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1、计数应用题解题策略数数学选修修2-31.4计计数应用题题教学反反思沛县体育中中学 李锋锋计数应用题题是排列组组合中最常见的的题型，由于于其解法往往往是构造造性的, 因此方法法灵活多样样, 不同同解法导致致问题难易易变化也较较大，而且且解题过程程出现“重复”和“遗漏”的错误较较难自检发发现。因而而对这类问问题归纳总总结，并把把握一些常常见解题模模型是必要要的。以下下结合一些些例题讲述述了在解决决计数应用用题时的一一般步骤和和需要注意意的细节。 一、把把握分类计计数原理、分分步计数原原理是基础础例1在11名名工人中，有有5人只能能当钳工，44人只能当当车工，另另外2人能能当钳工也也能当车工工。现从
2、111人中选选出4人当当钳工，44人当车工工，问共有有多少种不不同的选法法? 解：采用加加法原理首首先要做到到分类不重重不漏，如如何做到这这一点？分分类的标准准必须前后后统一。 以两个全全能的工人人为分类的的对象，考考虑以他们们当中有几几个去当钳钳工为分类类标准。 第一类：这两个人人都去当钳钳工，有种种； 第二二类：这两两人有一个个去当钳工工，有种； 第三类类：这两人人都不去当当钳工，有有 种。 因而共有有185种种。小结：把握握了“分类类的要求”和和“分步的的合理性”，解解决排列组组合问题就就快速多了了。并能提提高解题的的准确度。二、注注意区别“恰好”与“至少”例2从6双不不同颜色的的手套中
3、任任取4只，其其中恰好有有一双同色色的取法有有_。 解：通过合合理的分步步可以完成成任务。 第一步从从6双中选选出一双同同色的手套套，有6种种方法； 第二步从从剩下的十十只手套中中任选一只只，有100种方法； 第三步步从除前所所涉及的两两双手套之之外的八只只手套中任任选一只，有有8种方法法。 由于于选取与顺顺序无关，因因而第二步步和第三步步中的选法法重复一次次，因而共共种。 小结：“恰恰好有一个个”是“只有一个个”的意思。“至少有一一个”则是“有一个或或一个以上上”，可用分分类讨论法法求解，它它也是“没有一个个”的反面，故故可用“排除法”。三、特特殊元素，优优先处理；特殊位置置，优先考考虑 例
4、3六人站成成一排，求求： (1)甲不在排排头，乙不不在排尾的的排列数 (2)甲不在排排头，乙不不在排尾，且且甲乙不相相邻的排法法数 解：（11）先考虑虑排头，排排尾，但这这两个要求求相互有影影响，因而而考虑分类类。 第一类：乙乙在排头，有有种站法。 第二类：乙不在排排头，当然然他也不能能在排尾，有有种站法，共共504种种站法 （2）第一一类：甲在在排尾，乙乙在排头，有有种方法；第二类：甲在排尾尾，乙不在在排头，有有种方法；第三类：甲不在排排尾,乙在在排头，有有种方法；第四类：甲不在排排尾，乙不不在排头，有有种方法。共共有3122种方法。 小结：1、“在”与“不在”可以相互互转化。解解决某些元元
5、素在某些些位置上用用“定位法”，解决某某些元素不不在某些位位置上一般般用“间接法”或转化为为“在”的问题求求解。2、排列组组合应用题题极易出现现“重”、“漏”现象，而而重”、“漏”错误常发发生在该不不该分类、有有无次序的的问题上。为为了更好地地防“重”堵“漏”，在做题题时需认真真分析自己己做题思路路，也可改改变解题角角度，利用用一题多解解核对答案案四、“相邻邻”用“捆绑”，“不邻”就“插空”例4、7名名学生排成成一排，下下列情况各各有多少种种不同的排排法？（1）甲、乙乙必须站在在一起；（2）甲、乙乙互不相邻邻。解：（1）将将甲、乙二二人看作一一个元素，先先排甲、乙乙有种，然然后再与其其他5人构
6、构成6个元元素进行全全排列，有有种方法。（2）先排排除甲、乙乙二人外的的5人有种种，产生66个空，把把甲、乙二二人插空有有种方法。小结：以元元素相邻为为附加条件件的应把相相邻元素视视为一个整整体，即采采用“捆绑法”；以某些些元素不能能相邻为附附加条件的的,可采用用“插空法”。“插空”有同时“插空”和有逐一一“插空”,并要注注意条件的的限定.五、混合问问题，先“组”后“排”例5 对某某种产品的的6件不同同的正品和和4件不同同的次品,一一进行行测试，至至区分出所所有次品为为止，若所所有次品恰恰好在第55次测试时时全部发现现,则这样样的测试方方法有种可可能？解：由题意意知前5次次测试恰有有4次测到到
7、次品，且且第5次测测试是次品品。故有：种可能小结：本题题涉及一类类重要问题题：问题中中既有元素素的限制，又又有排列的的问题，一一般是先元元素（即组组合）后排排列。六、分清排排列、组合合、等分的的算法区别别例6、有66本不同的的书按下列列分配方式式分配，问问共有多少少种不同的的分配方式式？（1）分成成1本、223本；（2）分给给甲、乙、丙丙三人,其其中1人一一本，1人二二本、1人三三本；（3）分成成三份,每每份2本解:(1)分三步：先选一本本有种选法法；再从余余下的5本本中选2本本有种选法法；最后余余下的3本本全选有种种。由分步步计数原理理知，分配配方法共有有：种。（2）由于于甲、乙、丙丙三人是
8、不不同的三个个人，在（11）的基础上上，还应考考虑再分配配问题，因因此，分配配方法共有有：种。（3）先分分三步：则则应是种方方法，但是是这里出现现重复，不不防记六本本书为A、BB、C、DD、E、FF，若第一一步取了AAB，第二二步取了CCD，第三三步取了EEF。记该该种分法为为（AB、CCD、EFF）则种分分法中还有有（AB、EEF、CDD）、(CDD、AB、EEF)、(CD、EEF、ABB)、（EEF、CD、AB）、(EF、AAB、CDD)、共种种情况，而而且这种情情况是ABB、CD、EEF的顺序序不同，因因此，只能能作为一种种分法，故故分配方式式有：种。小结：平均均分组问题题：一般来来说，kmm个不同的的元素分成成k组，每每组m个，则则不同的分法有：种。七、分类组组合,隔板板处理例7 某中中学从高中中7个班中中选出122名学生组组成校代队队，参加中中学生数学学竞赛活动动，使代表表队中每班班至少1人人参加的选选法有多少少种？解:问题相相当于把个个12相同球球放入7个不同盒盒子(盒子子不能空的的)有几种种放法?这这类问可用用“隔板法”处理，把66块隔板插插在11个个间隔中，共共有种。小结：把nn个相同元元素分成mm份每份,至少1个个元素,问问有多少种种不同分法法的问题可可以采用“隔板法”得出共有有 种.- 4 -