组合数学课件ppt.ppt

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1、认识到了到了贫困困户贫困困的的根本原因根本原因，才才能能开始开始对对症症下下药，然，然后后药到病除到病除。近。近年年来来国家国家对对扶扶贫工作高度重工作高度重视，已已经经展开了展开了“精准扶精准扶贫”项目项目组合数学课件认识到了到了贫困困户贫困困的的根本原因根本原因，才才能能开始开始对对症症下下药，然，然后后药到病除到病除。近。近年年来来国家国家对对扶扶贫工作高度重工作高度重视，已已经经展开了展开了“精准扶精准扶贫”项目项目课程简介课程简介数学分数学分析析高高等等代代数数离散离散数学数学书名名：组合数学：组合数学（第（第三三版）版）作作者：者：孙淑玲淑玲 出出版社版社：中国科中国科学学技技术大

2、大学出学出版社版社 本本课程程针对对计计算算机机科科学学中中的的一一个个重重要要学学科科组组合合数数学学，组组合合数数学学是是数数学学的的一一个个分分支支，它它研研究究事事物物在在结定定模模式式下下的的配配置置，研研究究这这种种配配置置的的存存在在性性，所所有有可可能能配配置置的的计计数数和和分分类类以以及及配配置置的的各各种种性性质。组组合合数数学学在在计计算算机机科科学学中中有有着着极极其其广广泛泛的应的应用用。组合学问题求解方法组合学问题求解方法层出不出不穷、干、干变万万化，应化，应以以理解理解为基基础，善善于总于总结各各种种技巧技巧，掌握科掌握科学的组学的组织和推和推理方法。理方法。认

3、识到了到了贫困困户贫困困的的根本原因根本原因，才才能能开始开始对对症症下下药，然，然后后药到病除到病除。近。近年年来来国家国家对对扶扶贫工作高度重工作高度重视，已已经经展开了展开了“精准扶精准扶贫”项目项目目目录1 1引言引言第第1 1章章 排排列与列与组合组合 1.1 加法法则和乘法法则 1.2 排列 1.3 组合 1.4 二项式定理 1.5 组合恒等式及其含义 1.6 模型转换 本章小结 习题第第2 2章章 鸽笼原原理理 2.1 鸽笼原理 2.2 鸽笼原理的推广 2.3 Ramsey定理 本章小结 习题第第3 3章章 容斥原容斥原理理 3.1 容斥原理 3.2 重集r-组合 3.3 错排问

4、题 3.4 有限制排列 3.5*一般有限制排列 3.6*广义容斥原理 本章小结 习题第第4 4章章 母函母函数数 4.1 母函数的基本概念 4.2 母函数的基本运算 4.3 在排列组合中的应用 4.4 整数的拆分 4.5 Ferrers图目目录录认识到了到了贫困困户贫困困的的根本原因根本原因，才才能能开始开始对对症症下下药，然，然后后药到病除到病除。近。近年年来来国家国家对对扶扶贫工作高度重工作高度重视，已已经经展开了展开了“精准扶精准扶贫”项目项目目目录2 2 4.6*在组合恒等式中的应用 本章小结 习题第第5 5章章 递推关系推关系 5.1 递推关系的建立 5.2 常系数线性齐次递推关系

5、5.3 常系数线性非齐次递推关系 5.4 迭代法与归纳法 5.5 母函数在递推关系中的应用 5.6*典型的递推关系 本章小结 习题第第6 6章章 P P lyalya定理定理 6.1 群的概念 6.2 置换群 6.3 循环、奇循环与偶循环 6.4 Burnside引理 6.5 Plya定理 6.6 Plya定理的应用 6.7 母函数形式的Plya定理 6.8*图的计数 6.9*Plya定理的若干推广 本章小结 习题*课程程总总结注：加*的章节一般性了解认识到了到了贫困困户贫困困的的根本原因根本原因，才才能能开始开始对对症症下下药，然，然后后药到病除到病除。近。近年年来来国家国家对对扶扶贫工作高

6、度重工作高度重视，已已经经展开了展开了“精准扶精准扶贫”项目项目 存在性问题存在性问题 计数计数和枚和枚举 优化优化问题问题 构造性问题构造性问题 科科学的组学的组织 科科学的学的推推理理 古老古老 年年轻 练习 思考思考总总结 笔笔记认识到了到了贫困困户贫困困的的根本原因根本原因，才才能能开始开始对对症症下下药，然，然后后药到病除到病除。近。近年年来来国家国家对对扶扶贫工作高度重工作高度重视，已已经经展开了展开了“精准扶精准扶贫”项目项目组合数学组合数学研究研究的的心心问题问题是按照是按照一定的一定的规则则来安来安排有限多个对排有限多个对象象 如果人们想把有限多个对象按照它们所应满足的条件来

7、进行安排，当符合要求的安排并非显然存在或显然不存在时，首要的问题就是要证明或者否定它的存在。这就是存在性问题。如果所要求的安排存在，则可能有多种不同的安排，这又经常给人们提出这样的问题：有多少种可能的安排方案？如何对安排的方案进行分类？这就是计数问题。如果一个组合问题有解，则往往需要给出求其某一特定解的算法，这就是所谓的构造性问题。如果算法很多，就需要在一定的条件下找出一个或者几个最优或近乎最优的安排方案，这就是优化问题。认识到了到了贫困困户贫困困的的根本原因根本原因，才才能能开始开始对对症症下下药，然，然后后药到病除到病除。近。近年年来来国家国家对对扶扶贫工作高度重工作高度重视，已已经经展开

8、了展开了“精准扶精准扶贫”项目项目本章重点介本章重点介绍以以下的下的基本基本计数方法：计数方法：加加法法则法法则和乘和乘法法则法法则 排排列列 组合组合 二项式定理的应二项式定理的应用用 组合恒等式组合恒等式认识到了到了贫困困户贫困困的的根本原因根本原因，才才能能开始开始对对症症下下药，然，然后后药到病除到病除。近。近年年来来国家国家对对扶扶贫工作高度重工作高度重视，已已经经展开了展开了“精准扶精准扶贫”项目项目 相相互互独独立立的的事事件件 A A、B B 分分别别有有 k k 和和 l l 种种方方法法产生生，则则产生生 A A 或或 B B 的的方方法数法数为 k k+l l 种。种。1

9、.1 法法则1.1.11.1.1法法则法法则若若|A A|=k k，|B B|=l l，且且A AB B=，则则|A AB B|=k k+l l。设设S S是有限集合，若是有限集合，若，且且时，时，则有，则有。认识到了到了贫困困户贫困困的的根本原因根本原因，才才能能开始开始对对症症下下药，然，然后后药到病除到病除。近。近年年来来国家国家对对扶扶贫工作高度重工作高度重视，已已经经展开了展开了“精准扶精准扶贫”项目项目1.1 法法则11.1.11.1.1法法则法法则例例1 1、有有一一所所学学校校给给一一名名物物理理竞赛优优胜者者发奖，奖品品有有三三类类，第第一一类类是是三三种种不不同同版版本本的

10、的法法汉词典典；第第二二类类是是四四种种不不同同类类型型的的物物理理参参考考书；第第三三类类是是二二种种不不同同的的奖杯杯。这这位位优优胜者者只只能能挑挑选一一样样奖品品。那那么么，这这位位优优胜者者挑挑选奖品品的方法有多少种？的方法有多少种？解解：设设S S是是所所有有这这些些奖品品的的集集合合，S Si i是是第第i i类类奖品品的的集集合合(i i=1,2,=1,2,3 3)，显然，显然，S Si i S Sj j=(i ij j)，根据加根据加法法法则法则有有认识到了到了贫困困户贫困困的的根本原因根本原因，才才能能开始开始对对症症下下药，然，然后后药到病除到病除。近。近年年来来国家国家

11、对对扶扶贫工作高度重工作高度重视，已已经经展开了展开了“精准扶精准扶贫”项目项目1.1 法法则231.1.11.1.1法法则法法则例例2 2、大大于于0 0小小于于1010的的奇奇偶偶数数有多少个？有多少个？例例3 3、小小于于2020可可被被2 2或或3 3整整除除的的自自然然数有多少个？数有多少个？解解：设设S S是是符符合合条条件件数数的的集集合合，S S1 1、S S2 2分分别别是是符符合合条条件件的的奇奇数数、偶、偶数集合，显然，数集合，显然，S S1 1 S S2 2=，根据加根据加法法法则法则有有认识到了到了贫困困户贫困困的的根本原因根本原因，才才能能开始开始对对症症下下药，然

12、，然后后药到病除到病除。近。近年年来来国家国家对对扶扶贫工作高度重工作高度重视，已已经经展开了展开了“精准扶精准扶贫”项目项目若若|A A|=k k，|B B|=l l，A A B B=(a a,b b)|a aA A，b bB B，则，则|A A B B|=k k l l。1.1 法法则1.1.21.1.2法法则法法则 相相互互独独立立的的事事件件 A A、B B 分分别别有有 k k 和和 l l 种种方方法法产生生，则则选取取A A以以后后再再选取取B B 的方法数的方法数为 k kl l 种。种。设设 是有限集合，是有限集合，且且，则有，则有。认识到了到了贫困困户贫困困的的根本原因根本

13、原因，才才能能开始开始对对症症下下药，然，然后后药到病除到病除。近。近年年来来国家国家对对扶扶贫工作高度重工作高度重视，已已经经展开了展开了“精准扶精准扶贫”项目项目1.1 法法则41.1.21.1.2法法则法法则例例4 4、从从A A 地地到到B B地地有有二二条条不不同同的的道道路路，从从B B地地到到C C地地有有四四条条不不同同的的道道路路，而而从从C C地地到到D D地地有有三三条条不不同同的的道道路路。求求从从A A地地经经B B、C C两地到达两地到达D D地地的的道路道路数。数。解解：设设S S是是所所求求的的道道路路数数集集合合，S S1 1、S S2 2、S S3 3分分别

14、别是是从从A A到到B B、从从B B到到C C、从、从C C到到D D的的道路道路集合，集合，根据乘根据乘法法法则法则有有认识到了到了贫困困户贫困困的的根本原因根本原因，才才能能开始开始对对症症下下药，然，然后后药到病除到病除。近。近年年来来国家国家对对扶扶贫工作高度重工作高度重视，已已经经展开了展开了“精准扶精准扶贫”项目项目1.1 法法则51.1.21.1.2法法则法法则例例5 5、由由数数字字1,2,1,2,3 3,4,5,4,5可可以以构构成成多多少少个个所有数所有数字互字互不不相相同的同的四四位位偶偶数？数？解解：所所求求的的是是四四位位偶偶数数，故故个个位位只只能能选2 2或或4

15、 4，有有两两种种选择方方法法；又又由由于于要要求求四四位位数数字字互互不不相相同同，故故个个位位选中中后后，十十位位只只有有四四种种选择方方法法；同同理理，百百位位、千千位位分分别别有有三三种种、两两种种选择方方法法，根根据据乘乘法法法法则则，四四位位数数互互不不相相同同的的偶偶数数个数个数为2 2 4 4 3 3 2=482=48认识到了到了贫困困户贫困困的的根本原因根本原因，才才能能开始开始对对症症下下药，然，然后后药到病除到病除。近。近年年来来国家国家对对扶扶贫工作高度重工作高度重视，已已经经展开了展开了“精准扶精准扶贫”项目项目1.1 法法则61.1.21.1.2法法则法法则例例6

16、6、求求出出从从8 8个个计计算算机机系系的的学学生生、9 9个个数数学学系系的的学学生生和和1010个个经经济系系的的学学生生中中选出出两两个不同个不同专业的学的学生生的方法数。的方法数。解：解：由由乘乘法法法则法则有有选一个计算一个计算机系和机系和一个数学一个数学系系的方法数的方法数为8 89=729=72选一个数学一个数学系和系和一个经一个经济系系的方法数的方法数为9 91010=90=90选一个经一个经济系和系和一个计算一个计算机系机系的方法数的方法数为10108=808=80由由加加法法法则法则，符合要求的方法数，符合要求的方法数为72+90+80=24272+90+80=242认识

17、到了到了贫困困户贫困困的的根本原因根本原因，才才能能开始开始对对症症下下药，然，然后后药到病除到病除。近。近年年来来国家国家对对扶扶贫工作高度重工作高度重视，已已经经展开了展开了“精准扶精准扶贫”项目项目1.1 集的1.1.1.1.3 3 计数问题的分类计数问题的分类 有有序序安排或有安排或有序序选择允允许重复重复/不不允允许重复重复 无序无序安排或安排或无序无序选择允允许重复重复/不不允允许重复重复 标准准集的特性：集的特性：确确定定、无序、无序、相异相异等。等。重重集：集：B B=k k1 1*b*b1 1,k,k2 2*b*b2 2,k kn n*b*bn n，其，其中中：b bi i为

18、n n个个互互不不相相同同的的元素元素，称称 k ki i为b bi i的的重重数数，i i=1,2,=1,2,n n，n n=1,2,=1,2,，k ki i=1,2,=1,2,。认识到了到了贫困困户贫困困的的根本原因根本原因，才才能能开始开始对对症症下下药，然，然后后药到病除到病除。近。近年年来来国家国家对对扶扶贫工作高度重工作高度重视，已已经经展开了展开了“精准扶精准扶贫”项目项目1.2 排1.2.11.2.1排排从从n n个不同个不同元素中元素中，取取r r个个(0(0 r r n n)按一定按一定顺序序排排列起列起来，其排来，其排列列数数P P(n n,r r)。设设A A=a an

19、 n ，从从A A中中选择r r个个(0(0 r r n n)元素元素排排列起列起来，来，A A的的r r 有有序子序子集，集，A A的的r r 排排列列。如如n n,r rZ Z且且n n r r 0,0,P P(n n,r r)=)=n n!/(!/(n-rn-r)!)!。如如n n=r r，称全称全排排列列P P(n n,n n)=)=n n!；如如n nr r,P P(n n,r r)=0)=0；如；如r r=0,=0,P P(n n,r r)=1)=1。证证明明：构构造造集集合合A A的的r r 排排列列时时，可可以以从从A A的的n n各各元元素素中中任任选一一个个作作为排排列列的

20、的第第一一项项，有有n n种种选法法；第第一一项项选定定后后从从剩剩下下的的n n-1 1个个元元素素中中选排排列列的的第第二二项项有有n n-1 1种种选法法；由由此此类类推推，第第r r项有项有n n-r r+1+1种种选法。法。根据乘根据乘法法法则法则有有认识到了到了贫困困户贫困困的的根本原因根本原因，才才能能开始开始对对症症下下药，然，然后后药到病除到病除。近。近年年来来国家国家对对扶扶贫工作高度重工作高度重视，已已经经展开了展开了“精准扶精准扶贫”项目项目1.2 排11.2.11.2.1排排推推论1.1.11.1.1：如如n n,r rN N且且n n r r 2 2，则，则P P(

21、n n,r r)=)=n nP P(n-n-1 1,r-r-1)1)。证证明明：在在集集合合A A的的n n个个元元素素中中，任任一一个个元元素素都都可可以以排排在在它它的的r r 排排列列首首位位，故故首首位位有有n n种种取取法法；首首位位取取定定后后，其其他他位位置置的的元元素素正正好好是是从从A A的的另另n n-1 1个个元元素素中中取取r r-1 1个个的的排排列列，因此因此有有P P(n n-1,1,r r-1)1)种种取取法。由法。由乘乘法法则有法法则有P P(n n,r r)=)=n nP P(n-n-1 1,r-r-1)1)证证毕。认识到了到了贫困困户贫困困的的根本原因根本

22、原因，才才能能开始开始对对症症下下药，然，然后后药到病除到病除。近。近年年来来国家国家对对扶扶贫工作高度重工作高度重视，已已经经展开了展开了“精准扶精准扶贫”项目项目1.2 排21.2.11.2.1排排推推论1.1.11.1.1：如如n n,r rN N且且n n r r 2 2，则，则P P(n n,r r)=)=n nP P(n-n-1 1,r-r-1)1)。推推论1.1.21.1.2：如如n n,r rN N且且n n r r 2 2，则，则P P(n n,r r)=)=r rP P(n-n-1 1,r-r-1)+1)+P P(n-n-1 1,r r)。证证明明：当当r r 2 2时时，

23、把把集集合合A A的的r r 排排列列分分为两两大大类类：一一类类包包含含A A中中的的某某个个固固定定元元素素，不不妨妨设设为a a1 1，另另一一类类不不包包含含a a1 1。第第一一类类排排列列相相当当于于先先从从A A-a a1 1 中中取取r r-1 1个个元元素素进进行行排排列列，有有P P(n n-1,1,r r-1)1)种种取取法法，再再将将a a1 1放放入入每每一一个个上上述述排排列列中中，对对任任一一排排列列，a a1 1都都有有r r种种放放法法。由由乘乘法法法法则则，第第一一类类排排列列共共有有r rP P(n-n-1 1,r-r-1)1)个个。第第二二类类排排列列实

24、质上上是是A A-a a1 1 的的r r 排排列列，共共有有P P(n-n-1 1,r r)个个。再再由由加加法法则有法法则有P P(n n,r r)=)=r rP P(n-n-1 1,r-r-1)+1)+P P(n-n-1 1,r r)证证毕。认识到了到了贫困困户贫困困的的根本原因根本原因，才才能能开始开始对对症症下下药，然，然后后药到病除到病除。近。近年年来来国家国家对对扶扶贫工作高度重工作高度重视，已已经经展开了展开了“精准扶精准扶贫”项目项目1.2 排11.2.11.2.1排排例例1 1、由由数数字字1,2,1,2,3 3,4,5,4,5可可以以构构成成多多少少个个所所有有数数字字互

25、互不不相相同同的的四四位位数数？解解：由由于于所所有有的的四四位位数数字字互互不不相相同同，故故每每一一个个四四位位数数就就是是集集合合 1,2,1,2,3 3,4,5,4,5 的的一一个个4 4 排排列列，因因而而所所求求的的四四位位数数个个数数为认识到了到了贫困困户贫困困的的根本原因根本原因，才才能能开始开始对对症症下下药，然，然后后药到病除到病除。近。近年年来来国家国家对对扶扶贫工作高度重工作高度重视，已已经经展开了展开了“精准扶精准扶贫”项目项目1.2 排21.2.11.2.1排排例例 2 2、将将 具具 有有 9 9个个 字字 母母 的的 单 词FRAGMENTSFRAGMENTS进

26、进行行排排列列，要要求求字字母母A A总总是是紧跟跟在在字字母母R R的的右右边，问问有有多多少少种种这这样样的的排排法法？如如果果再再要要求求字字母母M M和和N N必必须相相邻呢呢？解解：由由于于A A总总是是R R的的右右边，故故这这样样的的排排列列相相当当于于是是8 8个个元元素素的集合的集合F F,RARA,G G,M M,E E,N N,T T,S S的一个的一个全全排排列列，个数，个数为如如果果再再要要求求M M和和N N必必须相相邻，可可先先把把M M和和N N看看成成一一个个整整体体=MM,NN，进进行行7 7个个元元素素的的集集合合F F,RARA,G G,E E,T T,

27、S S,的的全全排排列列，在在每每一一个个排排列列中中再再进进行行 MM,NN的的全全排排列列，由由乘乘法法法法则，排则，排列列个数个数为认识到了到了贫困困户贫困困的的根本原因根本原因，才才能能开始开始对对症症下下药，然，然后后药到病除到病除。近。近年年来来国家国家对对扶扶贫工作高度重工作高度重视，已已经经展开了展开了“精准扶精准扶贫”项目项目1.2 排31.2.11.2.1排排例例3 3、有有多多少少个个5 5位位数数，每每位位数数字字都都不不相相同同，不不能能取取0 0，且且数数字字7 7和和9 9不不能能相相邻？解解：由由于于所所有有的的5 5位位数数字字互互不不相相同同，且且不不能能取

28、取0 0，故故每每一一个个5 5位位数数就就是是集集合合 1,2,91,2,9 的的一一个个5 5-排排列列，其其排排列列数数为P P(9,5)(9,5)，其其中中7 7和和9 9相相邻的的排排列列数数为c c(7,(7,3 3)4!2)4!2 4 42 2P P(7,(7,3 3)，满足题目要求的满足题目要求的5 5位数个数位数个数为认识到了到了贫困困户贫困困的的根本原因根本原因，才才能能开始开始对对症症下下药，然，然后后药到病除到病除。近。近年年来来国家国家对对扶扶贫工作高度重工作高度重视，已已经经展开了展开了“精准扶精准扶贫”项目项目1.2 排1.2.21.2.2排排设设A A=a an

29、 n ，从从A A中中取取r r个个(0(0r rn n)元元素素按按某某种种顺序序（如如逆逆时时针）排排成成一一个个圆圈圈，称称为圆排排列（循列（循环排排列）列）。设设A A=a an n，A A的的r r圆排排列列个数个数为P P(n n,r r)/r r。证证明明：由由于于把把一一个个圆排排列列旋旋转所所得得到到另另一一个个圆排排列列视为相相同同的的圆排排列列，因因此此线排排列列a a1 1a a2 2a ar r，a a2 2a a3 3a ar ra a1 1，a ar ra a1 1a a2 2a ar r-1 1在在圆排排列列中中是是一一个个，即即一一个个圆排排列列可可产生生r

30、r个个不不同同的的线排排列列；同同理理，r r个个不不同同的的线排排列列对对应应一一个个圆排排列列。而而总总共共有有P P(n n,r r)个个线排排列列，故，故圆排排列列的个数的个数为P P(n n,r r)/)/r r=n n!/(!/(r r(n-rn-r)!)!)证证毕。认识到了到了贫困困户贫困困的的根本原因根本原因，才才能能开始开始对对症症下下药，然，然后后药到病除到病除。近。近年年来来国家国家对对扶扶贫工作高度重工作高度重视，已已经经展开了展开了“精准扶精准扶贫”项目项目1.2 排41.2.21.2.2排排例例4 4、有有8 8人人围圆桌桌就就餐餐，问问有有多多少少种种就就座座方方

31、式式？如如果果有有两两人人不不愿愿坐坐在在一一起起，又有多少种就又有多少种就座座方式？方式？解解：由由上上述述定定理理知知8 8人人围圆桌桌就就餐餐，有有8!/8=7!=50408!/8=7!=5040种种就就座座方式。方式。又又有有两两人人不不愿愿坐坐在在一一起起，不不妨妨设设此此二二人人为A A、B B，当当A A、B B坐坐在在一一起起时时，相相当当于于7 7人人围圆桌桌就就餐餐，有有7!/7=6!7!/7=6!种种就就座座方方式式。而而A A、B B坐坐在在一一起起时时，又又有有两两种种情情况况，或或者者A A在在B B的的左左面面，或或者者A A在在B B的的右右面面，因因此此A A

32、、B B坐坐在在一一起起时时，共共有有2 26!6!种种就就座座方方式式，因因此此如如果果有有两两人人不不愿愿坐坐在在一一起起，就就座座方式方式为7!7!-2 26!=6!=5 56!=6!=3 3600600认识到了到了贫困困户贫困困的的根本原因根本原因，才才能能开始开始对对症症下下药，然，然后后药到病除到病除。近。近年年来来国家国家对对扶扶贫工作高度重工作高度重视，已已经经展开了展开了“精准扶精准扶贫”项目项目1.2 排51.2.21.2.2排排例例5 5、4 4男男4 4女女围圆桌桌交交替替就就座座有有多多少种就少种就座座方式？方式？解解：显显然然，这这是是一一个个圆排排列列问问题题。首

33、首先先让4 4个个男男的的围圆桌桌就就座座，有有4!/4=4!/4=3 3!种种就就座座方方式式。因因为要要求求男男女女围圆桌桌交交替替就就座座，在在男男的的坐坐定定后后，两两两两之之间均均需需留留有有一一个个空空位位，女女的的就就座座相相当当于于一一个个4 4元元素素集集合合的的全全排排列列，就就座座方方式式数数为4!4!。由。由乘乘法法则法法则知知，就，就座座方式数方式数为3 3!4!=1444!=144认识到了到了贫困困户贫困困的的根本原因根本原因，才才能能开始开始对对症症下下药，然，然后后药到病除到病除。近。近年年来来国家国家对对扶扶贫工作高度重工作高度重视，已已经经展开了展开了“精准

34、扶精准扶贫”项目项目1.2 排1.2.1.2.3 3 排排从从n n个不同个不同元素中元素中，可，可重复重复选取取r r个按个按一定一定顺序序排排列起列起来，来，称称为重重排排列列。从重从重集集B B=k k1 1*b*b1 1,k,k2 2*b*b2 2,k,kn n*b*bn n 中中选取取r r个按一定个按一定顺序序排排列起列起来。来。重重集集B B=*b b1 1,*b b2 2,*b bn n 的的r r 排排列列的个数的个数为n nr r。证证明明：构构造造B B的的r r 排排列列如如下下：选择第第一一项项时时可可从从n n个个元元素素中中任任选一一个个，有有n n种种选法法，选

35、择第第二二项项时时由由于于可可以以重重复复选取取，仍仍有有n n种种选法法，同同理理，选择第第r r项项时时仍仍有有n n种种选法，法，根据乘根据乘法法则，可法法则，可得得出出r r 排排列列的个数的个数为n nr r。证证毕。认识到了到了贫困困户贫困困的的根本原因根本原因，才才能能开始开始对对症症下下药，然，然后后药到病除到病除。近。近年年来来国家国家对对扶扶贫工作高度重工作高度重视，已已经经展开了展开了“精准扶精准扶贫”项目项目1.2 排61.2.1.2.3 3 排排例例6 6、由由数数字字1,2,1,2,3 3,4,5,6,4,5,6这这六六个个数数字字能能组组成成多多少少个个五五位位数

36、数？又又可可组组成成多多少少大大于于3 345004500的五位数？的五位数？解解：一一个个五五位位数数的的各各位位数数字字可可重重复复出出现，是是一一个个典典型型的的重重排排列列问问题题，相相当当于于重重集集B B=*1,1,*2,2,*6 6 的的55排排列列，所求的五位数个数，所求的五位数个数为6 65 5=7776=7776。大大于于3 345004500的五位数可由下的五位数可由下面面三种三种情况情况组成：组成：万万位位选4,5,64,5,6中中的的一一个个，其其余余4 4位位相相当当于于重重集集B B的的44排排列列，由由乘乘法法则法法则知知，共共有有3 3 6 64 4个五位数；

37、个五位数；万万位位是是3 3，千千位位5,65,6中中的的一一个个，其其余余3 3位位相相当当于于重重集集B B的的3 3 排排列列，由，由乘乘法法则法法则知知，共共有有2 2 6 63 3个五位数；个五位数；万万位位是是3 3，千千位位4 4中中的的一一个个，百百位位选5,65,6中中的的一一个个，其其余余2 2位位相相当当于于重重集集B B的的22排排列列，由由乘乘法法法法则则知知，共共有有2 2 6 62 2个五位数；个五位数；由由加加法法则法法则知知，大大于于3 345004500的五位数个数的五位数个数为3 36 64 4+2 26 63 3+2 26 62 2=4=43 39292

38、认识到了到了贫困困户贫困困的的根本原因根本原因，才才能能开始开始对对症症下下药，然，然后后药到病除到病除。近。近年年来来国家国家对对扶扶贫工作高度重工作高度重视，已已经经展开了展开了“精准扶精准扶贫”项目项目1.2 排计数1.2.1.2.3 3 排排重重集集B B=n n1 1*b*b1 1,n n2 2*b*b2 2,n nk k*b*bk k 的的全全排排列列个数个数为证证明明：将将B B中中的的n ni i个个b bi i看看作作不不同同的的n ni i个个元元素素，赋予予上上标1,2,1,2,n ni i，即即 ，如如此此，重重集集B B就就变成成具具有有n n1 1+n n2 2+n

39、 nk k=n n个不同的个不同的元素元素集合集合显然，集合显然，集合A A的的全全排排列列个数个数为n n!。又又由由于于n ni i个个b bi i赋予予上上标的的方方法法有有n ni i!种种，于于是是对对重重集集B B的的任任一一个个全全排排列列，都都可可以以产生生集集合合A A的的n n1 1!n n2 2!n nk k!个个排排列列（由由乘乘法法则法法则），故，故重重集集B B的的全全排排列列个数个数为证证毕。注：注：利用利用组合数的计数方法同样可组合数的计数方法同样可以得以得出证明。出证明。认识到了到了贫困困户贫困困的的根本原因根本原因，才才能能开始开始对对症症下下药，然，然后后

40、药到病除到病除。近。近年年来来国家国家对对扶扶贫工作高度重工作高度重视，已已经经展开了展开了“精准扶精准扶贫”项目项目1.2 排71.2.1.2.3 3 排排例例6 6、有有四四面面红旗旗，三三面面蓝旗旗，二二面面黄黄旗旗，五五面面绿旗旗可可以以组组成成多多少少种种由由1414面旗子面旗子组成的一排组成的一排彩旗彩旗？解：解：这是一个这是一个重重排排列列问题，是求问题，是求重重集集 4 4*红旗旗,3*3*蓝旗旗,2,2*黄黄旗旗,5,5*绿旗旗 的的全全排排列列个数，个数，根据根据定理，一排定理，一排彩旗彩旗的种数的种数为认识到了到了贫困困户贫困困的的根本原因根本原因，才才能能开始开始对对症

41、症下下药，然，然后后药到病除到病除。近。近年年来来国家国家对对扶扶贫工作高度重工作高度重视，已已经经展开了展开了“精准扶精准扶贫”项目项目1.2 排81.2.1.2.3 3 排排例例8 8、用用字字母母A A、B B、C C组组成成五五个个字字母母的的符符号号，要要求求在在每每个个符符号号里里，A A至至多多出出现2 2次次，B B至至多多出出现1 1次次，C C至至多多出出现3 3次次，求，求此此类符类符号号的个数。的个数。解：解：这也是一个这也是一个重重排排列列问题。问题。根据根据分分析析，符合题意的符，符合题意的符号号个数个数相相当于求当于求重重集集M M=2 2*A*A,1,1*B*B

42、,3*3*C C 的的5 5 排排列列个数，可分个数，可分为三种三种情况情况：需要分别求：需要分别求M M-A-A、M M-B-B和和M M-C C 的的全全排排列列个数。个数。根据加根据加法法则，法法则，此此类符类符号号个数个数为认识到了到了贫困困户贫困困的的根本原因根本原因，才才能能开始开始对对症症下下药，然，然后后药到病除到病除。近。近年年来来国家国家对对扶扶贫工作高度重工作高度重视，已已经经展开了展开了“精准扶精准扶贫”项目项目1.2 项排1.2.41.2.4项排项排对对圆排排列列，通通过转动、平移、翻、平移、翻转、可可重重合的，合的，即即可可看作看作项项链排排列列。如如n n个不同个

43、不同元素元素的的r r 项项链排排列列个数个数为P P(n n,r r)/(2)/(2r r)，具具体参体参照照P P lyalya定理定理。认识到了到了贫困困户贫困困的的根本原因根本原因，才才能能开始开始对对症症下下药，然，然后后药到病除到病除。近。近年年来来国家国家对对扶扶贫工作高度重工作高度重视，已已经经展开了展开了“精准扶精准扶贫”项目项目1.3 组合1.1.3 3.1.1组合组合设设A A=a an n，从从A A中中选择r r个个(0(0r rn n)元素元素组合组合起起来，来，A A的的r r 无序子无序子集，集，A A的的r r 组合。组合。如如r rn n，有，有C C(n

44、n,r r)=)=P P(n n,r r)/)/r r!=!=n n!/(!/(r r!(!(n-rn-r)!)!)。如如n nr r=0=0，C C(n n,r r)=1)=1；如如n nr r，C C(n n,r r)=0)=0。从从n n个不同个不同元素中元素中，取取r r个个(0(0r rn n)不不考考虑顺序序组合组合起起来，其组合数来，其组合数C C(n n,r r)或或。证证明明：从从n n个个不不同同元元素素中中取取r r个个元元素素的的组组合合数数为C C(n n,r r)，而而r r个个元元素素可可组组成成r r!个个r r 排排列列，即即一一个个r r 组组合合对对应应r

45、 r!个个r r 排排列列。于于是是C C(n n,r r)个个r r 组组合合对对应应r r!C C(n n,r r)个个r r 排排列列，这这是是从从n n个个不不同同元素中取元素中取r r个个元素元素的的r r 排排列列数数P P(n n,r r)，因此因此有有认识到了到了贫困困户贫困困的的根本原因根本原因，才才能能开始开始对对症症下下药，然，然后后药到病除到病除。近。近年年来来国家国家对对扶扶贫工作高度重工作高度重视，已已经经展开了展开了“精准扶精准扶贫”项目项目1.3 组合11.1.3 3.1.1组合组合推推论1.5.11.5.1：C C(n n,r r)=)=C C(n n,n-r

46、n-r)证证明明：实际上上，从从n n个个不不同同元元素素中中选出出r r个个元元素素的的同同时时，就就有有n-rn-r个个元元素素没没有有被被选出出，因因此此选出出r r个个元元素素的的方方式式数数等于等于选出出n-rn-r个个元素元素的方式数，的方式数，即即C C(n n,r r)=)=C C(n n,n-rn-r)。得得证。证。另外另外，也可，也可通通过计算计算得得出证明如下出证明如下认识到了到了贫困困户贫困困的的根本原因根本原因，才才能能开始开始对对症症下下药，然，然后后药到病除到病除。近。近年年来来国家国家对对扶扶贫工作高度重工作高度重视，已已经经展开了展开了“精准扶精准扶贫”项目项

47、目1.3 组合21.1.3 3.1.1组合组合推推论1.5.11.5.1：C C(n n,r r)=)=C C(n n,n-rn-r)推推论1.5.2(1.5.2(PascalPascal公公式式)：C C(n n,r r)=C C(n-n-1 1,r r)+)+C C(n-n-1 1,r-r-1)1)证证明明：利利用用组组合合分分析析法法。在在集集合合A A的的n n个个不不同同元元素素中中固固定定一一个个元元素素，不不妨妨设设为a a1 1，从从n n个个元元素素中中选出出r r个个元元素素的的组组合由下合由下面两面两种种情况情况组成：组成：r r个个元元素素中中包包含含a a1 1。相相

48、当当于于从从除除去去a a1 1的的n-n-1 1个个元元素素中中选出出r-r-1 1个个元元素素的的组组合合，再再加加上上a a1 1而而得得到到，组组合合数数为C C(n-n-1 1,r-r-1)1)；r r个个元元素素中中不不包包含含a a1 1。相相当当于于从从除除去去a a1 1的的n-n-1 1个个元元素素中中选出出r r个个元素元素的组合的组合而得到而得到，组合数，组合数为C C(n-n-1 1,r r)。由由加加法法则法法则即得即得C C(n n,r r)=)=C C(n-n-1 1,r r)+)+C C(n-n-1 1,r-r-1)1)另外另外，也可，也可通通过计算计算得得出

49、证明如下出证明如下认识到了到了贫困困户贫困困的的根本原因根本原因，才才能能开始开始对对症症下下药，然，然后后药到病除到病除。近。近年年来来国家国家对对扶扶贫工作高度重工作高度重视，已已经经展开了展开了“精准扶精准扶贫”项目项目1.3 组合31.1.3 3.1.1组合组合推推论1.5.11.5.1：C C(n n,r r)=)=C C(n n,n-rn-r)推推论1.5.2(1.5.2(PascalPascal公公式式)：C C(n n,r r)=)=C C(n-n-1 1,r r)+)+C C(n-n-1 1,r-r-1)1)推推论1.5.1.5.3 3：C C(n n,r r)=)=C C(

50、n-n-1 1,r-r-1)+1)+C C(n-n-2 2,r-r-1)+1)+C C(r-r-1 1,r-r-1)1)证明：证明：反复利用反复利用PascalPascal公公式，式，即即可证明。可证明。或或利用利用组合分组合分析析法，在集合法，在集合A A=a an n 的的n n个不同个不同元素元素选出出r r个个元素元素的的组合可分组合可分为以以下多种下多种情况情况：如如r r个个元素中包含元素中包含a a1 1，相相当于当于从除去从除去a a1 1的的n-n-1 1个个元素中元素中选出出r-r-1 1个个元素元素的组合，的组合，再加上再加上a a1 1而得到而得到，组合数，组合数为C