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1、抛物线焦点性质的探索（说课）高中新教材材（试验修修订本必修）数数学第二册册（上）抛抛物线的习习题课1 教材分析1、1 教材的地地位与作用用“抛物线焦焦点的性质质”是抛物线线的重要性性质之一，它它是在学生生学习抛物物线的一般般性质的基基础上，学学习和研究究的抛物线线有关问题题的基本工工具之一；本节教材材对于培养养学生观察察、猜想、概概括能力和和逻辑推理理能力具有有重要的意意义。1、2 教学目的全日制普通通高级中学学数学教教学大纲第第22页“重视现代代教育技术术的运用”中明确提提出：在数数学教学过过程中，应应有意识地地利用计算算机网络等等现代信息息技术，认认识计算机机的智能图图形、快速速计算、机机
2、器证明、自自动求解及及人机交互互等功能在在数学教学学中的巨大大潜力，努努力探索在在现代信息息技术支持持下的教学学方法、教教学模式。设设计和组织织能吸引学学生积极参参与的数学学活动，支支持和鼓励励学生运用用信息技术术学习数学学、开展课课题研究，改改进学习方方式，提高高学生的自自主学习能能力和创新新意识。因因此本人在在现行高中中新教材（试试验修订本本必修）数数学第二册册（上）抛抛物线这一一节内容为为背景材料料，以多媒媒体网络教教室为场地地，以几几何画板为为教学工具具与学习工工具，设计计了一堂抛抛物线焦点点性质的探探索，具具体目标如如下：（1） 知识目标：了解焦点点的有关性性质；并掌掌握这些性性质的
3、证明明方法；体体会数形结结合思想与与分类讨论论思想在解解决解析几几何题中的的指导作用用（2） 能力目标：使学生学学会研究数数学问题的的基本过程程，能够根根据条件建建立恰当的的数学模型型；培养辩辩证唯物主主义思想和和辩证思维维能力（主主要包括量量变与质变变，常量与与变量，运运动与静止止）培养学学生通过计计算机来自自主学习的的能力与创创新的能力力。（3） 情感目标：培养学生生不畏困难难，勇于钻钻研、探索索、大胆创创新的精神神，在挫折折中成长锻锻炼，培养养学生良好好的心理素素质和抗挫挫折能力，通通过抛物线线焦点性质质的探索及及证明，使使学生得到数学学美和创造造美的享受受。1、3 教学内容、重重点、难
4、点点及关键本节安排两两节课，第第一节课：主要内容容是利用几几何画板探索抛物线的有关性质；第二节课：证明第一节所得到的有关性质。重点：（11）如何利利用几何何画板探探索、发现现抛物线焦焦点的性质；（22）如何证证明这些性性质。难点；（11）如何利利用几何何画板探探索、发现现抛物线焦焦点的性质质；（2）如如何证明这这些性质。2 教学学策略及教教法设计学生在网络络教室（每每人一机），其中装有几何画板软件及上课系统，每个学生的窗口，其他学生及教师都可以通过教师机切换，从而和其他学生交流，也可以通过网上论坛交流研究结果。3 网络络教学环境境设计学生在网络络教室（每每人一机）中中有几何画画板软件，学学生通
5、过教教师提供的的网络课件件，自已阅阅读，下载载有关课件件，利用几几何画板的操作、试验、猜想，通过自已的研究获得结论，并互相讨论观察到的现象、交流研究结果。4 教教学过程设设计41 使学生学学会研究数数学问题的的基本过程程，能够根根据条件建建立恰当的的数学模型型 问题题1 回顾顾一下抛物物线的定义义，并根据据抛物线的的定义思考考用几何何画板如如何作出焦焦点在x轴轴上的抛物物线图象。由于创设了了一个创作作的几何何画板的的窗口及网络络窗口，学生通过过网络学习习，得到以以上问题的多种作法法，以下就就其中的一一种作法作作为探索、研研究抛物线线焦点性质质的基本图图形。具体体作法如下下：（1）在xx轴上任取
6、取一点，标标记为F（作作为焦点）（2）作出出点F关于于y轴的对对称点，并并过作x轴轴的垂线，标记为（作作为准线）（3）在上上任取一点点E，过点点E作的垂垂线；（4）连结结EF，并并作线段EEF的中垂垂线与相交交于点A；（5）生成成点A的轨轨迹（即抛抛物线的图图象如右图图）（说明：将将以上创作作的作品，以以下记作学学件1-学学生制作的的课件）-设置意图：以上过程程通过创设设了学生学学习与创作作的几何何画板窗窗口与网络络窗口，在在几何画画板这个个窗口中学学生轻易地地建立了一一个研究数数学问题的的几何模型型，培养了了学生的动动手能力，激激法了学生生学习的兴兴趣，吸引引学生积极极参与数学学活动。42
7、利用几几何画板作作图的特点点，培养学生生试验、猜猜想的合理理思维能力力 在完成成学件1的的基础上，根根据几何何画板不不能直接作作出直线与与轨迹的交交点的前提提下，提出以下下问题。（请请下载课件件2-教师自自制课件，研研究问题22） 问题题2 设设点A是抛抛物线上任任一点，请请作出过焦焦点F的弦弦AB与抛抛物线的另另一个交点点B。 师师：当ABB垂直于xx轴时。点点B可能有有哪些特征征？能否应应用它来解解决这个问问题？生1：当AAB为通径径时，发现现点A与点点B和它们们在准线上上的射影、组成一个个矩形且原原点O是对对称中心，所所以先作出出点A在准准线上的射射影，然后后作出点关关于x轴的的对称点，
8、再再过点作准准线的垂线线与抛物线线的交点BB。 （具具体操作由由学生通过过几何画画板的作作图功能来来实现）师：请拖动动点A在抛抛物线上运运动来验证证一下，是是否成立，发发现不成功功。生2：当AAB为通径径时，发现现点A在准准线上的射射影、O、BB三点在一一直线上，因因此只要作作出直线与与直线ABB的交点，师：拖动点点A在抛物物线上运动动来验证一一下，结果果成功了。 设设置意图： 从以上上的探索过过程让学生体会会到数学知知识发现的的一般过程程：“数学事实实首先是被被猜想，然然后是被证证实”，即数学学知识的发发现是在不不断的合情情猜想下，借借助数学软软件自已独独立验证或或否定猜想想，最后再再给出严
9、格格的证明。猜猜想正是数数学发现与与创造的第第一步，这这一教学流流程中数学学软件不仅仅成为教师师的教学习习工具，又又成为学生生学习的工工具，并且且让学生感感到探索的的无限乐趣趣，由此可可见几何何画板为为学生探索索、研究数数学知识提提供了一片片广阔的天天空，为培培养学生合合理思维能能力创造一一个理想的的窗口。43 利用几何何画板探探索创造性性的解题方方法，培养养学生的创创新能力 问题题3 ：（1）抛抛物线上离离焦点最近的点是 。 （2）抛抛物线上离离点H（aa，0）最最近的点恰恰好是顶点点O的a的的范围？ （请下下载课件33-教师自制制课件，研研究问题33） 教师启发发：当点HH（a，00）在x
10、轴轴的负半轴轴上时，满满足条件；当点H（aa，0）在在x的正半半轴上离焦焦点较远时时，明显发发现不是顶顶点O离点点H（a，00）最近。在在存在与不不存在之间间必存在一一个临界点点，请同学学探索出这这个临界点点的位置？学生1：设设抛物线上上任一点，作作出线段AAH，并用用几何画画板中度度量功能度度量出线段段AH的长长，同时度度量出线段段OH的长长，将线段段AH的长长与线段OOH的长作作差的，并并拖动点AA在抛物线线上滑动，观观察差的值值均大于等等于0的点点H是满足足条件的点点，然后不不断地调整整点H在xx轴上的位位置，最后后发现当点HH在x正半半轴上离原原点的距离离正好是11的点是临临界点。教师
11、：从以以上的探索索过程，你你能归纳出出其中所隐隐含的数学方法法吗？学生2：从从以上的操操作过程得得数量关系系：（当且且仅当点AA与点O重重合取到“=”），即（当且仅仅当x=00取到最小小值a）。进一一步得以下下解法：解：， 即 又又因为 ， 所以，若若，即，当时，即 若，即即，当时， 若，即，当当时， 故a的范范围为教师：是否否还有其它它的解决方方法？（几几分钟后）学生3：（如如右图学件件2-学生制制作的课件件）以点H为为圆心，|OH|长长为半径作作圆H，拖拖动点H在在x轴上滑滑动，使得得抛物线全全在圆H以以外的点HH的范围即即为所求。教师：谁能能从中归纳纳出解题方方法？数分分种后，没没有人能
12、解解决。 教师：从以以上的操作作过程得位位置关系：抛物线上上的点均在在圆H以外外，转化为为数量关系系：对于抛抛物线上任任一点A都都成立，即即对于抛物物线上任一一点A都成成立。又因因为，所以以在上恒成立立。即在上恒成立立，所以在在上恒成立立，故在上恒成立立，所以。设置意图：以上教学学中，教师师的角色由由教学内容容的灌输者者转变为给给学生提供供学习工具具和学习材材料的服务务者，这为为学生通过过自已的独独立自主的的探索而获获得知识创创造一个自自由、广阔阔的天空；学生由原原来的“学习数学学”转变为“研究数学学”，从学习习者到研究究者的变化化，完全改改进学习方方式，提高高学生的自自主学习能能力和创新新意
13、识。34 利用几几何画板培培养辩证唯唯物主义思思想和辩证证思维能力力辩证唯物主主义告诉我我们，现实实世界静止止是相对的的，运动是是绝对的。二二十一世纪纪的几何是是动态的几几何，主要要研究图形形在变化运运动过程中中点、线等等基本元素素之间的位位置与数量量关系。教师导：从从上面问题题3的探索索过程，我我们发现在在特殊状态态下发现的的结论有些些是正确，有有些是不正正确的。但但是它为我我们探索正正确的方法法提供了思思路与方向向，然后我我们应用几几何画板的的作图、动动态、度量量等功能轻轻而易举地地验证了我我们的猜想想。所以在在解析几何何中要充分分利用变与与不变；量量变与质变变；特殊与与一般等辩辩证关系来
14、来指导我们们解题。请请同学们解解决下面问问题4（请下载课课件4-教师师自制课件件，研究问问题4）。问题4 ：AB是抛抛物线过焦焦点F的弦弦，M是AAB的中点点，是抛物物线的准线线，N为为垂足。在在不增加条条件，但可可以设交点点及连线的的前提下，探探索在以下下几个方面面的有关性性质：（11）最值；（2）不不变位置关关系；（33）相等的的数量关系系。 经过一段时时间的探索索，得到以以下几个结结论：（11）；（22）（3）以以为直径的的圆与焦点点弦AB切切于焦点FF；（4）以以AB为直直径的圆与与准线相切切；（5）（为准线与x轴的交点）；（6）设MN交抛物线于Q，则Q平分MN。并且在课上提出了证明的
15、思路。另外还有以下几个猜想没有证明（如右图学件3-学生制作的课件），但在几何画板中已得到验证：（1） 过点A的抛抛物线的切切线与y轴轴的交点为为点A在yy轴上的射射影与原点点O的中点点；（2） 过点A的抛抛物线的切切线平行于于焦点F与与点B在yy轴上的射射影的连线线。 课后反反思 英国国作家阿尔尔道斯赫胥黎曾曾说：“宇宙中只只有一个角角落是你一一定能够改改善的，那那就是你自自已。”但在工业业化社会当当中，个体体的学习总总是处于被被动、受奴奴役地位，人人们几乎没没有别的选选择。因此此学生没有有条件独立立自主地改改善自已。而而在即将到到来的信息息化社会中中，个体的的学习是成成功的、快快乐的、自自由
16、的学习习。这种学学习，一定定是利用信信息技术的的学习，一一定是基于于互联网的的学习。所所以在这个个信息的时时代，创新新的时代，在在知识爆炸炸、信息爆爆炸的今天天，灌输的的教学方式式与被动的的学习方式式已很难顺顺应时代潮潮流了。改改革传统的的教学方式式与学习方方式，采用用独立自主主的学习、创创新的学习习，已成为为一种必然然。5 教学过程流流程图问题1：请请你回顾用用几何画画板如何何作出焦点点在x轴上的抛抛物线图象象? 问题2：当当拖动E点点在准线滑滑动时，即即点A在抛抛物线（）上移动动，（请下载课课件2），利用几几何画板探探索、猜想想、验证与与焦半径AAF有关的的性质？问题3：如如图，抛物物线上
17、离点点H（a，00）最近的的点恰好是是顶点O的的充要条件件是 （请下载课课件3探索索研究）问题4：AAB是抛物物线过焦点点F的弦， ，请下载下图图中的课件件4，用几几何画板中中的作图功功能，度量量功能和动动态功能探探索下列问问题：（1）如何何作出焦点点弦AB与与抛物线的的另一个交交点B；（下载课件4）（2）根据据抛物线的的定义，得得焦点弦长长|AB|= ；|AB|的最小值值为 ；此时线线段AB叫做 。问题5：AAB是抛物物线过焦点点F的弦，MM是AB的的中点，是是抛物线的的准线，NN为垂足。在在不增加条条件，但可可以设交点点及连线的的前提下，探探索在以下下几个方面面的有关性性质：（11）最值；（2）不不变位置关关系；（33）相等的的数量关系系。（下载课件件5）