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1、经济数学方法与模型（第二篇 预测方法与模型）第二篇 预测方法与模型预测是研究客观事物未来发展方向与趋势的一门科学。统计预测是以统计调查资料为依据，以经济、社会、科学技术理论为基础，以数学模型为主要手段，对客观事物未来发展所作的定量推断和估计。根据社会、经济、科技的预测结论，人们可以调整发展战略，制定管理措施，平衡市场供求，进行各种各样的决策。预测也是制定政策，编制规划、计划，具体组织生产经营活动的科学基础。20世纪三四十年代以来，随着人类社会生产力水平的不断提高和科学技术的迅猛发展，特别是近年来以计算机为主的信息技术的飞速发展，更进一步推动了预测技术在国民经济、社会发展和科学技术各个领域的应用
2、。预测包含定性预测法、因果关系预测法和时间序列预测法三类。本篇对定性预测法不加以介绍，对后两类方法选择以下几种介绍方法的原理、模型的建立和实际应用，分别为：时间序列分析、微分方程模型、灰色预测模型、人工神经网络。第五章时间间序列分分析在预测实践践中，预预测者们们发现和和总结了了许多行行之有效效的预测测理论和和方法，但但以概率率统计理理论为基基础的预预测方法法目前仍仍然是最最基本和和最常用用的方法法。本章章介绍其其中的时时间序列列分析预预测法。此方法是根据预测对象过去的统计数据找到其随时间变化的规律，建立时间序列模型，以推断未来数值的预测方法。时间序列分析在微观经济计量模型、宏观经济计量模型以及
3、经济控制论中有广泛的应用。第一节时间间序列简简介所谓时间序序列是指指将同一一现象在在不同时时间的观观测值，按按时间先先后顺序序排列所所形成的的数列。时间序列一般用来表示，可以简记为。它的时间单位可以是分钟、时、日、周、旬、月、季、年等。一、时间序序列预测测法时间序列预预测法就就是通过过编制和和分析时时间序列列，根据据时间序序列所反反应出来的的发展过过程、方方向和趋趋势，进进行类推推或延伸伸，借以以预测下下一段时时间或以以后若干年内内可能达达到的水水平。其其内容包包括:收收集与整整理某种种社会现现象的历历史资料料；将这些资资料进行行检查鉴鉴别，排排成数列列；分析时时间序列，从从中寻找找该社会会现
4、象随随时间变化而而变化的的规律，得得出一定定的模型型，以此模模型去预测测该社会会现象将将来的情情况。二、时间序序列数据据的特点点通常，时间间序列经经过合理理的函数数变换后后都可以以看作是是由三个个部分叠叠加而成成，这三个个部分是是趋势项项部分、周周期项部部分和随随机项部部分。1. 趋势势性许多序列的的一个最最主要的的特征就就是存在在趋势。这这种趋势势可能是是向下的的也可能能是向上上的，也也许比较较陡，也也许比较较平缓，或或者是指指数增长长，或者者近似线线性。总总之，时时间序列列的趋势势性是依依据时间间序列进进行预测测的本质质所在。2. 季节节性/周周期性当数据按照照月或季季观测时时，通常常的情
5、况况是这样样的:时时间序列列会呈现现出明显显的季节节性。对对季节性性也不存存在一个个非常精精确的定定义。通通常，当当某个季季节的观观测值具具有与其其它季节节的观测测值明显显不同的的特征时时，就称称之为季季节性。3. 异常常观测值值异常观测值值指那些些严重偏偏离趋势势范围的的特殊点点。异常常观测值值的出现现往往是是由于某某些不可抗拒拒的外部部条件的的影响。如如年自然然灾害和和年左右右“文化大大革命”对我国国经济的的影响，造造成经济济指标陡陡然下降降现象；年，我我国银行行紧缩政政策造成成的房地地产业泡泡沫破灭灭，而使使得房地地产业的的经济数数据发生生突然变变化的例例子等等等。4. 条件件异方差差性
6、所谓条件异异方差性性，表现现出来就就是异常常数据观观测值成成群地出出现，故故也称为为“波动积积聚性”。由于于方差是是风险的的测度，因因此波动动存在的的积聚性性的预测测对于评评估投资资决策是是很有用用的，对对于期权权和其它它金融衍衍生产品品的买卖卖决策也也是有益益的。5. 非线线性对非线性的的最好定定义就是是“线性以以外的一一切”。非线线性常常常表现为为 “机制转转换”(reggimeewittchees)或或者“状态依依赖”(Staateppenddencce)。其其中状态态依赖意意味着时时间序列列的特征征依赖于于其现时时的状态态;不同同的时刻刻，其特特征不一一样。当当时间序序列的特特征在所所
7、有的离离散状态态都不一一样时，就就成为机机制转换换特性。三、时间序序列的分分类1. 按研研究的对对象的多多少可分分为单变变量时间间序列和和多变量量时间序序列。如果所研究究的对象象是一个个变量，如如某个国国家的国国内生产产总值，即即为单变变量时间间序列。果果所研究究的对象象是多个个变量，如如按年、月月顺序排排列的气气温、气气压、雨雨量数据据，为多多变量时时间序列列。多变变量时间间序列不不仅描述述了各个个变量的的变化规规律，而而且还表表示了各各变量间间相互依依存关系系的动态态规律性性。2. 按时时间的连连续性可可将时间间序列分分为离散散时间序序列和连连续时间间序列。如果某一序序列中的的每一个个序列
8、值值所对应应的时间间参数为为间断点点，则该该序列就就是一个个离散时间序序列。如如果某一一序列中中的每个个序列值值所对应应的时间间参数为为连续函函数，则则该序列就是是一个连连续时间间序列。3. 按序序列的统统计特性性可分为为平稳时时间序列列和非平平稳时间间序列两两类。如果某个时时间序列列的概率率分布与与时间无无关，则则称该序序列为严严格的（狭义的的）平稳时时间序列。如如果序列列的一、二二阶矩存存在，而而且对任任意时刻刻满足:（1）均值值为常数数（2）协方方差为时时间间隔隔的函数数则称该序列列为宽平平稳时间间序列，也也叫广义义平稳时时间序列列。反之之，不具具有平稳稳性，即序列列均值不不为常数数或协
9、方方差与时时间有关关的序列列称为非非平稳序序列。4.按序列列的分布布规律可可分为高高斯型时时间序列列和非高高斯时间间序列。服从高斯分分布(正正态分布布)的时时间序列列叫做高高斯时间间序列，否否则叫做做非高斯斯型时间间序列。对对于一些些非高斯斯序列，往往往可以以通过适适当的变变换，可可近似地地看成是是高斯型型时间序序列。四、常用的的时间序序列分析析法时间序列分分析预测测分为确定性性时序分分析预测测方法和和随机性性时序分分析预测测方法两两大类。1. 确定性时序序分析若一个时间间序列的的未来值值被某一一个数学学函数严严格确定定，例如如：这种种形式，则则称该时时间序列列为确定定性的。确定定性时间间序列
10、分分析模型型主要包包括：移移动平均均模型、二二次滑动动平均模模型、指指数平滑滑模型、二二次指数数平滑模模型和三三次指数数平滑模模型。2. 随机机时间序序列分析析若一个时间间序列的的未来值值只能用用概率分分布加以以描述，则则称之为为非确定定性的时时间序列列或称随随机时间间序列。随机时时间序列列分析模模型分为为三种类类型：自自回归模模型（AAutoo-reegreessiive Moddel）、滑动平均模型（Moving Average Model）和自回归滑动平均模型（Auto-regressive Moving Average Model）。随机时序分析以随机过程理论作为其数学基础，通过对时序
11、数据进行分析，完成对时序系统的预测、建模和控制。五、针对时时间序列列数据的的建模步步骤时间序列模模型最主主要的特特征就是是承认观观测值之之间的依依赖关系系和相关关性，它它是一种种动态模模型，能能够应用用于动态态预测。时间序列预预测方法法的一般般步骤为为：1.确定预预测目标标明确预测的的目标是是进行有有效预测测的前提提。预测测的目标标不同，所所需的资资料和采采用的预预测方法法也有所所不同。有有了明确确具体的的预测目目标，才才能有的的放矢地地收集资资料。预预测目标标的确定定应尽量量明细化化、数量量化，以以利于预预测工作作的顺利利开展。2.收集资资料并进进行数据据的预处处理准确调查的的统计资资料是统
12、统计预测测的基础础。预测测之前，必必须掌握握大量的的、全面面的、准准确有用用的数据据和情况况。为保保证统计计资料的的准确性性，必须须对资料料进行审审核、调调整和推推算。比比如缺损损值问题题，它破破坏了系系统运行行的连续续性，特特别是对对于时间间序列来来说，缺缺损值违违背了时时间序列列“顺序的的重要性性”原则。严严格来说说，不能能依据一一个“残缺”的序列列进行分分析，即即使强制制进行了了分析，其其结果也也是无意意义的。因因此必须须对缺损损值进行行预处理理：如缺缺失较少少，且缺缺失数据据前后无无大的波波动，则则可用平平滑法、发发展速度度推算法法、比例例推算法法、插值值估算法法等方式式填充数据。这些
13、些方式既既完善了了数据，也也不会使使数据信信息丧失失太多。对对于数据据缺失较较多的情情况，如如时间序序列中连连续一段段时间缺缺失数据据，就不不能简单单地用平平滑的方方式填充充，因为为这样可可能丧失失很重要要的信息息，这种种情况下下建模毫毫无意义义，只能能通过其其他途径径重新收收集资料料。此外外，还要要对序列列中每一一个数据据的指标标口径、计计算范围围、计算算方法、计计量单位位等进行行认真检检查，若若存在不不一致，则则要运用用科学的的方法进进行调整整，使整整个序列列中的每每一个数数据除时时间属性性不同之之外，其其所代表表的实际际意义完完全一致致。3.对资料料进行初初步分析析对经审核的的数据应应进
14、行初初步分析析，画出出统计图图形，以以观察统统计数据据的性质质和分布布，以此此作为选选择适当当预测模模型的依依据。（1）观察察统计图图形是否否具有大大的波动动，如果果存在，可可能是数数据采样样时的误误差，也也可能是是某些经经济、政政治等偶偶然性因因素的冲冲击。特特别是在在国际期期货、现现货市场场上，这这种偶然然性更是是经常发发生，使使得期货货市场呈呈现较大大波动，现现货市场场也随之之波动。这这种冲击击或误差差造成的的结果可可能是结结构性突突变，在在统计图图形上就就表现为为突然的的持续上上涨或下下降。不不论是什什么原因因引起的的，如果果建模时时忽略结结构性突突变，可可能会得得到虚假假的结论论，即
15、伪伪结论。（2）观察察其统计计图形的的大致走走势，是是否具有有趋势性性、季节节性、周周期性或或随机性性的特征征，以初初步判断断这个序序列适用用哪种时时序预测测模型。4.选择预预测方法法一方面，通通过对资资料数据据的整理理、分析析，清楚楚地了解解到预测测对象的的变化情情况；另另一方面面通过对对各种时时序预测测方法在在合适性性、费用用和精确确度方面面的综合合衡量，我我们就可可以选择择出适当当的预测测方法。5.预测和和结果评评价进行预测时时，不能能简单地地依靠某某一理论论或套用用某一模模型加以以预测，要要综合考考虑各方方面的情情况，因因为实际际情况错错综复杂杂，影响响因素众众多。借借助于经经验判断断
16、、逻辑辑推理、统统计分析析等方面面的预测测判断，能能够使预预测的结结果更为为合理，从从而得出出最后的的预测结结果。对对预测结结果的评评价主要要是通过过对预测测误差的的分析进进行的。分分析预测测的误差差时要考考虑以下下两种情情况：一是理理论预测测误差，即即在选用用预测方方案之前前，利用用数学统统计模型型所估计计的理论论预测值值，与同同期的实实际观察察值相比比而产生生的误差差，然后后分析、改改进，选选择较为为合适的的数学统统计模型型。二是是实际预预测误差差，即在在选用预预测方案案之后，追追踪、检检查预测测方案的的结果是是否合乎乎实际的的情况，分分析预测测误差的的大小以以及所造造成的原原因，总总结经
17、验验教训，进进一步改改进今后后的预测测工作。对对预测结结果的评评价，主主要从统统计检验验和直观观判断两两个方面面着手来来判断预预测结果果的可信信度、是是否跟实实际情况况相吻合合等，然后根根据对预预测结果果的分析析与评价价，确定定最终的的预测值值。六、时间序序列的优优、缺点点1. 优点点（1）时间间序列预预测法只只需要一一个变量量在不同同时刻的的观测值值即可建建模，因因而得到到广泛应应用。（2）时间间序列预预测法没没有过于于严格的的假定条条件。（3）应用用随机时时间序列列分析时时，无需需一开始始就假设设一个固固定的模模式，而而是先假假设一个个试用模模式，然然后根据据误差等等各种信信息来判判断初步
18、步假设的的模式是是否恰当当。如果果恰当，则则进行预预测；如如不恰当当，则修修正模型型。反复复这个过过程，可可在基本本模式方方面获得得一个最最优预测测模型，使使误差为为最小。所所以随机机时间序序列预测测方法特特别适合合于处理理复杂的的时间序序列，以以及存在在多种模模式的预预测情况况，它能能利用一一套明确确规定的的准则来来处理这这些复杂杂的模式式。（4）时间间序列是是一种精精确度很很高的短短期预测测方法，而而且既可可以做点点预测，也也可以做做区间预预测。2. 缺点点事实上，大大多经济济现象的的变化发发展是千千变万化化的，在在一个较较长时间间内外界界影响因因素变化化的可能能性较大大，而时时间序列列分
19、析预预测法是是根据预预测对象象过去和和现在的的发展变变化规律律和趋势势来预测测未来的的，所以以它只能能在较短短时间内内做出有有效预测测。预测测的超前前时间一一般不应应超过时时间序列列历史区区间的十十五分之之一。也也就是说说，假如如时间序序列采集集的历史史统计数数据的时时间区间间是五年年，那么么最多只只能在此此后三到到四个月月内做出出较为有有效的预预测，并并且预测测时间越越长，预预测误差差越大。第二节移动动平均模模型移动平均法法就是根根据历史史统计数数据的变变化规律律，使用用最近时时期数据据的平均均数，利利用上一一个或几几个时期期的数据据产生下下一期的的预测值值。移动动平均法法是一种种常用的的确
20、定性性时间序序列预测测法，本本节主要要介绍一一次移动动平均预预测法和和加权一一次移动动平均预预测法。一、简单一一次移动动平均预预测法已知序列是是预测前前的实际际数据组组成的时时间序列列。如果果过早的的数据已已失去意意义，不不能反映映当前数数据的规规律，那那么可以以用一次次移动平平均法来来作预测测。即保留最最近一个个时间区区间内的数据据，用其其算术平平均数作作为预测测值。设时间序列列为，取取移动平平均的项项数为，则则第期预预测值的的计算公公式为：其中：表示示第期实实际值；表示第期预预测值（）。预测标准误误差为：上式中，为为时间序序列所含含原始数数据的个个数。当预测目标标的基本本趋势是是在某一一水
21、平上上上下波波动时，可可用一次次移动平平均法建建立预测测模型，即即用最近近期序列列值的平平均值作作为未来来各期的的预测结结果。项项数的数数值，要要根据时时间序列列的特点点而定，不不宜过大大或过小小。过大大会降低低移动平平均数的的敏感性性，影响响预测的的准确性性；过小小，移动动平均数数易受随随机变动动的影响响，难以以反映实实际趋势势。一般般取的大大小能包包含季节节变动和和周期变变动的时时期为好好，这样样可消除除它们的的影响。对对于没有有季节变变动和周周期变动动的时间间序列，项项数的取取值要视视历史数数据的趋趋势类型型而定。一一般来说说，如果果历史数数据的类类型呈水水平型的的发展趋趋势，则则项数的
22、的数值可可取较大大的数；如果历历史数据据的类型型呈上升升（或下下降）的的发展趋趋势，则则项数的的数值应应取较小小的数，这这样能够够取得较较好的预预测结果果。例表第二行行为某种种商品一一月到十十二月的的实际销销售量。假定未来的销售情况与近期销售情况有关，而与较远时间的销售情况联系不大，试用一次移动平均法预测下一年一月份的销售量。表 某某种商品品的实际际销售量量单位：件月 份123456789101112实 际销 售150017251510172013301535174018101760193020001858三个月平滑值157816521520152815351695177018331897五个
23、月平滑值1557156415671627163517551848解用三个月月移动平平均预测测下一年年一月份份的销售售量为用五个月移移动平均均值预测测下一年年一月份份的销售售量为由于五个月月移动平平均值对对十二月月份的销售售量拟合合较好（参参照表最最后一列列），可可以认为为预测值值比准确。二、加权一一次移动动平均预预测法简单一次移移动平均均预测法法，是把把参与平平均的数数据在预预测中所所起的作作用同等等看待，但但实际中中参与平平均的各各期数据据所起的的作用往往往是不不同的。为为此，需需要采用用加权移移动平均均法进行行预测，加加权一次次移动平平均预测测法是其其中比较较简单的的一种。计算公式如如下：
24、其中：表示示第期的的实际值值；表示第期预预测值；表示权数；表示移动平平均的项项数。预测标准误误差的计计算公式式与简单单一次移移动平均均预测法法的相同同。例2 某企企业月份份的销售售收入时时间序列列如表中中的第22列所示示。取，并并取权数数，试用用加权一一次移动动平均预预测法预预测122月份的的销售收收入。解其余依次类类推，则则其预测标准准误差为为故第12月月份销售售收入的的预测值值为元。其其它月份份的预测测值见表表。表单位：万万元月份销售收入三个月加权权移动平平均预测测值1533.882574.663606.994649.88584.0065.84 3299.65705.11623.0082.
25、16 7400.46772.00670.33101.7710 3442.997816.44729.3387.17 5866.48892.77783.11109.6612 0112.229963.99847.22116.7713 6118.99101 0155.1915.6699.59 9000.3111 1022.7977.66125.1115 6550.00121 0500.480 1880.77移动平均法法适合于于短期预预测。这这种方法法的优点点就在于于简单方方便，但是对对于波动动较大的的时序数数据，预预测的精精度不高高，误差差很大。一一般来说说历史数数据对未未来值的的影响是是随着时时间间
26、隔隔的增长长而递减减的，或或者数据据的变化化呈现某某种周期期性或季季节性等等特性，所所以移动动平均法法权重的的赋予方方式就会会使计算算结果产产生很大大的误差差。第三节 指数平平滑模型型与移动平均均预测法不不同，指指数平滑滑法采用用了更切切合实际际的方法法，即对对各期观观测值依依时间顺顺序进行行加权平平均作为为预测值值。本节节主要介介绍一次次指数平平滑法和和二次指指数平滑滑法。一、一次指指数平滑滑法一次指数平平滑法是是利用前前一时刻刻的数据据进行预预测的方方法。它它适用于于变化比比较平稳稳，增长或或下降趋趋势不明明显的时时间序列列数据的的下一期期的预测测。其模模型是其中：表示示第期实实际值；表示
27、第期预预测值；称为平滑系系数，。 式说明只需需前一时时期的观观测值及及预测值值即可预预测本期期值。每每期预测测值虽然然只用了了上期的的观测值值和预测测值，但但实际上上包含了了以前各各个时刻刻数据的的影响。从从而，指指数平均均法可看看成是移移动平均均法的推推广。平滑系数的的取值对对预测值值的影响响是很大大的，但但目前还还没有一一个很好好的统一一选值方方法，一一般是根根据经验验来确定定的。当当时间序序列数据据是水平平型的发发展趋势势类型，可取较小的值，一般在之间；当时间序列数据是上升（或下降）的发展趋势类型，应取较大的值，一般在之间。在进行实际预测时，可选不同的值进行比较，从中选择一个比较合适的。
28、在实际预测测时，还还要确定定初始值值。一般般来说，如如果只有有一期数数据或少少量数据据，没有有其它任任何信息息，可以以取序列列的第一一个数据据为初值值；如果果数据较较多，可可以取前前几期的的数据或或前一半半的数据据的平均均值作为为初值；也可以以用专家家估计方方法或其其它预测测方法预预测出的的第一期期数据作作为初值值；如对对初值的的选取把把握不大大，开始始时可选选取较大大的，以以减轻预预测值对对初值的的依赖，过过一段时时间后再再把值降降下来。例1 某仓仓库年月至月钻头的实实际使用用量如表表所示，要要求对年年月钻头头需求量量进行预预测。表 钻头头实际用用量表 单位：个月份1234567891011
29、12使用量273533373538484143493740解假设取上上年度（年）钻头使用的实际平均值作为年月份的初始预测值，即 ；取不同平滑系数，每个月的预测数据如表所示。表钻头实际际用量预测测用量对对照日 期期实 际 用用 量预 测 值2002年年1月2002年年2月2002年年3月2002年年4月2002年年5月2002年年6月2002年年7月2002年年8月2002年年9月2002年年10月月 273533373538484143493533.433.72233.58834.26634.41135.13337.70038.36639.29935313333353536.542.25541
30、.63342.3223528.633.72233.14436.23335.25537.45545.89941.98842.8002002年年11月月2002年年12月月374041.23340.38845.66641.33347.76639.1552003年年1月40.30040.67739.833二、二次指指数平滑滑法二次指数平平滑预测测法是对对一次指指数平滑滑值再作作一次指指数平滑滑来进行行预测的的一种方方法，但但第期预预测值并并非第期期的二次次指数平平滑值，而而是采用用下列计计算公式式进行预预测：其中：表示示第期的的一次指指数平滑滑值；表示第期的的二次指指数平滑滑值；表示第期实实际值；表
31、示第期预预测值；表示平滑系系数；。初值、的取取值方法法与的取取法相同同。例2 表中中第列数数据是某某股票在在个连续续交易日日的收盘盘价，试试用二次次指数平平滑法预预测第个个交易日日的收盘盘价。（，）表某股票价价格单位位：元116.41116.41116.41116.41100217.62216.89916.60016.4111.211.46316.15516.59916.60017.377-1.2221.49415.54416.17716.43316.577-1.0331.06517.24416.59916.49915.7331.512.28616.83316.68816.57716.855-
32、0.0220.00718.14417.26616.85516.8661.281.64817.05517.18816.98817.944-0.8990.79917.5118.72解利用公式式计算得得到的一、二二次平滑滑值如表表第3、44列所示示。因此 于是，有取，得到（元）故而得到第第9个交交易日收收盘价的的预测值值为177.511元。第四节 随随机时间间序列模模型随机时间序序列模型型是一种种精确度度较高的的短期预预测方法法。其基基本思想想是：某某些时间间序列是是依赖于于时间的的一组随随机变量量，构成成该序列列的单个个序列值值虽然具具有不确确定性，但但整个序序列的变变化却有有一定的的规律性性，可
33、以以用相应应的数学学模型近近似描述述。通过过对该数数学模型型的分析析研究，能能够更本本质地认识时时间序列列的结构构与特征征，达到到最小方方差意义义下的最最优预测测。本节节将对随随机时间间序列分分析的三三种模型型的模型型识别及及参数估估计作简简要的介介绍。一、自回归归模型若时间序列列为它的的前期值值和随机机项的线线性函数数，表示示为则称该时间间序列为为自回归归序列，该该模型为为阶自回回归模型型（Auuto-reggresssivve MModeel），记记为ARR。其中：参数数为自回回归参数数，是模模型的待待估参数数；随机项项是白噪噪声序列列（是互相相独立的的并且服从从均值为为、方差差为的正正态
34、分布布）；并且随随机项与与不相关关。为了表述上上式方便便引入滞滞后算子子，其意义义为，则模型可以以表示为为其中，进一步有令 则模型可写写为对自回归序序列考虑虑其平稳稳性条件件，可以以从最简简单的一一阶自回回归序列列进行分分析。假假设一阶阶自回归归序列的的模型为为，同样样，迭代代下去有有对于一阶自自回归序序列来讲讲，若系数的绝绝对值，则称这个个序列是是渐进平平稳的。对对于阶自自回归序序列来讲讲，如果果是平稳稳时间序序列，它它要求滞滞后算子子多项式式的特征征方程的所有根的的绝对值值皆大于于1。即即阶自回回归序列列的渐平平稳条件件为。二、滑动（移移动）平平均模型型若时间序列列中的为它它前期的的误差和
35、和随机项项的线性性函数，可可以表示示为则称该时间间序列为为滑动平平均序列列，该模模型为阶阶滑动（移移动）平平均模型型（Moovinng AAverragee Moodell），记记为MAA。参数数 为滑滑动平均均参数，是是模型的的待估参参数。引入滞后算算子，同样可以以写为令 则模型可写写为为使得MAA过程可可以转换换成一个个自回归归过程，需需要收敛敛。而收收敛的充充分必要要条件是是的特征征方程的所有根的的绝对值值皆大于于1,即即。这个个条件是是MA序列列的必须须满足的的可逆性性条件，而而且当这这个可逆逆性条件件满足时时，有限限阶自回回归序列列等价于于某个无无限阶移移动平均均序列。三、自回归归滑
36、动平平均模型型若时间序列列中为它的的当前值值与前期期的误差差和随机机项的线线性函数数，则可可以表示示为则称该时间间序列为为自回归归滑动平平均序列列。又由于于模型包包含项自自回归模模型和项项滑动平平均模型型，因此此该模型型称为自自回归滑滑动平均均模型（Autoo-reegreessiive Movvingg Avveraage Moddel），记为ARMA。参数为自回归参数，为滑动平均参数，是模型的待估参数。引入滞后算子，式可以表示为 对对于ARRMA模模型，其其平稳性性条件同同 ARR和MA。四、随机时时间序列列分析模模型（AAR，MMA，AARMAA）的识识别自回归滑动动平均模模型（AARM
37、AA）是随随机时间间序列分分析模型型的普遍遍形式，自自回归模模型（AAR）和和滑动平平均模型型（MAA）是它它的特殊殊情况。关关于这几几类模型型的研究究，是时时间序列列的重点点内容，本本节主要要介绍模模型的识识别的方方法和进进行模型型参数估估计时常常用的一一些方法法。1. 自相相关函数数和偏相相关函数数对于ARMMA模型型，在进进行参数数估计之之前，需需要进行行模型的的识别。识识别的基基本的任任务是找找出ARRMA、AR、MA模型型的具体体特征，最最主要的的是确定定模型的的阶，即即ARMMA中的的和，AR中的的以及MAA中的。识识别的方方法是利利用时间间序列样样本的自自相关函函数和偏偏相关函函
38、数。（1）ARR的自相相关函数数模型的自协方差差函数为为从而有自相相关函数数AR序列的的自相关关函数是是非截尾尾序列，或或称为拖拖尾序列列，所谓的的拖尾型型是指当当趋于无无穷大时时呈负指指数衰减减趋于零零。换句句话说AAR序列列的自相相关函数数不能在在某一步步之后为为零，而而是按负负指数率率衰减。自自相关函函数的拖拖尾现象象是ARR序列的的一个特特征。由，利用，得得到如下下方程组组：此方程组被被称为YYuleeWallkerr方程组组。若已已知模型型参数，可可求，然然后递推推下去，可可求得；反过来来，若已已知，模模型参数数通过求求解方程程组得到到。（2）MAA的自相相关函数数模型自相关函数数为
39、由此可见，当当时，与不相关关，并且且，这种现现象称为为截尾。换句话话说，可可以根据据自相关关系数是是否从某某一点开开始一直直为零来来判断MMA模型型的阶。（3）ARRMA的的自相关关函数ARMA的的自相关关函数可可以看作作MA的自自相关函函数和AAR的自自相关函函数的混混合。当当时，它它具有截截尾性质质；当时时，它具具有拖尾尾性质，当当都不为为零时，它它具有拖拖尾性质质。经过过推导得得到ARRMA的的自协方方差函数数为其中所以，当时时，ARMA的的自相关关函数为为可见，ARRMA的的自相关关函数，当当时，仅仅依赖于于模型参参数，以以及。（4）偏相相关函数数所谓偏相关关函数，是是随机序序列模型型
40、的另一一个统计计特征，它它是在已已知序列列值的条条件下，关关于之间间关系的的度量。下面以ARR为例认认识偏相相关函数数的定义义。假定定先以AAR去拟拟合一个个序列，然然后又用用AR去拟拟合，后后者比前前者增加加了一个个滞后变变量。如如果表示示后者的的自回归归系数，那那么相应应于滞后后变量的的系数就就是，称称为偏自自相关系系数。根根据ARR的拖尾尾性质以以及偏自自相关系系数的含含义，可可以采用用方差最最小原则则来求得得偏自相相关系数数由此得到AAR的主主要特征征是时，既既是在以后截截尾。对于ARMMA与MA模型型，可以以证明它它们的偏偏相关函函数是拖拖尾的。2. 模型型的识别别（1）ARR模型的
41、的识别。若若的偏自自相关函函数在以后截截尾，即即时，而而且它的的自相关关函数是是拖尾的的，则此此序列是是适合自回回归模型型的序列列。（2）MAA模型的的识别。若若随机序序列的自自相关函函数截尾尾，即自自以后，而它它的偏相相关函数数是拖尾尾的，则则此序列列是适合合滑动平平均模型型的序列列。（3）ARRMA模模型的识识别。若若随机序序列的自自相关函函数和偏偏相关函函数都是是拖尾的的，则此此序列是是适合自回回归滑动动平均模模型的序序列。至至于模型型中和的识别别，则要要从低阶阶开始逐逐步试探探，直到到定出合合适的模模型为止止。五、随机时时间序列列分析模模型（AAR，MMA，AARMAA）的参参数估计计
42、经过模型识识别，确确定了时时间序列列分析模模型的模模型结构构，接着着就可以以对模型型进行参参数估计计。ARR、MA、ARMMA模型型参数的估估计方法法较多，大大体上分分为三类类：最小小二乘估估计、矩矩估计和和利用自自相关函函数直接接估计。下下面有选选择地加加以介绍绍。1. ARR的最小小二乘估估计假设模型的的参数估估计值已已经得到到，有残差的平方方和为根据最小二二乘原理理，所要要求的参参数估计计值应该该使得达达到极小小。所以以它们应应该是下下列方程程组的解解：即解该方程组组，就可可得到待待估参数数的估计计值。2. MAA模型的的矩估计计将MA模型型的自协协方差函函数中的的各个量量用估计计值代替
43、，得得到利用实际时时间序列列提供的的信息，首首先求得得自协方方差函数数的估计计值，于于是是一一个包含含个待估估参数估估计值的的非线性性方程组组，可以以用直接接法或迭迭代法求求解。常常用的迭迭代法有有线性迭迭代法和和Newwtonn-Raaphssan迭迭代法。具具体的求求解过程程不再赘赘述，读读者可参参考其它它时间序序列分析析的教科科书。3.ARMMA模型型的矩估估计在ARMAA中共有有个待估估参数与与以及，其其估计量量计算步步骤及公公式如下下：（1）估计计其中是样本本的自相相关函数数的估计计值，由由观测数数据计算算得到。（2）改写写模型，求求及的估计计值将模型改写写为令 于是上式可可以写成成
44、构成一个MMA模型型。按照照估计MMA模型型参数的的估计方方法，可可以得到到及的估计计值。第五节 随随机时间间序列模模型应用用时间序列模模型的应应用是广广泛的，下下面通过过一个例例子探讨讨如何利利用样本本建立时时间序列列模型，并并通过时时间序列列模型对对某种经经济现象象进行分分析和预预测。一、时间序序列模型型的计算算公式设有模型，如如果表示示在已知知的条件件下，对对作出的的预测值值，称它它为步预预测，其其步预测测误差为为：并且最优的的预测值值就是其条件期期望值：假设有一平平稳可逆逆的ARMMA模型型，它可可以表示示为三种种等价形形式：其中：； 。如果考虑向向前步预预测，也也就是说说用第期及前期
45、的序列列观测值值，即对未未来时刻刻的序列列的值进进行估计计。假设以以时刻为为起点，步的预测值为，并假设显然这种预预测是线线性的，选选择系数数，使得预预测误差差的方差达达到最小小，即使使达到最最小。于于是就称称为线性性最小方方差预测测。由式式和有这样 由上式知当当时，预预测误差差的方差最最小，且且有由此可以看看出预测测误差同同预测的的起点无无关，而而是随增增大而增增大。这这样预测测值可表表示为：利用条件期期望的基基本性质质，不难难推导出出ARMMA模型型的预测测的更简简明的公公式。譬譬如：一步预测公公式：=其中是可计计算的观观测残差差。二步预测公公式：=类似的可以以求出33步直至至步预测测公式。步预测公式式为：=特别是当时时，则式式就为=二、时间序序列模型型的应用用例1ARMMA（11，1）模模型预测测值的计计算。假设模型为为已知的现在在值和时刻以以前的值值，求一一步预测测值和二二步预测测值。解根据上面面的公式式，我们们有利用在时刻刻的值以以及时刻刻以前的的值通过过所给定定的模型型来计算算。由于于所给的的模型满满足平稳稳可逆