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1、2008年元济中学高一数学竞赛选拔赛试题班级姓名得分一、 选择题（每小题只有一个正确选项）1化简得得（ ）(A)(BB)(C)(D)2已知集集合，则则下列正正确的是是（ ）(A)(BB)(C)(DD)3当时，则则下列大大小关系系正确的的是（ ）(A)(BB)(C)(DD)4设圆的的方程为为，直线线的方程程为 ()，圆圆被直线线截得的的弦长等等于 ( )(A) (BB) (C) (D) 与有有关 5函数是是( )(A) 周周期为的的偶函数数 (B) 周期期为的奇奇函数(C) 周周期为的的偶函数数 (D) 周期期为的奇奇函数 6设函数数的定义义域为，的解集集为，的解集集为，则下列列结论正正确的是是
2、（）(A) (B) (C) (D) 7已知为为三条不不同的直直线，且且平面，平面，(1)若若与是异面面直线，则则至少与与、中的一一条相交交；(2)若若不垂直直于，则则与一定不不垂直；(3)若若，则必必有；(4)若若，则必必有其中正确的的命题的的个数是是( )(A) (BB) (CC) (DD) 8函数对对于任意意的恒有有意义，则则实数的的取值范范围是 ( )(A) 且且 (B) 且(C) 且且 (D) 二、填空题题9已知，则则10已知知A、BB是半径径为5的的圆O上上的两个个定点，PP是圆OO上的一一个动点点，若AAB=66，设PPA+PPB的最最大值为为，最小小值为，则则的值为为11已知知全
3、集UU=，集集合M=，集合合N=，则则集合=12高一一年级某某班的部部分同学学参加环环保公益益活动-收收集废旧旧电池，其其中甲组组同学平平均每人人收集117个，已已组同学学平均每每人收集集20个个，丙组组同学平平均每人人收集221个若这三三个小组组共收集集了2333个废废旧电池池，则这这三个小小组共有有个学生生13代数数式的最最小值为为14设55长方体体的一个个表面展展开图的的周长为为，则的最最小值 是15定义义在上的的函数满满足：，则则16已知知函数，若若，则实实数组成成的集合合的元素素个数为为.17已知知关于的的方程（）无实实根，则则的取值值范围是是.18关于于的不等等式的解解集为，集集合
4、，若若，则实实数的取取值范围围是.三解答题题（解答答应有必必要文字字说明和和演算步步骤）19 圆圆的方程程是，点点是圆上一一个动点点，点是是关于点点的对称称点，点点绕圆心心按逆时时针方向向旋转后后所得的的点为，求求当点在在圆上移移动时，点点、之间距距离的最最大值和和最小值值20已知知BCDD中，BCDD=900，BC=CD=11，ABB平面BCCD，ADB=60，E、FF分别是是AC、AAD上的的动点，且且（）求求证：不不论为何值值，总有有平面BBEF平面ABBC；（）当当为何值值时，平平面BEEF平面ACCD？21设函函数的定定义域是是，且对对任意都都有若对常数，判断断在上的单单调性；22.
5、已知知定义域域为的函函数同时时满足以以下三个个条件：1 对对任意的的，总有有；2；3若，且，则则有成立立，并且称为“友谊函函数”，请解解答下列列各题：(1)若已已知为“友谊函函数”，求的值值；(2)函数数在区间间上是否否为“友谊函函数”？并给给出理由由.(3)已知知为“友谊函函数”，假定存存在，使使得且，求证：.参考答案一、选择题题：AAACABBDCBB二、 填空题90得得 而10 11112设甲甲、已、丙丙三个组组的人数数分别为为则有，故2333=，同理，均为整数数，则或或，检验的方方可13数型型结合得得14长方方体的展展开图的的周长为为，由排排序或观观察得： 周长的最最小值为为15 7
6、16 55 117. (-22,2) 18.三、解答题题19解：设，设圆圆的参数数方程为为，则，点是关于点点的对称称点，当=1时时，有最最大值|；当时，|有最小小值20证明明：（）AB平面BCCD，ABCD，CDBBC且ABBC=B，CD平面ABBC.又不论为为何值，恒恒有EFFCD，EF平面ABBC，EF平面面BEFF,不论为为何值恒恒有平面面BEFF平面ABBC. （）由（）知，BBEEF，又又平面BBEF平面ACCD，BE平平面ACCD，BEAC.BC=CCD=11，BCDD=900，ADBB=600，由AB2=AEAC 得故当时，平平面BEEF平面ACCD.21解：(1)对任意意，由，存存在使得得且，又，在上是增增函数22.解：（1）取取得，又由由，得（2）显然然在上满足足1；22.若若，且，则则有故满足条件件1、22、3，所所以为友友谊函数数.(3)由 3知任给给其中，且且有，不不妨设则必有：所所以：所以：.依依题意必必有,下面用反证证法证明明：假设设，则有有或(1) 若，则，这这与矛盾盾；(2) 若，则，这这与矛盾盾； 故由上上述（11）、（22）证明明知假设设不成立立，则必必有，证证毕.