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1、抽象函数问题的处理策略霍邱一中 余其权抽象函数是指没有明确给出具体的函数表达式，只是给出一些特殊条件的函数，它是中学数学函数部分的难点.因为抽象，学生难以理解，接受困难；因为抽象，教师对教材难以处理，何时讲授，如何讲授，讲授哪些内容，采用什么方式等等，深感茫然无序.其实，大量的抽象函数都是以中学阶段所学的基本函数为背景抽象而得，解题时，若能从研究抽象函数的“背景”入手，根据题设中抽象函数的性质，通过类比、猜想出它可能为某种基本函数，常可觅得解题思路，本文就上述问题作一些探讨.1、线性函函数型抽抽象函数数f（x）kx（k0）-ff（xy）f（x）f（y）例1、已知知函数对对任意实实数x，y，均有
2、有，且当当时，求在区区间2，11上的的值域。解：设，则则，当时，即，为增函函数在条件中，令令yx，则，再再令xy0，则则，故，为为奇函数数，又，的值域为为44，2。例2、已知知函数ff（x）对任任意实数数x、y均有f（xy）22f（x）f（y），且且当x0时，f(x)22，f(3) 55，求不不等式的的解.分析：先证证明函数数f（x）在RR上是增增函数（仿仿例1）；再求出出f（1）3；最最后脱去去函数符符号.2、二次函函数型抽抽象函数数二次函数型型抽象函函数即由由二次函函数抽象象而得到到的函数数若抽象函数数满足，总总有，则则可用二二次函数数为模型型引出解解题思路路；例3、 已知实实数集上上的函
3、数数恒满足足,方程程=0有有5个实实根,则则这5个个根之和和=_分析：因为为实数集集上的函函数恒满满足,方方程=00有5个个实根，可可以将该该函数看看成是类类似于二二次函数数为模型型引出解解题思路路，即函函数的对对称轴是是，并且且函数在在，其余余的四个个实数根根关于对对称，解：因为实实数集上上的函数数恒满足足,方程程=0有有5个实实根，所所以函数数关于直直线对称称，所以以方程的的五个实实数根也也关于直直线对称称，其中中有一个个实数根根为2，其其它四个个实数根根位于直直线两侧侧，关于于直线对对称，则则这5个个根之和和为1003、指数函函数型的的抽象函函数f（x）ax-f（xy）f（x）f（y）；
4、f（xy）例4、设ff (x)是定定义在RR上的偶偶函数。其其图象关关于直线线yx对称，对对任意xx1，x2，都有有f (x1x2)f (x1)f (x2)，且且f (1)a0 ()求及； ()证明明f (x)是周周期函数数； ()记，求求 ()解解：可以以考虑指指数函数数的模型型指导解解题的思思路，例例如运用用函数由知：0，x0，11 ，f (11)aa0，()证明明：依题题设yf (x)关于于直线xx1对对称，故f (xx)f (111x)，即即f (x)f (22x)，xR又由f (x)是偶偶函数知知f (x)f (x)，xR将上式中x以x代换，得得f (x)f (x2)，xR这表明f
5、(x)是R上的周周期函数数，且22是它的的一个周周期()解：由()知f (x)00，x0，11f (xx)的一一个周期期是2，因此例5、设函函数f(x)的的定义域域为R，对于于任意实实数m、n，总有有，且时。（1）证证明：ff(0)=1，且且x11；（2）证明明：f(x)在在R 上单单调递减减；（ 3 ）设设，若，确确定a 的范围围。（1）证明明：令，已知时，设，即当x11（2），则则f(x)在在R 上单单调递减减。（3）f(x)在在R上单调调递减（单位圆内内部分）（一条直线线）例6定义义在R上上的函数数满足：对任意意实数，总总有，且且当时，（1）试求求的值；（2）判断断的单调调性并证证明你的
6、的结论；（3）设，若，试确确定的取取值范围围（4）试举举出一个个满足条条件的函函数解：（1）在在中，令得：因为，所以以，（2）要判判断的单单调性，可可任取，且且设在已知条件件中，若若取，则则已知条条件可化化为：由于，所以以为比较的大大小，只只需考虑虑的正负负即可在中，令，则得得时， 当时，又，所以，综综上，可可知，对对于任意意，均有有函数在RR上单调调递减（3）首先先利用的的单调性性，将有有关函数数值的不不等式转转化为不不含的式式子，即由，所以，直直线与圆圆面无公公共点所以，解得：（4）如点评：根据据题意，将将一般问问题特殊殊化，也也即选取取适当的的特值（如如本题中中令；以以及等）是是解决有有
7、关抽象象函数问问题的非非常重要要的手段段；另外外，如果果能找到到一个适适合题目目条件的的函数4、对数函函数型的的抽象函函数f（x）loggax（a0且且a1）-f（xy）f（x）f（y）；f（） f（x）f（y）例7、已知知函数满满足定义义域在上上的函数数，对于于任意的的，都有有，当且且仅当时时，成立立，（1）设，求求证；（2）设，若若，试比比较与的大小小；（3）解关关于的不不等式分析：本题题是以对对数函数数为模型型的抽象象函数，可可以参考考对数函函数的基基本性质质解题证明：（11），（2），即当且仅当当时，成立立，当时，（3）令代代入得，关于的不不等式为为，由（22）可知知函数在在定义域域上
8、是减减函数，由得，当时，此时成立；当时，此时成立；当，此时成立。练习：1、函数ff(x)的定义义域为，对对任意正正实数xx,y都都有f(xy)= ff(x)+f(y) 且f(4)=2 ，则（）2、函数ff(x)的定义义域为RR上的偶偶函数，对对都有成立立，若，则则=（ ） （BB） A）220055 B）2 C）1 D）03、定义在在R上的的函数YY=f(x)有有反函数数Y=f-1(xx)，又又Y=f(x)过过点（2，1），Y=f(2x)的反函数为Y=f-1(2x)，则Y=f-1(16)为（ ）（A）A）B）CC）8 D）116总之，因为为抽象函函数与函函数的单单调性、奇奇偶性等等众多性性质联系系紧密，加加上本身身的抽象象性、多多变性，所所以问题题类型众众多，解解题方法法复杂多多变.尽尽管如此此，以特特殊模型型代替抽抽象函数数帮助解解题或理理解题意意，是一一种行之之有效的的教学方方法，它它能解决决中学数数学中大大多数抽抽象函数数问题.这样做做符合学学生的年年龄特征征和认知知水平，学学生不仅仅便于理理解和接接受，感感到实在在可靠，而而且能使使学生展展开丰富富的想象象，以解解决另外外的抽象象函数问问题.