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1、1第一章第一章 导数及其应用导数及其应用章末复习章末复习学习目标 1.理解导数的几何意义，并能解决有关切线的问题.2.能熟练应用求导公式及运算法则.3.掌握利用导数研究函数的单调性、极值与最值，并能应用其解决一些实际问题.4.了解定积分的概念及其简单的应用1导数的概念(1)定义：函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率 ，称为函数limx0fx0xfx0xyf(x)在xx0处的导数(2)几何意义：函数yf(x)在xx0处的导数是函数图象在点(x0，f(x0)处的切线的斜率，表示为f(x0)，其切线方程为yf(x0)f(x0)(xx0)2基本初等函数的导数公式(1)c0.(2)(x)x1.(3)(a
2、x)axln a(a0)(4)(ex)ex.(5)(logax)(a0，且a1)(ln x ln a)1 xln a(6)(ln x) .1 x(7)(sin x)cos x.(8)(cos x)sin x.3导数的运算法则(1)f(x)g(x)f(x)g(x)(2)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)(3)(g(x)0)fxgxfxgxfxgxgx24复合函数的求导法则(1)复合函数记法：yf(g(x)2(2)中间变量代换：yf(u)，ug(x)(3)逐层求导法则：yxyuux.35函数的单调性、极值与导数(1)函数的单调性与导数在某个区间(a，b)内，如果f(x)0，那么函数y
3、f(x)在这个区间内单调递增；如果f(x)0，当xa时，f(x)a时，f(x)0，则点a叫做函数的极小值点，f(a)叫做函数的极小值(3)求函数f(x)在闭区间a，b上的最值的步骤求函数yf(x)在(a，b)内的极值；将函数yf(x)的极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个就是最大值，最小的一个就是最小值6微积分基本定理如果f(x)是区间a，b上的连续函数，并且F(x)f(x)，那么 f(x)dxF(b)F(a)b a7定积分的性质(1)kf(x)dxkf(x)dx(k为常数)b ab a(2) f1(x)f2(x)dxf1(x)dxf2(x)dx.b ab ab a(3)
4、f(x)dxf(x)dxf(x)dx(其中a0.( )b a类型一 导数几何意义的应用例 1 设函数f(x)x3ax29x1(a0)，直线l是曲线yf(x)的一条切线，当l的斜1 3率最小时，直线l与直线 10xy6 平行(1)求a的值；(2)求f(x)在x3 处的切线方程4考点 求函数在某点处的切线方程题点 求曲线的切线方程解 (1)f(x)x22ax9(xa)2a29，f(x)mina29，由题意知a2910，a1 或1(舍去)故a1.(2)由(1)得a1，f(x)x22x9，则kf(3)6，f(3)10.f(x)在x3 处的切线方程为y106(x3)，即 6xy280.反思与感悟 利用导
5、数求切线方程时关键是找到切点，若切点未知需设出常见的类型有两种：一类是求“在某点处的切线方程” ，则此点一定为切点，易求斜率进而写出直线方程即可得；另一类是求“过某点的切线方程” ，这种类型中的点不一定是切点，可先设切点为Q(x1，y1)，由f(x1)和y1f(x1)，求出x1，y1的值，转化为第一种类型y0y1 x0x1跟踪训练 1 直线ykxb与曲线yx3ax1 相切于点(2,3)，则b .考点 求曲线在某点处的切线方程题点 曲线的切线方程的应用答案 15解析 由题意知f(2)3，则a3.f(x)x33x1，f(x)3x23，f(2)32239k，又点(2,3)在直线y9xb上，b3921
6、5.类型二 函数的单调性、极值、最值问题例 2 设a为实数，函数f(x)ex2x2a，xR R.(1)求f(x)的单调区间与极值；(2)求证：当aln 21 且x0 时，exx22ax1.考点 利用导数研究函数的单调性题点 利用导数证明不等式(1)解 由f(x)ex2x2a，xR R，知f(x)ex2，xR R.令f(x)0，得xln 2.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：5x(，ln 2)ln 2(ln 2，)f(x)0f(x)极小值故f(x)的单调递减区间是(，ln 2)，单调递增区间是(ln 2，)，f(x)在xln 2处取得极小值，极小值为f(ln 2)eln 22ln
7、22a2(1ln 2a)(2)证明 设g(x)exx22ax1，xR R，于是g(x)ex2x2a，xR R.由(1)知当aln 21 时，g(x)取最小值为g(ln 2)2(1ln 2a)0.于是对任意xR R，都有g(x)0，所以g(x)在 R R 内单调递增于是当aln 21 时，对任意x(0，)，都有g(x)g(0)而g(0)0，从而对任意x(0，)，都有g(x)0，即 exx22ax10，故 exx22ax1.反思与感悟 本类题考查导数的运算，利用导数研究函数的单调性，求函数的极值和证明不等式，考查运算能力、分析问题、解决问题的能力跟踪训练 2 已知函数f(x)xln x.(1)求f
8、(x)的最小值；(2)若对所有x1 都有f(x)ax1，求实数a的取值范围；(3)若关于x的方程f(x)b恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围考点 函数极值的综合应用题点 函数零点与方程的根解 (1)f(x)的定义域是(0，)，f(x)1ln x，令f(x)0，解得x ，令f(x)0 时，x4 或x 时，y0，9 49 49 8即单调递增区间为，故选 D.9 8，)4体积为 16 的圆柱，当它的半径为 时，圆柱的表面积最小考点 利用导数求几何模型的最值问题题点 利用导数求面积的最值问题答案 2解析 设圆柱底面半径为r，母线长为l.16r2l，即l.16 r2则S表面积2r22rl2r22
9、r2r2，16 r232 r由S4r0，得r2.32 r2当r2 时，圆柱的表面积最小5已知函数f(x)过点(1，e)exb x(1)求yf(x)的单调区间；(2)当x0 时，求的最小值；fxx(3)试判断方程f(x)mx0(mR R 且m为常数)的根的个数考点 函数极值的综合应用题点 函数零点与方程的根解 (1)由函数f(x)过点(1，e)，得 e1be，即b0，exb xf(x)(x0)，f(x)，ex xexx1x2令f(x)0，得x1，令f(x)0，fxxex x2g(x)，exx22xx4令g(x)0，解得x2 或x0(舍去)，当x(0,2)时，g(x)0，g(x)在(0,2)上单调
10、递减，在(2，)上单调递增，的最小值为g(2).fxxe2 4(3)方程f(x)mx0(mR R 且m为常数)等价于mg(x)，fxxg(x)，易知当x0.exx22xx4结合(2)可得函数g(x)在区间(0,2)上单调递减，在(，0)，(2，)上单调递增原问题转化为ym与yg(x)的交点个数，其图象如图，当m0 时，方程f(x)mx0(mR R 且m为常数)的根的个数为 0；当 0时，方程f(x)mx0(mR R 且m为常数)的根的个数为 3.e2 41利用导数的几何意义可以求出曲线上任意一点处的切线方程yy0f(x0)(xx0)明确“过点P(x0，y0)的曲线yf(x)的切线方程”与“在点
11、P(x0，y0)处的曲线yf(x)的切线方程”的异同点2借助导数研究函数的单调性，经常同三次函数，一元二次不等式结合，融分类讨论、数形结合于一体3利用导数求解优化问题，注意自变量中的定义域，找出函数关系式，转化为求最值问题124不规则图形的面积可用定积分求解，关键是确定积分上、下限及被积函数，积分的上、下限一般是两曲线交点的横坐标.一、选择题1已知函数f(x)sin x，且 2，则a的值为( )a limh0f1hf1hA2 B2C2 D2考点 导数的概念题点 导数的概念的简单应用答案 A解析 2，limh0f1hf1hf(1)2，f(x)sin x，a f(x)acos x，acos 2，a
12、2，故选 A.2设曲线yf(x)在某点处的导数值为 0，则过曲线上该点的切线( )A垂直于x轴B垂直于y轴C既不垂直于x轴也不垂直于y轴D方向不能确定考点 导数的几何意义的应用题点 导数的几何意义答案 B解析 曲线yf(x)在某点处的导数值为 0，切线的斜率为 0，故选 B.3若函数f(x)的导数是f(x)x(ax1)(a0，当22 时，f(x)0，故函数f(x)有极小值f(2)，故选 D.6已知aln x对任意x恒成立，则a的最大值为( )1x x1 2，2A0 B1C2 D3考点 利用导数求函数中参数的取值范围题点 利用导数求恒成立问题中参数的取值范围答案 A解析 令f(x)ln x，1x
13、 xf(x)，1 x(11 x)当x时，f(x)0，f(x)单调递增，f(x)f(1)0，则a0，即a的最大值为 0.7若函数f(x)x3x22bx在区间3,5上不是单调函数，则函数f(x)在 R R 上的1 3(1b 2)极大值为( )A.b2b3 B.b2 31 63 22 3C2b D04 3考点 函数在某点处取得极值的条件题点 含参数求极值问题答案 C解析 f(x)x2(2b)x2b(xb)(x2)，函数f(x)在区间3,5上不是单调函数，30，得xb，由f(x)0)在1，)上的最大值为，则实数a的值为 x x2a33考点 导数在最值问题中的应用题点 已知最值求参数答案 13解析 f(
14、x)，令f(x)0，得x，ax2x2a2a当x时，f(x)0，f(x)单调递增aa16若1，即a1，a则当x1，)时，f(x)maxf()，aa2a33解得0，则f(x)在上小于 0，在上大于 0，若k0，则1 e(k，1 e)(1 e，)f(x)在上小于 0，在上大于 0，(0，1 e)(1 e，)因此x 是极小值点，f 0，1 e(1 e)k e1 4e2解得k， 时，f(x)在上小于 0，在(k，)上大于 0，1 e(1 e，k)因此xk是极小值点，f(k)(12ln k)0，k2 4解得ka0，a0，0)恒成立，(x1 2)1 4得m ，1 4所以实数m的取值范围是.1 4，)15已知
15、函数f(x)ln xa(x1)，aR R.(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)当x1 时，f(x)恒成立，求实数a的取值范围ln x x1考点 利用导数求函数中参数的取值范围题点 利用导数求恒成立问题中参数的取值范围解 (1)f(x)的定义域为(0，)，f(x)，1ax x若a0，则f(x)0，f(x)在(0，)上单调递增，若a0，则由f(x)0，得x ，1 a当x时，f(x)0，(0，1 a)当x时，f(x)0 时，f(x)在上单调递增，在上单调递减(0，1 a)(1 a，)(2)f(x)，ln x x1xln xax21x1令g(x)xln xa(x21)，x1，g(x)ln x12ax
16、，19令F(x)g(x)ln x12ax，F(x)，12ax x若a0，F(x)0，g(x)在1，)上单调递增，g(x)g(1)12a0，g(x)在1，)上单调递增，g(x)g(1)0，从而f(x)0，不符合题意ln x x1若 00，1 2(1，1 2a)g(x)在上单调递增，(1，1 2a)从而g(x)g(1)12a0，g(x)在上单调递增，g(x)g(1)0，1，1 2a)从而f(x)0，不符合题意ln x x1若a ，F(x)0 在1，)上恒成立，1 2g(x)在1，)上单调递减，g(x)g(1)12a0，从而g(x)在1，)上单调递减，g(x)g(1)0，f(x)0，ln x x1综上所述，实数 a 的取值范围是.12，)