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1、40 平面向量的数量积教材分析两个向量的的数量积是是中学代数数以往内容容中从未遇遇到过的一一种新的乘乘法，它区区别于数的的乘法这这篇案例从从学生熟知知的功的概概念出发，引引出平面向向量数量积积的概念和和性质及其其几何意义义，介绍向向量数量积积的运算律律及坐标表表示向量量的数量积积把向量的的长度和三三角函数联联系在一起起，这为解解决三角形形的有关问问题提供了了方便，特特别是能有有效解决线线段的垂直直等问题这节内容容是整个向向量部分的的重要内容容之一，对对它的理解解与掌握将将直接影响响向量其他他内容的学学习这节节内容的教教学难点是是对平面向向量数量积积的定义及及运算律的的理解和对对平面向量量数量积
2、的的应用教学目标1. 理解解并掌握平平面向量的的数量积、几几何意义和和数量积的的坐标表示示，会初步步使用平面面向量的数数量积来处处理有关长长度、角度度和垂直的的问题，掌掌握向量垂垂直的条件件2. 通过过对数量积积的引入和和应用，初初步体会知知识发生、发发展的过程程和运用过过程，培养养学生的科科学思维习习惯任务分析两个向量的的数量积从从形式和实实质上都与与数的乘法法有区别，这这就给理解解和掌握这这个概念带带来了一些些困难在在学习时，要要充分让学学生理解、明明白两个向向量的数量量积是一个个数量，而而不是向量量两个向向量的数量量积的值是是这两个向向量的模与与两个向量量夹角余弦弦的乘积，其其符号由夹夹
3、角余弦值值的正负而而确定两向量的数数量积“aab”不不同于两实实数之积“aab”通过实例理理解abbbcc与acc的关系，aab00与a00或b00的关系，以以及（ab）ca（bc）与（aab）ca（bcc）的不同同教学设计一、问题情情景如图40-1所示，一一个力f作作用于一个个物体，使使该物体发发生了位移移s，如何何计算这个个力所做的的功由于于图示的力力f的方向向与前进方方向有一个个夹角，真真正使物体体前进的力力是f在物物体前进方方向上的分分力，这个个分力与物物体位移的的乘积才是是力f做的的功即力力f使物体体位移x所所做的功WW可用下式式计算Wsfccos其中fcos就是f在在物体前进进方向
4、上的的分量，也也就是力ff在物体前前进方向上上正射影的的数量问题：像功功这样的数数量值，它它由力和位位移两个向向量来确定定我们能能否从中得得到启发，把把“功”看看成这两个个向量的一一种运算的的结果呢？二、建立模模型1. 引导导学生从“功功”的模型型中得到如如下概念：已知两个非非零向量aa与b，把把数量aabcos叫a与bb的数量积积（内积），记记作abbabccos其中是是a与b夹夹角，aacoss（bbcoss）叫aa在b方向向上（b在在a方向上上）的投影影规定0与任任一向量的的数量积为为由上述定义义可知，两两个向量与的数数量积是一一个实数说明：向量量a与b的的夹角是是指把a，bb起点平移移
5、到一起所所成的夹角角，其中00当时，称aa和b垂直直，记作aab为方便便起见，aa与b的夹夹角记作a，b2. 引导导学生思考考讨论根据向量数数量积的定定义，可以以得出（1）设ee是单位向向量，aeaacossa，ee（2）设aab是非非零向量，则则abab0（3）aaaa2，于是a.（4）coosa，bb.（5）aabab（这这与实数abab不同同）三、解释应应用例题已知a5，b44，a，bb1220，求求ab解：abbabccosaa，b54cos112010练习1. 已知知a3，在在上的投投影为22，求：（11）a（2）aa在b上的的投影2. 已知知：在ABC中，aa5，bb8，cc60，
6、求四、建立向向量数量积积的运算律律1. 出示示问题：从从数学的角角度考虑，我我们希望向向量的数量量积运算，也也能像数量量乘法那样样满足某些些运算律，这这样数量积积运算才更更富有意义义回忆实实数的运算算律，你能能类比和归归纳出向量量数量积的的一些运算算律吗？它它们成立吗吗？为什么么？2. 运算算律及其推推导已知：向量量a，b，cc和R，则（1）abba（交换换律）证明：左abcoos右右（2）（a）bb（aab）a（b）（数数乘结合律律）证明：设aa，b夹角角为，当当0时时，a与与b的夹角角为，（a）b（a）bcoosabcoos（abb）；当0时时，a与与b的夹角角为（），（a）babbcos
7、s（）ab（cos）abbcoss（aab）；当0时时，（aa）b0b0（aab）总之，（a）bb（aab）；同理a（b）（abb）（3）（aab）cacbc（乘法法对加法的的分配律）证明：如图图40-22，任取一一点O，作作a，cab（即即）在c方方向上的投投影等于aa，b在cc方向上的的投影的和和，即abcosacos1bcos2，cabcosc（acos1bcos2）caacoss1cbccos22caacbb，（abb）cacbc思考：（11）向量的的数量积满满足结合律律，即（aab）cca（bbc）吗吗？（2）向量量的数量积积满足消去去律，即如如果abbcbb，那么aac吗？五、应用
8、与与深化例题1. 对实实数a，bb，有（aab）22a22abbb2，（ab）（aab）a2b2类似地地，对任意意向量a，bb，也有类类似结论吗吗？为什么么？解：类比完完全平方和和公式与平平方差公式式，有（ab）2a22abb2，（ab）（ab）a2b2其证明是：（abb）2（ab）（aab）aaaabbbabbba22aabbb2，（ab）（abb）aaabbabba2b22有类似结结论2. 已知知a6，bb4，a，b60，求（aa2b）（a33b）解：（a2b）（a33b）a23aab22ba6b2a2abcoos606bb27223. 已知知a3，bb4，且且a与b不不共线当当k为何值值
9、时，（aakb）（akb）？解：（akb）（akkb），即即（akkb）（aakb）0，即aa2k2b20，即即9k22160，k因此，当kk时，有有（akkb）（akkb）4. 已知知：正方形形ABCDD的边长为为1，并且且a，bb，c，求求abbc解法1：abcc2，abbc22解法2：abc2（abc）2a2b2c22ab2ac2bc112211cos9021 218，abc2练习1. aa4，b33，（2aa3b）（2ab）661，求aa与b的夹夹角2. 在边边长为2的的正三角形形ABC中中，求六、拓展延延伸1. 当向向量a，bb的夹角为为锐角时，你你能说明aab的几几何意义吗吗？如图
10、40-3，ab，即以以b在a上上射影的长长和的长长为两邻边边的矩形面面积（OAAOA11）2. 平行行四边形是是表示向量量加法与减减法的几何何模型，如如图40-4，试说明明平行四边边形对角线线的长度与与两条邻边边长度之间间的关系3. 三个个单位向量量a，b，cc有相同终终点且abc0，问：它们的起起点连成怎怎样的三角角形？解法1：如如图40-5，abc1，abc0，abc，（abb）2（cc）2，a2bb22abc22，2abccosAOC1，coosAOC，AOC1120同理BOOCAOC1120，故故AOB，BOC，BOC全等等，ABACCBC，即即该ABC为等等边三角形形解法2：如如图4
11、0-6，cc，aa，bb，由abc0，即ab1，OADBB为菱形又11，AOBB1200同理AOOCBOC1120，4. 在ABC中，问：OO点在ABC的什什么位置？解：由，即（）0，即即0，同理，故O是是ABC的垂垂心点评这篇案例的的一个突出出特点是使使用类比方方法，即在在研究向量量的数量积积的性质及及运算律时时，经常以以实数为对对象进行类类比以物物理学中的的力对物体体做功的实实例，引入入数量积的的过程比较较自然，学学生容易接接受在“拓拓展延伸”中中，较多地地展示了向向量的综合合应用这这都充分体体现了向量量是数形结结合的重要要载体运运用向量方方法解决与与向量有关关的综合问问题，越来来越成为考考查学生数数学思维能能力的一个个重要方面面认识向向量并会使使用向量是是这一部分分的基础，也也是重点总之，这这篇案例较较好地实现现了教学目目标，同时时，关注类类比方法的的运用，以以及学生数数学思维水水平的提高高美中不不足的是，对对学生的自自主探究的的引导似乎乎有所欠缺缺