，直直角三角角形最多多可能有有 ( )A.4个 B.2个 C.3个 D.1个3.设棱锥锥的底面面面积为为8cmm2,那么么这个棱棱锥的中
11、中截面(过棱锥锥高的中中点且平平行于底底面的截截面)的的面积是是 ( )A.4cmm2 B.2cmm2 C.2ccm2 DD.cmm24.已知三三棱锥PPABCC的六条条棱长均均相等，E、F分别为棱PB、PC上的点，且，连结AE、AF、EF，则三棱锥AEFP的体积与四棱锥ABCFE的体积之比为 ( )A.1110 B.111 C.112 D.1135.如图所所示，用用一个平平面去截截一个正正方体，得得到一个个三棱锥锥，在这这个三棱棱锥中，除除截面外外的三个个面的面面积分别别为S1、S2、S3，则这这个三棱棱锥的体体积为 ( )第5题图A.B. C. D. 6.一个nn棱锥的的所有侧侧面与底底面
12、所成成的二面面角为330，且此此棱锥的的底面面面积为SS，则它它的侧面面积等于于 ( )A. B. CC. D.2S7.以三棱棱锥各面面重心为为顶点，得得到一个个新三棱棱锥，则则它的表表面积是是原三棱棱锥表面面积的 ( )A. B. CC. D.8.两个平平行于底底面的截截面将棱棱锥的侧侧面积分分成三个个相等的的部分.则此两两截面将将棱锥的的高分成成的三段段(自上上而下)之比是是 ( )A.1 B.1(-1)(-1)C.1(-1)(-) DD. 11(+1)(+)9.将边长长为a的正方方形ABBCD沿沿对角线线AC折起起，使得得BDa，则三三棱锥DDABCC的体积积为 ( )A. B. CC.
13、 D.二、思维激激活10.正四四棱锥SSABCCD，已已知侧棱棱长等于于底面边边长，EE是SA的中中点，则则异面直直线BEE与SC所成成角的余余弦值等等于 .11.如果果三棱锥锥S-ABCC的底面面是不等等边三角角形，侧侧面与底底面所成成的二面面角都相相等，且且顶点SS在底面面的射影影O在ABCC内，那那么O是ABCC的 心12.三棱棱锥一条条侧棱长长16ccm ,和这条条棱相对对的棱长长是188cm ,其余余四条棱棱长都是是17ccm ,则棱锥锥的体积积是 ccm3.13.三棱棱锥PABCC的底面面是直角角三角形形，C900，PA底面ABBC，若若A到PC、PB的距距离比是是12，则则侧面P
14、PAB与与侧面PPBC所所成的角角是 . 14.在正正四棱锥锥内有一一内接正正方体，这这正方体体的四个个顶点在在棱锥的的侧棱上上，另四四个顶点点在棱锥锥底面内内，若棱棱锥底面面边长为为a，高为为h，则内内接正方方体的棱棱长为 . 三、能力提提高15.正三三棱锥VVABCC的底面面边长为为a，侧棱棱与底面面所成的的角等于于，过底底面一边边作此棱棱锥的截截面，当当截面与与底面所所成二面面角为何何值时，截截面面积积最小?并求出出最小值值.16.如图图所示，在在正三棱棱锥SABCC中，D、E、F分别是是棱ACC、BC、SC上的的点，且且CD22AD，CE22BE，CF22SF，G是AB的中中点.(1)
15、求证证:平面面SABB平面DEEF.第16题图(2)求证证:SGG平面DEEF. (3)当AAB22，SA时，求求二面角角FDEC的大小小.17.三棱棱锥PABCC中，PBB底面ABBC于B，BCAA900，PBBCCA4，E为PC的中中点，点点F在PA上，且且3PFFFA.(1)求证证：侧面面PACC侧面PBBC.(2)求异异面直线线PA与BE所成成角的大大小.(3)求三三棱锥FFABEE的体积积V.18.棱长长为1的的正方体体ABCCDABCD的上底底面对角角线ACC上取一一点P,过P、A、B三点所作作的截面面与底面面ABCD的夹角角为,过P、B、C三点所所作截面面与底面面ABCD的夹角角
16、为，求当当(+)最小小时点PP的位置置.19.正三三棱锥PPABCC中,ABB=a,相邻邻两个侧侧面所成成的二面面角为.(1)若BBDPC,求求BD的长长;(2)求这这棱锥的的侧面积积. 第9课 棱锥习习题解答答1.D 根据正正棱锥的的性质选选D.2.A 四个侧侧面三角角形都可可能是直直角三角角形如如底面AABCDD为矩形形，VAA平面ABBCD.3.C 中截面面的面积积应是底底面面积积的,即即2cmm2所以选选C.4.B VAEFPP=VPABCC= VAEFPPVABCFFE=1111.5.C 由一点点出发三三条垂直直的棱设设为a、b、c，ab=S1，bc=S2，ac=S3，V=.6.C
17、侧面积积为.7.C 表面积积比为.8.C 自上而而下设高高为h1、h2、h3，h12(h1+h2)2(h1+h1+h3)2=123.h1hh2h3=1(-1)(-).9.D OD=OB=，SBODD=,VDAABC=.10. 设AC的中中点为OO，连OEE则OESC，cosOEBB=.第12题图解11.内心心 设S在ABCC上的射射影为OO，由所所成二面面角相等等可得OO到ABCC三边距距离相等等,故OO为内心心12.5776 如图,取ADD的中点点E,连结结CE,BE,AC=CCD=117,DDE=88,CEE2=1772-82=2225,BBE=CE.取BC的的中点FF,连结结EF,EF为
18、BC边上上的高EF=.SBCCE=1108,AC=CCD=117cmm ,EE为AD的中中点,CCEAD,同理BEAD,AD平平面BCCE,三棱锥可可分为以以截面BBCE为为底以AAE,DE为高高的两个个三棱锥锥.VA-BCCE和VD-BCEE,VA-BCEE=2SBCEEAE=2210888=5576(cm33). 13.300 PAA平面ABBC，BCAC，BC平平面PAAC，平面PAAC平面BCCP.过A作ADDPC于D，作AFFPB于F连DF，sinAAFD=,AFFD=330.又AFDD为两侧侧面所成成的角.14. 设棱长长为x，x=.15.如图图，截面PBCC中，BCC=a为定值值
19、，而SS，所以，若使使S最小，只只须PDD最小即即可，第15题图解VA、BBC为异异面直线线，当PD为为VA、BC的公公垂线时时，PDD的距离离即为最最短，当PDBC，PDVA时，PDD最短.在RttPDAA中，ADPP，PDAADsinn，SPBBC.16.(11)连结结CG交DE于N，连结结FN.CD22AD，CE22BE，CF22SF，CD，CE，CF，即.FDSSA，FESB，DEAB.平面DEEF平面SAAB.(2)平平面SAAB平面SCCGSG，平平面DEEF平面SCCGFN，SGFN.又FN平面面DEFF，SG平面DEEF.(3)GG是AB的中中点，SSASB，ACBC.CGAA
20、B，SGAB，CGDE，FNDE.FNCC是二面面角FDEC的平面面角.SCSSA，AB22，CG33，SGG.cosSGCC,SGCC455，又FNCCSGCC455，二面角FFDEC的大小小为455.17.(11)PBB平面ABBC于B，AC平面面ABCC，PBAC，又又ACBC，AC平平面PBBC，侧面PAAC平面PBBC.(2)PPBBC，E为PC的中中点，BEPC，又平面PPAC平面PBBC，BE平面PAAC，BEPPA，即即异面直直线PAA与BE所成成的角为为90.(3)BBE平面PAAC，VB-AAEF=SAEFFBE，又ACPC，SACPPACPC，在在RtPACC中，由由AC
21、44，PCC4，得SAPPC8，又E为PC的中中点，SAEEPSAPCC，又AF33PF，SAEFFSAPEE，SAEEFSACPP3，VF-AABE4.18.分析析：关键键是先要要想法构构造一个个含+的目标标函数yy=f(+).求求出目标标函数ttan (+)后，再再用一元元二次方方程的判判别式求求出当+最小时时点P的位置置.第18题图解解：如图所所示，连连结AC，在平平面ACCAC内作PEEAC于E，在底底面AC内作EFAB于F.ENBC于N，连结结PF、PN，故故PFEE，PNE，设EFFx，则AFEF，ENFB.x+ENN1，于是是tann，taan，tan (+).设tan (+)y
22、，则有有yx2-yx+y+1=0. xR，则则方程有实数数根，故故判别式式为y2-4y(y+1)0，解解得-y0,又0+，而-tann (+)0，且且在(00,)上正正切函数数是增函函数.当tann (+)取最最小值-时，+取最小小值，即即(+)minn-arrc ttan，把把y=-代入式中，得得x，即AFEF，EN1-x1-，说明E为AAC中点，从从而P为AC中点点.故当当+最小时时点P是AC中点点.19.(11)连AAD,在在BCDD和ACDD中,BCC=AC,BCDD=ACDD,CD=CD,BCDDACCD,ADPC,AD=BD.BDAA为侧面面PBCC和PACC所成二二面角的的平面角角,BDAA=(0)在ABDD中,由由余弦定定理得AAB2=BD2+AD2-2BDDADcoss,BD2=.于是BD=.(2)取BBC的中中点M,连PMM,则PMMBC,PM为正正三棱锥锥的斜高高.PC2=PPM2+CM2=PM2+ 又PCBBD=PMBC,PC2= 从中消消去PCC2得PM2=即PM=,S侧=.