《高中数学新课程创新教学设计案例--两角和与差的余弦9368.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学新课程创新教学设计案例--两角和与差的余弦9368.docx（11页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、41 两角和与差的余弦 教材分析这节内容是在掌握了任意角的三角函数的概念、向量的坐标表示以及向量数量积的坐标表示的基础上，进一步研究用单角的三角函数表示的两角和与差的三角函数这些内容在高等数学、电功学、力学、机械设计与制造等方面有着广泛的应用，因此要求学生切实学好，并能熟练的应用，以便为今后的学习打下良好的基础“两角差的的余弦公公式”在在教科书书中采用用了一种种易于教教学的推推导方法法，即先先借助于于单位圆圆中的三三角函数数线，推推出，均为为锐角时时成立对于，为为任意角角的情况况，教材材运用向向量的知知识进行行了探究究同时时，补充充了用向向量的方方法推导导过程中中的不严严谨之处处，这样样，两角
2、角差的余余弦公式式便具有有了一般般性这节课的重重点是两两角差的的余弦公公式的推推导，难难点是把把公式中中的，角推广广到任意意角教学目标1. 通过过对两角角差的余余弦公式式的探究究过程，培培养学生生通过交交流，探探索，发发现和获获得新知知识的能能力2. 通过过两角差差的余弦弦公式的的推导，体体会知识识的发生生、发展展的过程程和初步步的应用用过程，培培养学生生科学的的思维方方法和勇勇于探索索的科学学精神3. 能正正确运用用两角差差的余弦弦公式进进行简单单的三角角函数式式的化简简、求值值和恒等等式证明明任务分析这节内容以以问题情情景中的的问题作作为教学学的出发发点，利利用单位位圆中的的三角函函数线和
3、和平面向向量的数数量积的的概念推推导出结结论，并并不断补补充推导导过程中中的不严严谨之处处推导导过程采采用了从从特殊到到一般逐逐层递进进的思维维方法，学学生易于于接受整个过过程始终终结合单单位圆，以以强调其其直观性性对于于公式中中的和和角要要强调其其任意性性数学学中要注注意运用用启发式式，切忌忌把结果果直接告告诉学生生，尽量量让学生生通过观观察、思思考和探探索，自自己发现现公式，使使学生充充分体会会到成功功的喜悦悦，进一一步激发发学生的的学习兴兴趣，调调动他们们学习的的积极性性，从而而使其自自觉主动动地学习习教学过程一、问题情情景我们已经学学过诱导导公式，如如可以这样来来认识以以上公式式：把角
4、角转动动，则所所得角的正正弦、余余弦分别别等于ccos和ssin把角角转动动，则则所得角角的正弦弦、余弦弦分别等等于ssin和ccos由此，使我我们想到到一个一一般性的的问题：如果把把角的的终边转转动（度度或弧度度），那那么所得得角的正正弦、余余弦如何何用或或的正正弦、余余弦来表表示呢？出示一个实实际问题题：右图41-1是架架在小河河边的一一座吊桥桥的示意意图吊吊桥长AAB（m），AA是支点点，在河河的左岸岸点CC在河的的右岸，地地势比AA点高AD表表示水平平线，DACC，为定值值CABB，随吊桥桥的起降降而变化化在吊吊桥起降降的过程程中，如如何确定定点B离离开水平平线ADD的高度度BE？由图
5、可知BBEaasinn（）我们的问题题是：如如何用和的的三角函函数来表表示siin（）如果为为锐角，你你能由，的的正弦、余余弦求出出sinn（）吗吗？引导学生分分析：事事实上，我我们在研研究三角角函数的的变形或或计算时时，经常常提出这这样的问问题：能能否用，的的三角函函数去表表示的三三角函数数？为了了解决这这类问题题，本节节首先来来探索的的余弦与与，的函数数关系式式更一般地说说，对于于任意角角，能不不能用，的的三角函函数值把把或的三三角函数数值表示示出来呢呢？二、建立模模型1. 探究（1）猜想想：coos（）cossccos（2）引导导学生通通过特例例否定这这一猜想想例如，60，30，可以以发
6、现，左左边ccos（66030）ccos330，右边边coos600ccos330显然然，对任任意角，ccos（）cossccos不成立立（3）再引引导学生生从道理理上否定定这一猜猜想不妨设，均为为锐角，则则，则则coss（）coss又又coss，所以以coss（）cossccos2. 分析析讨论（1）如何何把，角的的三角函函数值之之间建立立起关系系？要获获得相应应的表达达式需要要哪些已已学过的的知识？（2）由三三角函数数线的定定义可知知，这些些角的三三角函数数值都与与单位圆圆中的某某些有向向线段有有关系，那那么，这这些有向向线段之之间是否否有关系系呢？3. 教师师明晰通过学生的的讨论，教教师
7、引导导学生作作出以下下推理：设角的终终边与单单位圆的的交点为为P1，POPP1，则则POxx过点P作PPMx轴，垂垂足为MM，那么么，OMM即为角角的余弦弦线，这这里要用用表示，的的正弦、余余弦的线线段来表表示OMM过点P作PPAOP1，垂足足为A，过过点A作作ABx轴，垂垂足为BB，再过过点P作作PCAB，垂垂足为CC，那么么cossOOA，ssinAPP，并且且PACCP1Ox，于于是OMOBBBMMOBBCPPOAAcossAAPsiincosccossiinssin4. 提出出问题，组组织学生生讨论（1）当，为为任意角角时，上上述推导导过程还还能成立立吗？若要说明此此结果是是否对任任意
8、角，都都成立，还还要做不不少推广广工作，可可引导学学生独立立思考事实上，根根据诱导导公式，总总可以把把，的三角角函数化化为（00，）内内的三角角函数，再再根据ccos（）coss，把把的余弦弦，化为为锐角的的余弦因此，三、解释应应用例题1. 求ccos115及及coss1055的值值分析：本题题关键是是将155角分分成455与330的的差或者者分解成成60与455的差差，再利利用两角角差的余余弦公式式即可求求解对对于coos1005，可可进行类类似地处处理，ccos1105coos（66045）2. 已知知sinn，（，），ccos，且且是第第三象限限的角，求求coss（）的的值分析：观察察公
9、式CC与本题题已知条条件应先先计算出出coss，ccos，再代代入公式式求值求coos，ccos的值可可借助于于同角三三角函数数的平方方关系，并并注意，的的取值范范围来求求解练习1. （11）求ssin775的的值（2）求ccos775ccos1105siin755siin1005的的值（3）化简简coss（AB）ccosBBsiin（AAB）ssinBB（4）求ccos2215siin2115的的值分析：对于于（1），可可先用诱诱导公式式化siin755为ccos115，再再用例题题1中的的结果即即可对对于（22），逆逆向使用用公式CC-，即可可将原式式化为ccos330对于（33），可可以
10、把AAB角角看成一一个整体体，去替替换C-中中的角角，用BB角替换换角2. （11）求证证：coos（） siin（2）已知知sinn，且且为第第二象限限角，求求coss（）的值值（3）已知知sinn（300），6601150，求ccos分析：（11）和（差差）公式式可看成成诱导公公式的推推广，诱诱导公式式是和（差差）公式式的特例例（2）在三三角函数数求值问问题中，变变角是一一种常用用的技巧巧，（300）330，这这样可充充分利用用题中已已知的三三角函数数值3. 化简简coss（366）coos（544）sinn（366）siin（544）分析：这里里可以把把角366与54均看成成单角，进进而
11、直接接运用公公式C-，不不必将各各式展开开后再计计算分析：本题题是一道道综合题题，由于于coss（）cosscoossinnsiin，欲欲求coos（）的的值，只只须将已已知两式式平方相相加求出出cosscoossinnsiin即即可四、拓展延延伸1. 由任任意角三三角函数数定义，可可知角，的的终边与与单位圆圆交点的的坐标均均可用，的的三角函函数表示示，即角角与，两向量量的夹角角有关，那那么能否否用向量量的有关关知识来来推导公公式C-呢呢？教师引导学学生分析析：在平平面直角角坐标系系xOyy内作单单位圆OO，以OOx为始始边作角角，它们们的终边边与单位位圆的交交点为AA，B，则则（ccos，s
12、iin），（cos，sin）由向量数量量积的概概念，有有coos（）coss（）由向量的数数量积的的坐标表表示，有有cosscoossinnsiin于是，有cos（）cosscoossinnsiin依据向量数数量积的的概念，角角必须符符合，即即在此条条件下，以以上推导导才是正正确的由于，都是任任意角，也也是任意意角，因因此，须须研究为为任意角角时，以以上推导导是否正正确当为为任意角角时，由由诱导公公式总可可以找到到一个角角，0，22），使使cossccos（）若00，则cooscoss（）；若，2，则则20，且且coss（2）cossccos（）于是，对于于任意角角，都有2. 教师师提出进进一
13、步拓拓展性问问题：本本节问题题情景中中，涉及及如何用用sinn，ssin，coos，ccos来表示示sinn（）的的问题，试试探索与与研究ssin（）的的表达式式点评这篇案例设设计完整整，思路路清晰案例首首先通过过问题情情景阐述述了两角角和、差差、三角角函数公公式的产产生背景景，然后后通过组组织学生生分析，讨讨论，并并借助于于单位圆圆中的三三角函数数线对，为为锐角时时给出证证明，进进而用向向量知识识探究任任意角的的情形这些均均体现了了数学中中从特殊殊到一般般的思想想方法，符符合新课课改的基基本理念念同时时，例题题与练习习由浅入入深，完完整，全全面总之，关注注学生的的已有基基础，充充分利用用归纳、类类比等方方法激发发学生进进一步探探究的欲欲望，建建立C模模型这这种设计计思路有有利于学学生数学学思维水水平的提提高，同同时及时时巩固，应应用，拓拓展延伸伸，体现现了对传传统的中中国式数数学教学学精华的的继承如果能能在结束束时再创创设引导导学生自自我小结结、反思思的环节节，可能能会锦上上添花