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1、用于约束多目标优化问题的双群体差分进化算法孟红云1 张小华华2 刘三三阳1(1.西安安电子科技技大学 应用数学学系，西安安，7100071；2.西安电电子科技大大学 智能信息息处理研究究所，西安安，7100071)摘 要：首先给出出一种改进进的差分进进化算法，然然后提出一一种基于双双群体搜索索机制的求求解约束多多目标优化化问题的差分进化化算法该算法同时使使用两个群群体，其中中一个用于于保存搜索索过程中找找到的可行行解，另一一个用于记记录在搜索索过程中得得到的部分分具有某些些优良特性性的不可行行解，避免免了构造罚罚函数和直直接删除不不可行解此外，将将本文算法法、NSGAA-和SPEEA的时间间复
2、杂度进进行比较表表明，NSGAA-最优，本文文算法与SSPEA相相当.对经典测测试函数的的仿真结果表明，与NSGGA-相比较，本本文算法在在均匀性及及逼近性方方面均具有一定定的优势.关键字： 差分进化化算法；约束束优化问题题；多目标标优化问题题； 中图分类号号：TP1181 引言达尔文的自自然选择机机理和个体体的学习能能力推动进进化算法的的出现和发发展，用进进化算法求求解优化问问题已成为为一个研究究的热点1-3但目前前研究最多多的却是无无约束优化化问题然然而，在科科学研究和和工程实践践中，许多多实际问题题最终都归归结为求解解一个带有有约束条件件的函数优优化问题，因因此研究基基于进化算算法求解约
3、约束优化问问题是非常常有必要的的不失一一般性，以以最小化问问题为例，约约束优化问问题（Consstraiined Opptimiizatiion PProbllem，）可定义如如下： （1）其中为目标标函数，称称为约束条条件，称为为维决策向向量将满满足所有约约束条件的的解空间称称为(1)的可行域域特别的的，当时，(1)为单目标标优化问题题；当时，（11）为多目目标优化问问题为第第个不等式约束，是第第个等式约约束另一一方面，对对于等式约约束可通过过容许误差差（也称容容忍度）将将它转化为为两个不等等式约束： （2）故在以后讨讨论问题时时，仅考虑带不不等式约束束的优化问问题进一一步，如果果使得不等等
4、式约束，则则称约束在在处是积极极的在搜搜索空间中中，满足约约束条件的的决策变量量称为可行行解，否则则称为不可可行解定义1（全全局最优解解）是的全局最最优解，是是指且不劣于可可行域内任任意解所对对应的目标标函数，表表示为 对于单目目标优化问问题，等价价为，而对对于多目标标优化问题题是指不存存在，使得得Pareeto优于于 目前，进化化算法用于于无约束优优化问题的的文献居多多，与之比较较，对约束束优化问题题的研究相对对较少4-6。文7对当前基基于进化算算法的各种种约束处理理方法进行行了较为详详细的综述述.对于约束束优化问题题的约束处处理方法基基本上分为为两类：基基于罚函数数的约束处处理技术和和基于
5、多目目标优化技技术的约束束处理技术术由于罚罚函数法在在使用中不不需要约束束函数和目标标函数的解解析性质，因因此经常被被应用于约约束优化问问题，但该类方法对罚罚因子有很很强的依赖赖性，需要要根据具体体问题平衡衡罚函数与与目标函数数为了避免免复杂罚函函数的构造造，Verrdegaay等8将进化算算法中的竞竞争选择用用于约束处处理，并在比较两两个解的性性能时提出出了三个准准则,但他他的第三个个准则可行解优优于不可行行解这一准则则合理性不不强 .然而该文的的这一准则却为进化算算法求解约约束优化问问题提供了了新思路，获获得了良好好效果.因为在现实实中存在一一大类约束束优化问题题，其最优优解位于约约束边界
6、上上或附近，对对于这类问问题，在最最优解附近近的不可行行解的适应应值很可能能优于位于于可行域内内部的大部部分可行解解的适应值值，因此无无论从适应应值本身还还是从最优优解的相对对位置考虑虑，这样的的不可行解解对找到最最优解都是是很有帮助助的，故如如何有效利利用搜索过过程中的部部分具有较较好性质的的不可行解解是解决此此类问题的的难点之一一基于以以上考虑，本本文拟给出一种种求解约束多目标标优化问题题的基于双双群体机制制的差分进进化算法，并并对文中算算法的时间间复杂度与与NSGAA-9和SSPEA10进进行比较，最最后用实验验仿真说明明文中算法法的可行性性及有效性性2 用于约约束优化的的双群体差差分进
7、化算算法2.1 差差分进化算算法差分进化算算法是一类类简单而有有效的进化化算法，已已被成功应应用于求解解无约束单单目标和多多目标优化化问题 11-14该算法法在整个运运行过程中中保持群体体的规模不不变，它也也有类似于于遗传算法法的变异、交交叉和选择择等操作，其其中变异操操作定义如如下： (3)其中,为从从进化群体体中随机选选取的互不不相同的三三个个体，为位于区间中的参数(3)式表示从种群中随机取出的两个个体的差，经参数放大或缩小后被加到第三个个体上，以构成新的个体为了增加群体的多样性，交叉操作被引入差分进化算法，具体操作如下：针对父代个个体的每一一分量，产产生位于区区间中的随随机数，根根据与参
8、数数的大小关关系确定是是否用替换换，以得到新的的个体，其中如果果新个体优优于父代个体，则用用来替换，否否则保持不不变在差分进进化算法中中，选择操操作采取的的是贪婪策策略，即只只有当产生生的子代个个体优于父父代个体时时才被保留留，否则，父代个体体被保留至至下一代 大大量研究与与实验发现现差分进化化算法在维维护群体的的多样性及及搜索能力力方面功能能较强，但但收敛速度度相对较慢慢，因此本本文拟给出一种种改进的差差分进化算算法用于多多目标优化化问题，仿真实验表明，改改进的差分分进化算法法在不破坏坏原有算法法维护群体体多样性的的前提下，可可改善差分分进化算法法的收敛速速度2.2 基基于双群体体的差分进进
9、化算法2.2.11 基本概念念以下仅讨论论带不等式式约束的多多目标优化化问题 （4）定义2.11 称为（4）的不不可行解，是是指至少存存在一个，满满足定义2.22 违反约束束的强度，即即约束违反反度函数定定义为，本本文取定义2.33 违反约束束的数目，其其中定义2.44 不可行解解优于不可可行解，是是指的约束束向量Paaretoo优于的约约束向量2.2.22 基本思想想由上一节分分析可知，在在搜索过程程中遇到的的不可行解解不能简单单丢掉因因此，在设设计算法时时不但要考考虑算法的的收敛速度度，而且还还必须保证证群体中可可行解的优优势地位；另一方面面，对于多多目标优化化问题，维维持搜索群群体的多样
10、样性与考虑虑群体的收收敛速度是是同等重要要的基于于此考虑，本本节采用基基于双群体体的差分进进化算法求求解约束多目标标优化问题题，其中群群体用来保保存搜索过过程中遇到到的可行解解，用来保保存搜索过过程中遇到到的占优不不可行解，同同时具有较较强的记忆忆功能，可可记忆中每每一个体搜搜索到的最最优可行解解和整个群群体到目前前为止搜索索到的最优优可行解，分分别记为和和，其中表示示个体对自自身的思考考和认知，表示个体间的信息交流，这一点和PSO算法类似与此同时，我们还通过一种改进的差分进化算法产生新的群体，在产生新群体的过程中，群体中的部分个体参与了个体再生，并通过新生成的个体更新、和为了避免性性能较优的
11、的不可行解解被删除，本本文拟采用双群体体搜索机制制，其中群体用于记录可可行解，群群体 记录不可可行解，分分别为群体体与的规模，满满足，和分别为群群体中每一一个个体搜搜索到最优优可行解和和群体迄今今为止搜索索到最优可可行解2.2.33 改进的差分分进化算法法为了维护群群体的多样样性和收敛敛性，同时时有效的利利用已搜索索到的不可可行解的某某些优良特特性，下面面给出一种种改进的差差分进化算算法，并通通过以下两两种方式产产生新的个个体方法1： 其中，方法2：其中，方法1的目目的在于通通过向最优优个体学习习，改善算算法的收敛敛速度方方法2的主主要目的在在于和不可可行个体进进行信息交交流，共享享不可行解解
12、的一些优优良特性，增加群体的多样性在具体操作过程中，首先用改进的差分进化算法产生新的个体，然后针对父代个体的每一个分量，产生位于区间中的随机数，根据与参数的大小关系确定是否用来替换，得到新的个体如果是可行行解，而且且的规模小小于给定规规模，则可可直接将插插入；如果果插入后的的群体的规规模大于给给定规模，首首先两两比比较中的个个体，如果果存在两个个个体，满满足Parreto优优于，则将将个体删除除，如果不不存在，也也就是说集集合中任意意两个个体体所对应的的目标向量量都不可比比较，则计计算中任意意两个个体体间的距离离，随机删删除距离最最小的两个个个体中的的一个如果是不可可行解，而而且的规模模小于给
13、定定规模，则则可直接将将插入群体体中；如果果等于给定定规模阈值值，计算插插入后的群群体中任意意两个个体体的约束向向量，如果果存在两个个个体，满满足约束向向量Parreto优优于约束向向量，则删删除；如果果不存在，则则删除满足足的个体经过以上操操作，群体体和的规模不不会大于给给定规模阈阈值最后后利用新生生成的群体体更新最优优个体集合合和，群体的更更新方法和和SPEAA算法中外外部群体的的更新方法法相同，而而的更新方方法如下：如果新生生成的可行行解Parreto优优于对应的的局部最优优解，则用用替换，否则则不予替换换2.3算法法的基本流流程综上所述，基基于双群体体的差分进进化算法的的约束处理理技术
14、的流流程可表示示如下：step1. 随机生成个个个体，判判断每一个个体的可行行性，然后后根据个体体可行性将其插入入到对应的的群体或中；并初初始化和及参数和step2. 判断搜索是是否结束，如如果结束，转转向steep5，否则转转向steep3.step3. 生成随机数数，如果，根根据方法11，生成新新的个体；否则，根根据方法22生成新的个个体，如果果是可行解解，将插入入到中；否否则插入到到中，反复复执行直到到生成个可行解step4. 根据新生成成的群体更更新最优个个体集和，转向step22step55. 输出最优优解集3 算法分分析3.1 算算法的性能能衡量约束优化问问题的算法性能能的衡量可可
15、分为两部部分，一部部分为最终终获得的最最优解的性性能的衡量量，如通过过GD15来度量最最优群体的的逼近性，SP16来衡量最优解的分布均匀性，或通过计算目标函数的次数衡量算法的复杂度和算法的收敛速度另一部分是针对约束优化问题来衡量群体的多样性，Koziel & Michalewicz17给出一种多样性度量准则，其定义如下： （5） 其中表示每每一次搜索索过程中生生成的可行行解的数目目，为所生生成的所有有个体的数数目相应应地，为了了衡量群体体中的不可可行解违反反约束的强强度，可采采用约束违违反度函数数的均值来来度量： （6）其中表示集集合所包含含元素的数数目然而而在实际问问题中，决决策者往往往只对
16、某一一范围的最最优解感兴兴趣，故下下边只评价价本文算法法对标准测试函函数最终获获得的最优优解集的逼逼近性与均均匀性，并并与NSGGA-进行比较较3.2 算算法的时间间复杂性分分析我们仅考虑虑种群规模模对算法时时间复杂度度的影响，设设可行群体体的规模为为，不可行行群体的规规模为，群群体的规模模为，群体体的最大规规模为，则则文中算法迭迭代一次的的时间复杂杂度可计算算如下：算算法中重组组和变异操操作的时间间复杂度为为；判断进进化群体中中个体可行行性所需时时间复杂度度为；更新群群体、和的时间复复杂度分别别为、和；计算群体体和的适应度度所需时间间复杂度为为；用于更新最优群群体的时间间复杂度最最差为；保持
17、最优优群体和进化化群体多样样性的时间复杂杂度最差为为； 则算法迭代代一次所需需的时间复复杂度最差差为+ （77）上述复杂度度可简化为为 （88）设为所有种种群的规模模，令，则则本文算法法的时间复复杂度 （99）NSGA- 9和SPEEA 10是多目目标进化算算中两个最最具有代表表性的优秀秀算法，这两个算算法的时间间复杂度最最差分别为为和，其中分别别为进化种群规规模和外部部种群集的的规模因而，SSPEA和和本文算法法的时间复复杂度最差差为，这比比NSGAA-的时间复复杂度稍高高一些，但但接下来的的实验结果果告诉我们们，本文算算法的均匀匀性及逼近近性却明显显优于NSSGA-事实上，SSPEA和和本
18、文算法法的时间复复杂度主要要用于环境境选择（EEnvirronmeentall sellectiion）上上，如果文文中对采取取NSGAA-中的多样样性保持策策略，则本本文算法的的复杂度将将降至4 实验结结果与分析析（1） 测测试函数与与参数设置置为了验证本本文给出算法法的可行性性，我们采采用Debb18建议的用用来测试约约束多目标标优化算法法性能的四四个常见的的测试函数数来检验本本文算法的的性能可可行解集合合的规模，不不可行解集集合的规模模初始化化时，随机机生成个体体的数目，参参数，为位于区区间中的一一致随机数数Debb给出的测测试函数可可用统一的的解析表示示，即其中， 测测试函数选选取不同
19、的的参数时，所所构造的测测试函数性性质不同，可可行解和不不可行解的的分布也不不同，最终终导致全局局Pareeto最优优解集的不不同其中中通过控制制参数的大大小，可以以控制Paaretoo前端不连连续的段数数，越大段段数越多；而较小参参数可以使使得每一不不连续Paaretoo前端仅包包含一个PParetto点；参参数调节连连续可行域域到Parreto前前端的点的的距离，越越大距离越越远，其作作用在于调调节问题求求解的难度度；参数的的作用在于于改变分段段Pareeto前端端之间的分分布特性，当当=1时，PParetto前端为为均匀分布布；当时， Pareeto前端端向较大的的方向移动动；当时，则则
20、Pareeto前端端向较大的的方向移动动基于以以上分析我我们选取不不同的参数数构造4个个常用的测测试函数检检验本节算算法的性能能，这些测测试函数的的参数取值值具体如下下图4.1测测试函数 CTP11在目标空空间示意图图 图图4.2测试试函数CTTP2在目目标空间示示意图图4.3测测试函数 CTP33在目标空空间示意图图 图4.4测试试函数CTTP4在目目标空间示示意图测试函数CCTP1：，可行解解、不可行行解、全局局Pareeto前端端分布如图图4.1所示示测试函数CCTP2： ，可行解解、不可行行解、全局局Pareeto前端端分布如图图4.2所示示测试函数CCTP3：，可行解解、不可行行解、
21、全局局Pareeto前端端分布如图图4.3所示示测试函数CCTP4：，可行解解、不可行行解、全局局Pareeto前端端分布如图图4.4所示示（2）实验验结果与分分析在相同的测测试函数和和目标函数数计算次数数下，将本本文算法和和经典的NNSGA-II算法法进行比较较，并将各自算法法独立运行行30次，然然后统计两两种算法所所得Parreto最最优解集的的均匀性（Spacing，SP）与逼近性（Generational distance, GD）的最好、最差、均值、方差和中间值，以此作为衡量算法性能的标准由于真实Pareto最优集是未知的，故我们将两种算法所得的60个近似Pareto最优解集之并集的
22、Pareto滤集作为真实Pareto最优解集的逼近，其中测试函数CTP1，CTP2，CTP3的函数值计算次数为10200，而CTP4的函数值计算次数为610014这里，集合的Pareto滤集定义为. 图4.5、4.6、4.7、4.8为从30次运行中随机选择的一次运行结果，从实验曲线可以看到本文算法求出的Pareto Front在逼近性方面要优于NSGA-II图4.5测测试函数CCTP1的的Pareeto FFrontt 图 4.6 测试试函数CTTP2的Pareeto FFrontt 图4.7测测试函数CCTP3的的Pareeto FFrontt 图4.8测试函函数CTPP4的Pareeto
23、FFrontt为了进一步步定量的评评价两种算算法的逼近近性与均匀匀性，表4.1，4.2，4.3，4.4给出了了两种算法对上述述四个测试试函数的SSP，GDD的统计结结果，从表表中数据容容易看出，在在解集的逼近近性和均匀匀性方面本本文算法对对四个测试试函数的标标准方差都都明显小于经典的的NSGAA-II算算法，这说说表4.1 测试函数数CTP11评价准则则的统计结结果bestworsttavgmediaanStd.DDev.SPNSGA-II0.428850.717790. 577490.569940.18442Propoosed0.518870.613380. 577050.568840.10
24、443GDNSGA-II0.000050.002210. 000170.001150.00113Propoosed9.8211e-0555.3677e-0442.06225e-00042.6366e-040.00003表4.2 测试函数数CTP22评价准则则的统计结结果bestworsttavgmediaanStd.DDev.SPNSGA-II0.327750.412210. 399240.373320.21557Propoosed0.268890.335510.296650.297740.08113GDNSGA-II0.000080.001170.00110.001130.00111Prop
25、oosed1.5477e-0551.7844e-0442.3066e-78.0333e-0550.00001表4.3 测试函数数CTP33评价准则则的统计结结果bestworsttavgmediaanStd.DDev.SPNSGA-II0.521190.745510.369990.379910.23112Propoosed0.518870.613380.296650.283340.18113GDNSGA-II0.000050.002210.001120.001130.00113Propoosed9.8211e-0555.3677e-0448.03225e-00052.6366e-040.000
26、02表4.4 测试函数数CTP44评价准则则的统计结结果bestworsttavgmediaanStd.DDev.SPNSGA-II0.275530.563340.349900.357760.12778Propoosed0.224450.528860.342260.338810.11338GDNSGA-II0.001110.003360.002230.002230.00330Propoosed1.32332e-883.3711e-74.64552e-885.1733e-80.00001明本文的算算法性能更更稳定另一方面面，上述定定量的度量量结果也表明在搜索索过程中适适当的运用用性能较优优的不可
27、行行解的信息息不仅有助助于保持群群体的多样样性，而且且增强了算算法的搜索索功能，并并在一定程程度上起到到了维持解解集的均匀匀性的作用用5 结论本文借助粒粒子群算法法的基本思思想给出了了一种改进进的差分进进化算法，在适当的利用部分优良不可行个体的基础上，提出了用于约束多目标优化问题的双群体差分进化算法该算法中的两个群体分别用于记录进化过程中的可行解及部分性能较优的不可行解，其优点在于可以充分利用每次迭代产生的子代个体的信息此外，还对文中算法的时间复杂度与NSGA-和SPEA进行比较.经典测试函数的数值仿真结果表明，本文算法无论在解集的逼近性及均匀性方面都优于NSGA-II算法，这表明文中提出的基
28、于双群体的差分进化算法可用于求解带约束的多目标优化问题方面有一定的优势正如“没有有免费的午午餐定理”19所指出的，任何一一种算法不不可能在所所有的性能能方面占尽尽优势，虽虽然本文算算法在求解解约束多目标标优化问题题方面具有有一定的优优势，但计计算量要稍稍高于NSSGA-II。接下下来我们的的研究将致致力于如何降低低算法的时时间复杂度度及本文算算法的实际应用。参考文献1. Mitsuuo Geen annd Ruunweii Cheeng, Geneetic algoorithhms & Enggineeeringg Dessign. Johhn Wiiley & Soons, Inc, New
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