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1、常见递归数列通项公式的求解策略 数列是中学数学中重要的知识之一，而递归数列又是近年来高考和全国联赛的重要题型之一。数列的递归式分线性递归式和非线性递归式两种，本文仅就高中生的接受程度和能力谈谈几种递归数列通项公式的求解方法和策略。 一、周期数列 如果数列满满足：存存在正整整数M、T，使得得对一切切大于MM的自然然数n，都有有成立，则则数列为为周期数数列。 例1、已知知数列满满足 aa1 =2，an+1 =1 ，求ann 。 解:an+1 =1 ann+2 =1 = , 从而 aan+33 = 1=1an1=aan , 即数列是以以3为周期期的周期期数列。又又a1 =2，a2=1=, a3 =1
2、 2 , nn=3kk1 所以 ann= ,n=33k2 ( kNN ) 1 , n=33k3 二、线性递递归数列列 1、一阶线线性递归归数列：由两个个连续项项的关系系式 aan= f (an-1 )（n,nn）及一一个初始始项a11所确定定的数列列，且递递推式中中，各aan都是是一次的的，叫一一阶线性性递归数数列，即即数列满满足ann1 =f (n) ang(nn)，其其中f (n)和g(nn)可以以是常数数，也可可以是关关于n的函数数。 （一）当ff (nn) =p 时时，g(n) =q（p、q为常数数）时，数数列是常常系数一一阶线性性递归数数列。 （1）当pp =11时 ，是以以q为公差
3、差的等差差数列。 （2）当qq=0，p0时，是是以p为公比比的等比比数列。 （3）当pp1且q0时，ann1 =p aanq可化为为an1=p(an),此时时ann是是以p为公比比，a11 为首项项的等比比数列，从从而可求求an。 例2、已知知：=且，求求数列的的通项公公式。 解：= = 即数列是以以为公比比， 为首项的等等比数列列。 （二）当ff(n)，g(n)至至少有一一个是关关于n的的非常数数函数时时，数列列ann是非非常系数数的一阶阶线性递递归数列列。 （1）当ff(n) =11时，化化成ann1=ang(nn),可可用求和和相消法法求ann。 例3、（220033年全国国文科高高考题
4、）已已知数列列ann满足足a1=1,aan=33n-1aan11 (nn2) , (1)求求a2 ,a33 ; (2) 证明明：ann= . (1)解： a11 =11, aa2=331=4 , a33=3224=13 . (2)证明明： aan=33n-1aan11 (nn2) , anann1=3n1 , an1an2=33n22 , an2an3=33n33 , a4a33=333 , a3a22=322 , a2a11=311 将以上等式式两边分分别相加加，并整整理得: ana11=3nn13n233n33333231 , 即an=33n113nn23n33333223111= . （
5、2）当gg(n)=0时时,化为为a nn1=f(nn) aan ，可可用求积积相消法法求ann 。 例4、已知知数列an满足aa1 =2 , aa n=3n an1，求求通项aa n。 解： a11 =2 , a n=33n aan11 a n11=3nn1 an2 ， a n22=3nn2 an3 ， ， a 4=334 aa3 ， a 3=333 aa2 ， a2=322 a11 将以上等式式两边相相乘并整整理得： a n=33n33n113n2344333322a11=22322+3+nn =233 （3）当ff(n)是非11的常数数p时，aan11 =pp anng(n) 可用两两边同
6、除除以pnn+1 得 ，令令bn+1= ，则bbn+11=bnn，仿仿照（11）求出出 bnn之后，再再求出aan . 例5、设有有数列an: aa1 =1 , ann1 = aan ，求aan . 解：an1 = ann 22n+11an1=22nann2 令bn+11=2nn+1aan11 ，则则bn+1= bn2，即即bnn是以以2为公公差，bb1=22a1=2为首首项的等等差数列列， 故有bn=2(n11)22=2nn，从而而an=，即aan= 一般情况，当当f(nn) 不不是常数数时，仿仿（3）可可求 例6、已知知ann中，aa1 =2 , n an1=(n11) aan22，求an
7、的通项项公式。 解： n an1=(n11) aan22 令bn+11= ，则则bn+1=bbn ，仿（11）可求求得 bn=b112= a112( 1)=222(1)=4 an=n bn=4n2 2、二阶线线性递归归数列：由三个个连续项项的关系系式 aan11=f(an , aan-11 )(n, nN)及两个个初始值值a1, a22 所确确定的数数列，且且递推式式中，各各an都都是一次次的，叫叫二阶线线性递归归数列。 设数列aan满满足ann1 =p anq aan-11 ，则则其通项项an的的求法如如下：（11）写出出递推式式所对应应的特征征方程xx2=ppxqq ；（22）解特特征方程
8、程得到两两个根xx1 , x22 ；(3)如如果 xx1x22 ，则则可设aan=aa x11nbb x22n ；如果xx1= x2 ，则可可设ann=(ccdnn) xx1n ；（44）由初初始值aa1, a2 求出aa , b 或或c , d . 例7、已知知数列an满足aan11 =2 aan33 ann-1 ，且aa1=11, aa2=55，求通通项公式式an . 解：关于aan11 =2 aan33 ann-1 所对应应的特征征方程是是x2=2xx3，其其两个根根为1和和3。 设 an=abb(33)n , 因因为a11=1, a22=5 , 所所以 ab(3)=1 ab=55 解得
9、a=22 , b= ，所以以an=2(3)n . 例8、已知知数列an中，aan22 =66 ann+19 aan ，且且a1=1, a2=2 ,求ann 解：递归关关系ann2 =6 an+199 ann 所对对应的特特征方程程是 x2=6xx9 ，其根根是二重重根3. 设an=(cddn) 3n , aa1=11, aa2=22 , 3(cdd)=11 9(c22d)=2 解得c= , dd= ，所以以an=(4n) 3n-2 三、其它递递归数列列 1、形如aan+11=paanq (p0 , ann0)型的递递归数列列，可用用对数代代换法求求an 例9、设数数列aan满满足a11=4,
10、ann+1=5ann2 ，求求an . 解：由ann+1=5ann2 可可知ann0，所所以两边边取对数数，得llgann+1=2lgganlg55 ，令令bn=lgaan，则则bn+1=22 bnnlgg5 ，化化为 bn+1lg55=2(bnlg55) ，即即bnnlgg5是是以2为为公比，bb1llg5= lgga1lg55=lgg20为为首项的的等比数数列，从从而有： bnlgg5=(lg220)22 即bbn=( lgg20)2llg5，所所以lggan=lg, 即an= 2、形如nn+1= 型的的递归数数列，可可用倒数数代换法法求(00) 例10、已已知数列列n满足nn+1=，且a
11、a1=2 ,求通项项公式nn 解： n+1= 两边取取倒数得得 ，令令bn=，则 bn+1=bbn ，可化化为bnn+12=(bn2)，即即bnn2是以为为公比，以以 b112=为首首项的等等比数列列， bbn22= 即22= , nn= 3、分式递递归数列列n+11=(cc0,) 型的的通项公公式的求求法：(1)写写出递推推式所对对应的特特征方程程= ；（2）解解特征方方程得到到两个根根x1 , xx2 ；（3）如如果x11 x22，则数数列是等比比数列 ；如果果x1 = xx2，则则数列是等等差数列列；（44）由等等比数列列或等差差数列的的通项公公式求nn 例11、（119877年中国国数
12、学奥奥林匹克克集训队队习题）设设n满足=2 , n=(n11)，求求n 解：由递推推式n=所对应应的特征征方程=得其根根为x11 =2 , x22=3 , =4 数列是是以44为公比比，=4为首首项的等等比数列列，则有有=44(4)nn n= 线性二项递递归数列列的通项项及应用用一个数列an，如果果它的第第n项aan与项项数n之之间的函函数关系系可以用用一个公公式ann=f(n) 表示时时，这个个公式叫叫做这个个数列的的通项公公式。一一般地说说，给出出一个数数列，就就是给出出它的构构成规律律。常见见的用解解析式给给出它构构成规律律的方法法有通项项公式法法以及递递推公式式法。“给给出数列列的递推
13、推公式，求求通项公公式”是是数列教教学的一一个难点点。下面面先就一一道习题题的解法法对“线线性二项项递归数数列的通通项”求求解方法法做一简简单小结结。例：已知数数列aan满满足a11=3,an+1=22an+7,求求ann的通通项公式式。解法法一：（配配凑法）a1=3,an+1=2an+7令 an+1p=2(an-p)则an+1=2an-p, 比较系数得p=-7则 =2(常数)由定义知，数列an+7 是公比q=2的等比数列，则 an+7=(a1+7)2n-1 又a1=3,则得出数列an的通项公式为：an=102n-1-7解法二：（叠加法） an+1=2an+7an=2an-1+72an-1=2
14、2an-2+2722an-2=23an-3+2272n-2a2=2n-1a1+2n-27将以上n-1个式子叠加，两边相消得：an=2n-1a1+7(1+2+22+2n-2) =2n-1a1+7(2n-1-1)由于 a1=3得an=102n-1-7解法三：（解方程组法） an+1=2an+7 an=2an-1+7 得：an+1-an=2(an-an-1)设bn=an+1an, 则 =2b1=a2a1=2a1+7a1=10bn=102n-1an+1an=102n-1联立方程组解得an=102n-177解法四四：（递递归法）an+1=2an+7an=2an-1+7=2(2an-2+7)+7=22an
15、-2+27+7=22(2an-3+7)+27+7=23an-3+227+27+7=2n-1a1+(2n-27+2n-17+27+7)=2n-1a1+7(2n-11)a1=3 an=102n-17解法五：（不动点法）设f(x)=ax+b(a 1,b 0),则f(x)的不动点是f(x)的n次迭代函数的解析式可表示如下：fn(x)=an(x- )+ an+1=2an+7,a1=3an=2an-1+7=2n-1(a1- )+ =102n-1-7解法六：（特征根法）若数列an中,a1已知,an+1=aan+b(a1,b0)则称x=ax+b为an的特征方程，其根x= 称为特征根。这时有如下结论：an=(a
16、1-x)an-1+x对于本题，由于a1=3,a=2,b=7.x= =-7an=102n-1-7应用举例 例1：小王贷款a元用于购房，采用月均等额本息还款方式，若m个月将款全部还清，月利率为r，求每月还款额x。解：设第n(nm)次还款后，小王还欠an元钱，这an元钱到下月增值到an(1+r)元，还x元后，还有an+1=(1+r)an-x。可知小王每次还款后仍欠银行的钱依次形成一个数列an，其中a1=a(1+r)-x,an+1=(1+r)an-x 所以有， an=(1+r)an-1-x=(1+r)(1+r)an-2-x-x=(1+r)2an-2-(1+r)x-x=(1+r)3an-3-(1+r)2
17、x-(1+r)x-x=(1+r)4an-4-(1+r)3x-(1+r)2x-(1+r)x-x=LL=(1+r)n-1a1-x(1+r)n-2+(1+r)n-3+L+(1+r)+1=(1+r)n-1a(1+r)-x-x(1+r)n-22+(1+r)n-3L+(1+r)+1=(1+r)na-x(1+r)n-1+(1+r)n-2+L+(1+r)+1=(1+r)na- x=(1+rr)naa+ x题题意可知知am=0,即即am=(1+r)mma+ xx=0所所以， x=例例2：某某林场原原有森林林木材存存量为aa万立方方米，木木材每年年以255%的增增长率增增长，而而每年冬冬天要砍砍伐的木木材量为为x
18、万立立方米。为为了实现现经过220年达达到木材材存量翻翻两番的的目标，则则x的最最大值是是多少？解：设设第n年年底木材材存量为为an万万立方米米，则aa1=aa(1+25%)-xx= a-xxan+1=(1+225%)x= aan-xxQann+1= aan-xx (ann+1-4x)= (ann-4xx)数列列ann-4xx是公公比为，首首项为aa1-44x的等等比数列列，则aan-44x=(a1-4x)( )n-1=( )aa-5xx( )n-1ann=4xx+(aa-4xx)( )nn令a22044a,即即4x+(a-4x)( )2004aa解得xx a一. 教学学内容：数列求和的的几种
19、方方法、数数列的实实际应用用问题二. 教学学难点：数列的实际际应用问问题三. 课标标要求：1. 探索索并掌握握一些基基本的数数列求前前n项和的的方法；2. 能在在具体的的问题情情境中，发发现数列列的通项项和递推推关系，并并能用有有关等差差、等比比数列知知识解决决相应的的实际问问题四. 命题题走向：数列求和和和数列综综合及实实际问题题在高考考中占有有重要的的地位，一一般情况况下都是是出一道道解答题题，解答答题大多多以数列列为工具具，综合合运用函函数、方方程、不不等式等等知识，通通过运用用逆推思思想、函函数与方方程、归归纳与猜猜想、等等价转化化、分类类讨论等等各种数数学思想想方法，这这些题目目都考
20、查查考生灵灵活运用用数学知知识分析析问题和和解决问问题的能能力，它它们都属属于中、高高档题目目有关命题趋趋势：1. 数列列是一种种特殊的的函数，而而不等式式则是深深刻认识识函数和和数列的的有效工工具，三三者的综综合题是是对基础础和能力力的双重重检验，在在三者交交汇处设设计试题题，特别别是代数数推理题题是高考考的重点点；2. 数列列推理题题将继续续成为数数列命题题的一个个亮点，这这是由于于此类题题目能突突出考查查学生的的逻辑思思维能力力，能区区分学生生思维的的严谨性性、灵敏敏程度、灵灵活程度度；3. 数列列与新的的章节知知识结合合的特点点有可能能加强，如如与解析析几何的的结合等等；4. 有关关数
21、列的的应用问问题也一一直备受受关注【教学过程程】一、基本知知识回顾顾1. 数列列求通项项与和（1）数列列前n项和Sn与通项项an的关系系式：aan （2）求通通项常用用方法作新数列列法作作等差数数列与等等比数列列累差叠加加法最最基本的的形式是是：an（anan1）（aan1an2）（a2a1）a1归纳、猜猜想法（3）数列列前n项和重要公式式：等差差和等比比数列的的求和公公式12nn（n1）；12222n2n（n1）（2nn1）；13233n3（12n）2n2（n1）2；裂项相消消法将数列的通通项分成成两个式式子的代代数和，即即anf（n1）f（n），然然后累加加抵消掉掉中间的的许多项项，这种种
22、先裂后后消的求求和法叫叫裂项求求和法用裂项项法求和和，需要要掌握一一些常见见的裂项项，如：、等错位相减减法（可可用于推推导等比比数列前前n项和公公式）对一个由等等差数列列及等比比数列对对应项之之积组成成的数列列的前nn项和，常常用错位位相减法法， 其中是等等差数列列， 是等比比数列，记记，则，分组转化化求和把数列的某某些项放放在一起起先求和和，然后后再求SSn倒序相加加法（可可用于推推导等差差数列前前n项和公公式）2. 递归归数列数列的连续续若干项项满足的的等量关关系ankf（ank1，ank2，an）称为为数列的的递归关关系由由递归关关系及kk个初始始值可以以确定的的一个数数列叫做做递归数数
23、列如如由an12an1，及a11，确定定的数列列即为递递归数列列递归数列的的通项的的求法一一般说来来有以下下几种：（1）归纳纳、猜想想（2）迭代代法（3）代换换法包包括代数数代换，对对数代数数，三角角代数（4）作新新数列法法最常常见的是是作成等等差数列列或等比比数列来来解决问问题【典型例题题】例1. 已已知数列列为等差差数列，且且公差不不为0，首项项也不为为0，求和和：解：首先考考虑，则则点评：已知知数列为为等差数数列，且且公差不不为0，首项项也不为为0，下列列求和也也可用裂裂项求和和法例2. 求求解：，点评：裂项项求和的的关键是是先将形形式复杂杂的因式式转化的的简单一一些例3. 设设，利用用
24、课本中中推导等等差数列列前n项和的的方法，可可求得的的值为_解：课本中中推导等等差数列列前n项和的的方法为为倒序相相加法.因为所以原式6点评：本题题曾为上上海高考考题，主主要考查查考生对对课本的的熟练程程度和倒倒序相加加法的应应用，其其中有函函数式子子的变化化，计算算能力的的考查例4. 已已知，数数列是首首项为aa，公比比也为aa的等比比数列，令令，求数数列的前前项和解：，得：，点评：设数数列是等等比数列列，数列列是等差差数列，则则对数列列的前项和和进行求求解，均均可用错错位相减减 例5. 数数列的前多多少项和和为最大大？解：是以为为首项，以以为公差差的等差差数列，对称轴比较较起来更更靠近对对
25、称轴前项和为为最大 另法：由，得得点评：求和和的最值值关键在在于找分分界点.例6. 求求数列11，3，32，3n的各项项的和解：其和为为（133n）（）（3n13n）点评：分组组转化法法求和.例7. （20006年浙浙江卷220）已已知函数数x3x2，数列列xn（xn 0）的的第一项项x11，以后后各项按按如下方方式取定定：曲线线y在处的切切线与经经过（00，0）和（xxn，f（xn）两两点的直直线平行行（如图图）求证：当nn时：（II）；（II）解：（I）因因为所以曲线在在处的切切线斜率率因为过和两两点的直直线斜率率是所以.（II）因因为函数数当时单调调递增，而所以，即因此又因为令则因为所以
26、因此故点评：数列列与解析析几何问问题结合合在一块块，数列列的通项项与线段段的长度度、点的的坐标建建立起联联系例8. （20005上海海高考220.）假假设某市市20004年新新建住房房4000万平方方米，其其中有2250万万平方米米是中低低价房.预计在在今后的的若干年年内，该该市每年年新建住住房面积积平均比比上一年年增长88%.另另外，每每年新建建住房中中，中低低价房的的面积均均比上一一年增加加50万平平方米.那么，到到哪一年年底，（1）该市市历年所所建中低低价房的的累计面面积（以以20004年为为累计的的第一年年）将首首次不少少于47750万万平方米米?（2）当年年建造的的中低价价房的面面积
27、占该该年建造造住房面面积的比比例首次次大于885%?解：（1）设设中低价价房面积积形成数数列aan，由题题意可知知an是等差差数列，其中a12500，d50，则则Sn2500n25nn22255n， 令令25nn22255n47550，即即n29n19000，而n是正整整数， n10到20133年底，该该市历年年所建中中低价房房的累计计面积将将首次不不少于447500万平方方米（2）设新新建住房房面积形形成数列列bn，由题题意可知知bn是等比比数列，其中b14000，q1.008，则则bn4000（1.008）n10.85由题意可知知an0.885 bbn，有2550（n1）5004000（1
28、.008）n10.85由计算器解解得满足足上述不不等式的的最小正正整数nn6 到20009年年底，当当年建造造的中低低价房的的面积占占该年建建造住房房面积的的比例首首次大于于85%点评：本题题考查等等差、等等比数列列的应用用题，关关键是如如何把实实际问题题转化为为数列问问题，注注意解应应用题的的设、列列、解、答答四个步步骤例9. 某某企业进进行技术术改造，有有两种方方案，甲甲方案：一次性性贷款110万元元，第一一年便可可获利11万元，以以后每年年比前一一年增加加30%的利润润；乙方方案：每每年贷款款1万元，第第一年可可获利11万元，以以后每年年比前一一年增加加5千元；两种方方案的使使用期都都是
29、100年，到到期一次次性归还还本息若银行行两种形形式的贷贷款都按按年息55%的复复利计算算，试比比较两种种方案中中，哪种种获利更更多？（取取）解：甲方案案是等比比数列，乙乙方案是是等差数数列，甲方案获获利：（万万元），银行贷款本本息：（万万元），故甲方案纯纯利：（万万元），乙方案获获利：（万元）；银行本息和和：（万元）故乙方案纯纯利：（万万元）；综上可知，甲甲方案更更好点评：这是是一道比比较简单单的数列列应用问问题，由由于本息息与利润润是熟悉悉的概念念，因此此只建立立通项公公式并运运用所学学过的公公式求解解例10. （20007山东东理177）设数数列满足足，（）求数数列的通通项；（）设，求求
30、数列的的前项和和解：（I）验证时也满满足上式式，（II）， ， 例11. （20007山东东文188）设是公公比大于于1的等比比数列，为数列的前项和已知，且构成等差数列（1）求数数列的等等差数列列（2）令求求数列的的前项和和Tn解：（1）由由已知得得解得设数列的公公比为，由由，可得得又，可知，即，解得由题意得故数列的通通项为（2）由于于由（1）得得又是等差数列列故点评：20007年年山东高高考文科科和理科科数列的的题目都都在大题题的前两两题的位位置，理理科考查查的是错错位相减减法求和和，文科科为等差差和等比比数列公公式的应应用，都都考查了了考生的的运算能能力例12. （20007福建建文211
31、）数列列的前项和和为，（）求数数列的通通项；（）求数数列的前前项和解：（），又，数列是首项项为，公公比为的的等比数数列，当时， ，（），当时，；当时，得：又也满足上上式，点评：本小小题考查查数列的的基本知知识，考考查等比比数列的的概念、通通项公式式及数列列的求和和，考查查分类讨讨论及化化归的数数学思想想方法，以以及推理理和运算算能力满分112分思维小结结1. 数列列求和的的常用方方法（1）公式式法：适适用于等等差、等等比数列列或可转转化为等等差、等等比数列列的数列列；（2）裂项项相消法法：适用用于其中中 是各项项不为00的等差差数列，c为常数；部分无理数列、含阶乘的数列等；（3）错位位相减法法
32、：适用用于其中中 是等差差数列，是各项不为0的等比数列（4）倒序序相加法法：类似似于等差差数列前前n项和公公式的推推导方法法.（5）分组组求和法法2. 常用用结论（1）123.n （2）135.（2nn1） （3） （4） （5）3. 数学学思想（1）迭加加累加（等等差数列列的通项项公式的的推导方方法）若若，则；（2）迭乘乘累乘（等等比数列列的通项项公式的的推导方方法）若若，则；（3）逆序序相加（等等差数列列求和公公式的推推导方法法）；（4）错位位相减（等等比数列列求和公公式的推推导方法法）4. 应用用题注意意审清题题意，把把实际问问题转化化为数列列中的问问题设设、列、解解、答四四步骤不不可少
33、【模拟试题题】1. 数列列的通项项公式，则则该数列列的前（ ）项之和等于.A. B. C. DD. 2. 在等等差数列列中，若若，则的值值为（ ）A. BB. C. D. 3. 在等等差数列列中，则则为（ ）A. B. C. D. 4. 已知知等差数数列项和和等于（ ）A. B. C. D. 5. 等差差数列，的前项和和分别为为，若，则则（ ）A. B. C. DD. 6. 已知知数列的的，则_7. 在等等差数列列中，公公差，前前项的和和，则_8. 若等等差数列列中，则9. 一个个等比数数列各项项均为正正数，且且它的任任何一项项都等于于它的后后面两项项的和，则则公比为为_10. （20007北
34、京京理）若若数列的的前项和和，则此此数列的的通项公公式为 ；数数列中数数值最小小的项是是第 项11. 已已知数列列的前项和和，求12. 一一个有穷穷等比数数列的首首项为，项项数为偶偶数，如如果其奇奇数项的的和为，偶偶数项的的和为，求求此数列列的公比比和项数数13. 数数列的前多多少项和和为最大大？14. 已已知数列列的前项和和，求的值值【试题答案案】1. B 2. A 而而成等差差数列 即即3. C ， 4. C ，m105. B 6. 7. 8.9. 设10. 11. 解解：而， 12. 解解：设此此数列的的公比为为，项数数为，则项数为 13. 解解：是以以为首项项，以为为公差的的等差数数列，对称轴比较较起来更更靠近对对称轴前项和为为最大另法：由，得得14. 解解：31