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1、3.1 复积分的概念复积分的概念一、复积分的定义一、复积分的定义二、积分存在的条件及其计算法二、积分存在的条件及其计算法三、积分的性质三、积分的性质一、复积分的定义一、复积分的定义1.有向曲线有向曲线:设设C为平面上给定的一条光滑为平面上给定的一条光滑(或按段光滑或按段光滑)曲曲线线,如果选定如果选定C的两个可能方向中的一个作为正方的两个可能方向中的一个作为正方向向(或正向或正向),),那么我们就把那么我们就把C理解为带有方向的曲理解为带有方向的曲线线,称为称为有向曲线有向曲线.如图所示：如图所示：如果如果A到到B作为曲线作为曲线C的正向的正向,那么那么B到到A就是曲线就是曲线C的负向的负向,
2、一般一般:曲线曲线C的正方向总是指从起点到终点的方向的正方向总是指从起点到终点的方向.那么终点到起点的方向就是曲线那么终点到起点的方向就是曲线C的负向的负向,记为记为C-闭曲线方向的定义闭曲线方向的定义:逆时针方向为正方向逆时针方向为正方向,单连通区域的边界线单连通区域的边界线C C的正向沿的正向沿逆时针方向；逆时针方向；顺时针方向为负方向，顺时针方向为负方向，对区域的边界线对区域的边界线C C而言而言,C C的正向是指当曲线上的点的正向是指当曲线上的点P P沿此方向前进时沿此方向前进时,C,C所围区域始终在所围区域始终在 P P点的左方。点的左方。多连通区域的外边界线多连通区域的外边界线C
3、C的正向沿的正向沿逆时针方向；逆时针方向；内边界线内边界线C C1 1的正向沿的正向沿顺时针方向；顺时针方向；2.复积分的定义复积分的定义:关于定义的说明关于定义的说明:二、积分存在的条件及其计算方法二、积分存在的条件及其计算方法1.存在的条件存在的条件2.积分表示式积分表示式从形式上来看从形式上来看3.积分的计算方法积分的计算方法在今后讨论的积分中在今后讨论的积分中,总假定被积函数是连续的总假定被积函数是连续的,曲线曲线 C 是按段光滑的是按段光滑的.例例1 解解(1)积分路径的参数方程为积分路径的参数方程为y=x(2)积分路径的参数方程为积分路径的参数方程为y=xy=x(3)积分路径由两段
4、直线段构成积分路径由两段直线段构成x轴上直线段的参数方程为轴上直线段的参数方程为1到到1+i直线段的参数方程为直线段的参数方程为这两个积分都与积分路径这两个积分都与积分路径C 无关无关,只与积分路径的起点和终点有关只与积分路径的起点和终点有关都有都有例例1说明积分与积分路径无关说明积分与积分路径无关y=x例例2 解解(1)积分路径的参数方程为积分路径的参数方程为y=x(2)积分路径的参数方程为积分路径的参数方程为y=xy=x(3)积分路径由两段直线段构成积分路径由两段直线段构成x轴上直线段的参数方程为轴上直线段的参数方程为1到到1+i直线段的参数方程为直线段的参数方程为此例此例说明积分与路线有
5、关说明积分与路线有关注：注：例例3 解解C的参数方程为的参数方程为重要结论重要结论：积分值与积分路径：即圆的中心和半径无关：积分值与积分路径：即圆的中心和半径无关.三、积分的性质三、积分的性质复积分与实变函数的定积分有类似的性质复积分与实变函数的定积分有类似的性质.估估值值不不等等式式性质性质(4)的证明的证明证毕证毕例例4解解根据估值不等式知根据估值不等式知小结与思考小结与思考 本课学习了复积分的定义、存在条件以及计算本课学习了复积分的定义、存在条件以及计算和性质和性质.应注意复变函数的积分有跟微积分学中的应注意复变函数的积分有跟微积分学中的线积分完全相似的性质线积分完全相似的性质.本课中重点掌握复积分计本课中重点掌握复积分计算的一般方法算的一般方法.思考题思考题即为一元实函数的定积分即为一元实函数的定积分.思考题答案思考题答案