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1、微积分的发展史对新课标导数教学的启示台山培英中中学 黄黄辉胜【内容摘要要】一般地地，导数概概念的起点点是极限，即即从数列数列的极极限函数的极极限导数，但但对于高中中的学生来说说，极限是是非常抽象象和不容易理解的的，而新课标导导数教学并并没有介绍绍形式化的的极限定义义，改从变化率率入手，用用形象直观观的“逼近”方法定义义导数。本本文就是从微积积分的发展展史来弄清清为什么可可以这样引引入导数的的概念。【关键词】流流数；变化率；瞬时变化化率；导数 一般地，导导数概念的的起点是极极限，即从从数列数列的极极限函数的极极限导数。这这种概念建建立方式有有严密的逻逻辑性和系系统性，但但是也产生生了一些问问题：
2、就高高中学生的的认知水平平而言，他他们很难理理解极限的的形式化定定义。由此此产生的困困难也影响响了对导数数本质的理理解。而新新课标导数数概念是怎怎样讲呢？教科书（人人教版）没没有介绍形形式化的极极限定义及及相关知识识。而是从从变化率入入手，用形形象直观的的“逼近”方法定义义导数。这这种概念建建立方式当当然就没有有严密的逻逻辑性和系系统性了，有有这种必要要吗？笔者者从微积分分的发展史史找到答案案。一、微积分分的发展史史简介众所周知，微微积分是由由伊萨克牛顿（IIsac Newtton，1164317277）与戈特特弗里威廉莱布尼茨茨（Gotttfriied WWilheelm，116461716
3、6）分别通通过研究不不同的问题题而创立的的。对牛顿顿的数学思思想影响最最深的要数数笛卡儿的的几何学学和沃利利斯的无无穷算术，正正是这两部部著作引导导牛顿走上上了创立微微积分之路路。16666年牛顿顿将其前两两年的研究究成果整理理成一篇总总结性论文文流数简简论，这这也是历史史上第一篇篇系统的微微积分文献献。在简论论中，牛顿顿以运动学学为背景提提出了微积积分的基本本问题，发发明了“正流数术术”（微分）；从确定面面积的变化化率入手通通过反微分分计算面积积，又建立立了“反流数术术”；并将面面积计算与与求切线问问题的互逆逆关系作为为一般规律律明确地揭揭示出来，将将其作为微微积分普遍遍算法的基基础论述了了
4、“微积分基基本定理”。“微积分基基本定理”也称为牛牛顿莱布尼茨茨定理，牛牛顿和莱布布尼茨各自自独立地发发现了这一一定理。而而莱布尼茨茨与牛顿的的切入点不不同，他创创立微积分分首先是出出于几何问问题的思考考，尤其是是特征三角角形的研究究。16884年，莱莱布尼茨整整理、概括括自己16673年以以来微积分分研究的成成果，在教教师学报上上发表了第第一篇微分分学论文一一种求极大大值与极小小值以及求求切线的新新方法（简简称新方方法），它它包含了微微分记号，以及函数数和、差、积积、商、乘乘幂与方根根的微分法法则，还包包含了微分分法在求极极值、拐点点以及光学学等方面的的广泛应用用。16886年，莱莱布尼茨又
5、又发表了他他的第一篇篇积分学论论文，这篇篇论文初步步论述了积积分或求积积问题与微微分或切线线问题的互互逆关系，包包含积分符符号并给出出了摆线方方程：只是莱布尼尼茨对微积积分学基础础无穷小小量上的解解释和牛顿顿一样也是是含混不清清的，这引引起了所谓谓第二次数数学危机。而为了解决这次数学危机才有极限这个概念。由此可见，传统的导数教学只是按“公理演绎法”的形式来铺陈数学，即只讲述逻辑演绎系统，亡象而存玄珠，按“公理、定义、定理、证明”四部曲，干净利落地呈现。但是，对于提问题的艺术，一个概念的形成，一个公式、定理的发现，乃至一个理论的创造与生长过程，这些更有趣部分，几乎都不谈。换言之，将完整的探索过程
6、去头砍尾，即去掉人文与历史土壤，再砍掉品味与欣赏，结果造成数学的无趣与面目可憎，迫使学生为了“分数”或“升学”而走上痛苦之“背记”道路，美其名是为了逻辑的严谨，如此所付出的代价实在太大了全盘皆输！二、新课标标导数教学学的处理反观新课标标的导数的的教学，没没有介绍形形式化的极极限定义及及相关知识识，而是从从变化率入入手，用形形象直观的的“逼近”方法定义义导数。在在一系列问问题的引导导下，学生生经历从平平均变化率率到瞬时变变化率刻画画现实问题题的过程，从从代数和几几何两个方方面理解导导数的含义义，一方面面，通过去去瞬时速度度方法而引引入导数的的概念，这这是牛顿创创立导数的的基础，另另一方面，再再讲
7、清导数数的几何意意义导数是是曲线上某某点处切线线的斜率，这是是莱布尼茨茨创立导数数基础。这样一来来，根据德德国生物学学家海克尔尔（E.HHaeckkel,1183419199）说法：“个体的发发生史重复复种系的发发生史。”类推应用用到学习上上，这意指指一个人要要学习一门门学问，重重走一趟该该门学问的的发展过程程，是比较较容易且自自然的一条条道路。其其一，体现现数学是自自然的，不不是强加给给人的这一一根本思想想，避免学学生认识水水平和知识识学习间的的矛盾；其其二，将更更多精力用用于导数本本质的理解解上；其三三，学生对对逼近思想想有了丰富富的直观理理解，很自自然使学生生想到所谓谓第二次数数学危机问
8、问题，让学学生体验历历史上发现现微积分的的过程，激激发学生学学习的兴趣趣，知道极极限概念的的必要性，有有利于在大大学的初级级阶段学习习严格的极极限定义。老实说，我们在以前的传统的教育下，在学习完微积分都感觉不到严格的极限定义的必要性，反而陷入极限定义的漩涡中，弄得晕头转向，但在新课标导数教学方法下，我们将很自然明白为什么需要这样。三、导数教教学体会 （1）由气球膨膨胀率与高高台跳水两两个例子引引入变化率率问题，进进一步引出出平均变化化率过程，使学生达到牛顿和莱布尼兹创立微积分的基础。（2）由高高台跳水的的数学模型型很自然得得出我们要要关心运动动员某一时时刻的速度度瞬时速速度，公式式定义了运运动
9、员在一一段时间内内的平均速速度，它粗粗略地描述述了这段时时间内运动动员运动的的快慢。可可以想象，如如果非常非非常小，就就可以近似似地反映tt时刻的瞬瞬时速度。一个自然的想法是，选取一个时刻，如t2秒，在具体数值计算基础上，细致地观察它附近的变化情况。确定思路后，如下表所示：0时，在在这段时间间内当时，13.0051当时，13.1149当时，13.00951当时，13.11049当时，13.0099511当时，13.1100499当时，13.00999551当时，13.11000449当时，13.009999951当时，13.110000049 计算出t2两侧各各时间段内内运动员的的平均速度度，
10、观察表表格中的两两列数值，可可以发现，当当趋近于00时，平均均速度趋向向于一个定定值，自然然地，这个个定值就是是t2秒秒时的瞬时时速度。最最后出于表表述的方便便，用简洁洁的符号表表示上述思思想，即用用“”代替“当趋近于00，趋于的定值值”。于是，tt2秒时时的瞬时速速度可以简简洁地表示示为2秒时的瞬瞬时速度133.1这一点避免免提出复杂杂的极限定定义，其实实牛顿与莱莱布尼兹时时代也是这这样来理解解啊！所以以使学生感感到非常自自然，我们们为什么讲讲导数非要要讲极限的的定义不可可呢？这是是一个从近近似到准确确，量变到到质变的过过程。（3）通过过探究1：运动员在在某一时刻刻的瞬时速速度怎样表表示？使
11、求求瞬时速度度的方法更更具一般性性。通过探探究2：函函数在处的瞬时时变化率怎怎样表示？进一步舍舍弃高台跳跳水的物理理意义，完完全抽象为为数学问题题。（4）引出出导数概念念，函数在在处的导数数就是函数数在处的瞬时时变化率。通过上面的的过程自然然建立导数数概念的过过程，学生生会对历史史上导致导导数产生的的一类问题题“根据物体体的路程关关于时间的的函数求速速度和加速速度”有更深的的体会，这这其实就是是牛顿创立立微积分一一个过程啊啊！使学生生充分感受到数数学知识的的认识掌握握是水到渠渠成的，不不是死记硬硬背的，还有哪哪种教法比比这样的教教法好啊！不过，笔者者在教学过过程中发现现，学生对对高台跳水水这个
12、例子子虽然很有有兴趣，但但学生对这这个例子感感觉还是比较难难的，容易使使学生失去去学习的兴兴趣（本校校的学生的的数学基础础比较差），大多数学生学习数学的能力都不是太强的，开始安排的例子要尽量简单，然后在后面的应用中逐渐拓展，这样符合人类认识事物的发展规律，不必一开始就这么难，笔者觉得这种现象在新课标的教材中还是比较常见的，我们数学教学目的首先不是培养数学精英，是为了使每一位学生都懂数学，也即数学大众化，可根据学生的实际作调整和补充。总之，从微微积分的发发展史可以以看出，新新课标的导导数教学的的改革体现现出数学是是自然的这这一根本思思想，体现现教材更人人性化，方方便学生掌掌握微积分分的最本质质的东西，符合人类认识事物的发展规律，同样，其他数学知识的教法也可从数学发展史去寻找，我们绝不能脱离数学发展史而去讲解数学。【参考文献献】1、吴建成成，高等数数学，高等等教育出版版社，200052、数学选选修222教师用书书，人民教教育出版社社，20005第 五 页 共 5 页