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1、计算机算机图形形学学Computer GraphicsComputer Graphics 计计 算算 机机 图图 形形 学学Computer Graphics王汝传王汝传 W计计算机算机图图形形学学 第五章第五章 目录目录 第五章第五章 三三维图形生成和变换技术维图形生成和变换技术 5.1 5.1 三维图形的概念三维图形的概念 5.2 5.2 自由曲面的生成自由曲面的生成 5.3 5.3 三维图形的变换三维图形的变换 5.4 5.4 三维图形剪裁和消隐三维图形剪裁和消隐 计计算机算机图图形形学学第五章第五章 三维图形生成和变换技术三维图形生成和变换技术 第五章第五章 三维图形生成和变换技术三维
2、图形生成和变换技术 5.1 5.1 三维图形的概念三维图形的概念 5.2 5.2 自由曲面的生成自由曲面的生成 5.3 5.3 三维图形变换三维图形变换 5.4 5.4 三维图形剪裁和消隐技术三维图形剪裁和消隐技术 5.1 5.1 三维图形的概念三维图形的概念 在在计计算算机机图图形形学学中中最最重重要要的的部部分分还还是是三三维维图图形形生生成成与与变变换换，不不仅仅人人们们对对它它感感兴兴趣趣，而而且且在在实实际际应应用用中中更更加加广广泛泛。三三维维图图形形生生成成比比起起二二维维图图形形生生成成要要复复杂杂得得多多，其其根根本本原原因因在在于于我我们们的的图图形形输输入入设设备备和和输
3、输出出设设备备基基本本上上都都是是二二维维的的，用用这这些些二二维维的的图图形形设设备备去去表表现现空空间间三三维维实实体体自自然然会会增增加加许许多多复复杂杂性性优优需需要要运运用用许许多多新新的的方方法法去去处处理理三维图形。三维图形。计计算机算机图图形形学学 在计算机图形学研究中，三维图形概念有几种在计算机图形学研究中，三维图形概念有几种:1 1、是采用线框图构成的三维图形，这是最基本、最简单、是采用线框图构成的三维图形，这是最基本、最简单的，它实际上是在二维屏幕上展示的具有三维视觉效果的，它实际上是在二维屏幕上展示的具有三维视觉效果的图形；的图形；2 2、三维实体图形，它是采用各种颜色
4、图案、纹理等填充、三维实体图形，它是采用各种颜色图案、纹理等填充过的图形，在视觉上也具有三维效果；过的图形，在视觉上也具有三维效果；3 3、三维立体图形，它借助于光照、浓淡和明暗技术，产、三维立体图形，它借助于光照、浓淡和明暗技术，产生了真正的三维立体效果。生了真正的三维立体效果。这些三维图形都是我们在计算机图形学中要研究和这些三维图形都是我们在计算机图形学中要研究和予以实现的内容。予以实现的内容。计计算机算机图图形形学学第五章第五章 三维图形生成和变换技术三维图形生成和变换技术 5.1 5.1 三维图形的概念三维图形的概念 5.2 5.2 自由曲面的生成自由曲面的生成 5.3 5.3 三维图
5、形变换三维图形变换 5.4 5.4 三维图形剪裁和消隐技术三维图形剪裁和消隐技术 5.2 5.2 自由曲面的生成自由曲面的生成一、概述一、概述 在在计计算算机机出出现现之之前前以以及及在在计计算算几几何何没没有有很很好好地地发发展展之之前前，一一些些工工程程实实际际中中应应用用的的复复杂杂自自由由曲曲面面，如如飞飞机机、船船舶舶、汽汽车车等等几几何何外外形形的的描描述述以以及及地地形形形形状状的的表表示示，传传统统的的处处理理办办法法是是用用一一组组或或几几组组平平行行平平面面去去裁裁这这个个曲曲面面，画画出出几几组组截截交交线线来来表表示示这这个个曲曲面面。例例如如船船体体就就是是用用互互相
6、相正正交交的的三三组组平平面面截截得得的的纵纵剖剖线线，横横剖剖线线和和水水平平线线表表示示；地地面面则则是是用用一一组组水水平平面面截截得得等等高高线线表表示示的的。这这实实际际上上是是把把曲曲面面问问题题转转化化成成了了曲曲线线问问题题。这这种种处处理理办办法法可可称称为为曲曲线网格表示法。线网格表示法。一组等高线一组等高线表示地面表示地面计计算机算机图图形形学学 正正是是利利用用这这些些曲曲线线网网格格来来近近似似地地表表示示自自由由曲曲面面，因因此此，在在产产生生一一张张曲曲面面时时，我我们们可可以以利利用用一一系系列列的的纵纵横横交交错且相互平行的样条曲线来构造曲面，如下图所示。错且
7、相互平行的样条曲线来构造曲面，如下图所示。我我们们如如何何确确定定这这张张曲曲面面上上任任意意一一点点位位置置呢呢？很很明明显显，如如果果这这点点恰恰好好落落在在某某一一条条网网格格线线上上，如如图图A A点点，那那么么就就可可以以根根据据这这条条网网格格线线函函数数表表示示来来计计算算这这一一点点位位置置（坐坐标标）；若若这这一一点点不不在在任任何何网网格格线线上上，如如图图中中的的B B点点，那那么么就就无无法法计计算算出出该该点点精精确确位位置置，只只能能用用离离该该点点最最近近一一条条网网格格线上的点近似地表示。线上的点近似地表示。图5.1 曲面的网格表示计计算机算机图图形形学学 这这
8、使使得得本本来来精精度度不不很很高高近近似似曲曲面面在在这这一一点点精精度度更更加加降降低低，所所以以用用这这种种方方法法来来产产生生曲曲面面只只适适合合于于一一部部分分精精度度要要求求不不太太高高场场合合，我我们们可可以以把把平平面面里里自自由由曲曲线线生生成成方方法法加加以以推推广广，借借助助于于曲曲面面的的解解析析表表达达式式来来处处理理有有关关曲曲面面问问题。题。曲曲面面的的种种类类繁繁多多，为为便便于于讨讨论论，将将曲曲面面分分为为两两类类，（1 1）规规则则曲曲面面：如如柱柱、锥锥、椭椭球球、环环、双双曲曲面面、抛抛物物面等，它可以用参数方程解析地描述。面等，它可以用参数方程解析地
9、描述。（2 2）不不规规则则曲曲面面、如如CoonsCoons曲曲面面、BezierBezier曲曲面面、B B样样条条曲曲面面等等，这这是是构构造造某某种种曲曲面面方方程程问问题题，也也是是下下面面要要讨讨论论重点。重点。计计算机算机图图形形学学二、空间曲面的参数表示二、空间曲面的参数表示 在空间解析几何中，三维空间内一张任意曲面一段用两在空间解析几何中，三维空间内一张任意曲面一段用两个参数曲面矢量个参数曲面矢量 方程或参数方程表示，可以写成，方程或参数方程表示，可以写成，式中式中u u、v v为参数为参数 计计算机算机图图形形学学曲曲面面的的图图形形如如图图所所示示，曲曲面面有有两两族族参
10、参数数曲曲线线，或或称称坐坐标标曲曲线线，通通常常简简称称u u线线和和v v线线。当当u u=u ui i时时，代代人人式式（5 51 1）得得上上式式中中是是曲曲面面上上一一条条参参数数曲曲线线r(ur(ui i,v v)，即即一一条条v v线线。当当v=v=v vj j时，代人式（时，代人式（5 51 1）得）得,上上式式则则是是另另一一条条参参数数曲曲线线r r(u u,v vj j)，或或称称u u线线。上上述述两两条条参参数数曲曲线线r r(u ui i,v v)和和r r(u u,v vj j)的的交交点点则则是是r r(u ui i,v vj j)。事事实实上上，用用u u=u
11、 ui i,v v=v vj j代代人人式式（5 5l l）也也得得到到曲曲面面上上同同一一点位置矢量点位置矢量r r(u ui i,v vj j)计计算机算机图图形形学学vur(ui,v)r(u,vj)r(ui,vj)计计算机算机图图形形学学例如，如图的平面片方程为：例如，如图的平面片方程为：式式中中矢矢量量r r0 0为为平平面面上上一一点点的的位位置置矢矢量量，a a和和b b为为常常矢矢量量，且且a a不平行于不平行于b b，该平面片是由矢量该平面片是由矢量a a和和b b张成的四边形。张成的四边形。r(u,v)计计算机算机图图形形学学图5.4 柱面又又例例如如，如如图图5.45.4所
12、所示示，以以固固定定方方向向长长度度为为a a的的直直线线段段作作为为母母线线沿沿给给定定一一条条空空间间曲曲线线r r1 1 （u u）移移动动生生成成一一个个柱柱面面，其方程为其方程为 式中式中a a是沿母线方向的常矢量。是沿母线方向的常矢量。计计算机算机图图形形学学二、二、Bezier(Bezier(贝塞尔）曲面贝塞尔）曲面 如如前前所所述述，BezierBezier曲曲线线是是一一条条与与控控制制多多边边形形顶顶点点位位置置有有严严格格的的相相关关联联关关系系的的曲曲线线，BezierBezier曲曲线线形形状状趋趋向向于于特征多边形形状，阶次由控制多边形顶点个数来决定。特征多边形形状
13、，阶次由控制多边形顶点个数来决定。BezierBezier曲曲 面面 是是 由由 BezierBezier曲曲 线线 拓拓 广广 而而 来来，它它 也也 是是 以以BernsteinBernstein函函数数作作为为基基函函数数，可可以以构构造造由由空空间间点点阵阵列列的的位位置来控制曲面。置来控制曲面。P0P1P2P3由四个数据点由四个数据点控制的三次贝控制的三次贝塞尔曲线塞尔曲线计计算机算机图图形形学学1 1、贝塞尔曲面的数学表达式、贝塞尔曲面的数学表达式 在在三三维维空空间间里里，给给定定(n nl)l)(m m+1)+1)个个点点的的空空间间点点到到P Pijij（i i=0=0，l
14、ln n；j=0j=0，1 1m m），），称称n nm m次参数曲面：次参数曲面：为为 n nm m 次次 BezierBezier曲面。曲面。P Pijij是的控制顶点，和为是的控制顶点，和为BernsteinBernstein基函数，具体表示为：基函数，具体表示为：计计算机算机图图形形学学 如如果果用用一一系系列列直直线线段段将将相相邻邻的的点点P Pi0i0，P Pi1i1P Pimim(i(i=0=0，1 1n)n)和和P P0j0j，P P1j1jP Pnjnj(j(j=0=0，l l，m m)一一连连接接起起来来组组成成一一张张空空间间网网格格，称这张网络为称这张网络为m mn
15、n次曲面特征网格，如图所示。次曲面特征网格，如图所示。类类似似于于BezierBezier曲曲线线情情况况，特特征征网网格格框框定定了了P(P(u,vu,v)的的大大致致形形状；状；P(P(u,vu,v)是对特征网格的逼近。是对特征网格的逼近。p00p10p20p30p31p21p11p01p32p22p12p02p33p23p13p033*33*3次的特次的特征曲面网格征曲面网格计计算机算机图图形形学学2 2、贝塞尔曲面的性质、贝塞尔曲面的性质 BezierBezier曲面有类似于曲面有类似于BezierBezier曲线的性质。曲线的性质。（l l）端点位置端点位置由于由于P P0000=P
16、 P(0,0)(0,0)P P0m0m=P P(0,1)(0,1)P Pn0n0=P P(1,0)(1,0)P Pnmnm=P P(1,1)(1,1)说明说明P P0000、P P0m0m、P Pn0n0、P Pnmnm是曲面是曲面P P(u,vu,v)的四个端点，见图的四个端点，见图 p00p30p03p33计计算机算机图图形形学学 （2 2）边界线位置）边界线位置BezierBezier曲曲面面的的四四条条边边界界线线P P(0,v)(0,v)、P P(u,0)(u,0)、P P(1,v)(1,v)、P P(u,1)(u,1)分分别别 是是 以以P P0000P P0101P P0202P
17、 P0m0m、P P0000P P1010P P2020P Pn0n0、P Pn0n0P Pn1n1 P Pn2n2P Pn nm m和和P P0m0mP P1m1mP P2m2mP Pnmnm为控制多边形的为控制多边形的BezierBezier曲线，见图。曲线，见图。控制多边形控制多边形边界线边界线计计算机算机图图形形学学（3 3）端点的切平面）端点的切平面 由由计计算算易易知知，三三角角P P0000P P1010P P0101、P P0n0nP P1m1mP P0 0，m-1m-1、P PnmnmP Pn-1,mn-1,mP Pn,m-1n,m-1和和P Pn0n0P Pn-1,0n-1
18、,0P Pn1n1(图图5.65.6中中打打上上斜斜线线三三角角形形)所所在在的的平平面面分分别别在点在点P P0000、P P0m0m和和P Pn0n0与曲面与曲面P P(u,vu,v)相切。相切。p00p30p03p33计计算机算机图图形形学学（4 4）凸包性）凸包性 曲曲面面P P(u,vu,v)位位于于其其控控制制顶顶点点P Pijij（i i=0=0，l l，2 2n n；j=0j=0，1 1，2 2m m）的凸包内。的凸包内。（5 5）几何不变性）几何不变性曲面曲面P P(u,vu,v)的形状和位置与坐标系选择无关，仅和点的形状和位置与坐标系选择无关，仅和点P P0000、P P0
19、101、P Pnmnm位置有关。位置有关。计计算机算机图图形形学学3.3.几个低次的贝塞尔曲线几个低次的贝塞尔曲线 (1)(1)双一次双一次BezierBezier曲面曲面当当n n=m m=1=1时，得双一次时，得双一次BezierBezier曲面曲面,给定给定(n n1)1)(m m+1)=2+1)=22=42=4个控制点：个控制点：P P0000、P P0101、P P1010、P P1111。计计算机算机图图形形学学 其其图图形形表表示示如如图图所所示示，可可以以证证明明它它是是一一个个双双曲曲抛抛物物面面（马鞍面）上的一块曲面片。（马鞍面）上的一块曲面片。计计算机算机图图形形学学在上
20、式中，当在上式中，当u u=0=0和和u u=1=1时，得到的两条边界为直线段；时，得到的两条边界为直线段；同样，当同样，当v v=0=0和和v v=1=1时，得到两条也是直线段。时，得到两条也是直线段。所以双一次所以双一次BezierBezier曲面由四条直线段包围而成。曲面由四条直线段包围而成。计计算机算机图图形形学学(2)(2)双二次双二次BezierBezier曲面曲面当当n n=m m=2=2时，得双二次时，得双二次BezierBezier曲面曲面,给定给定(n n1)1)(m m+1)=3+1)=33=93=9个控制点：个控制点：P P0000、P P0101、P P0202、P
21、P1010、P P1111、P P1212、P P2020 、P P2121 、P P2222。由由BezierBezier数学表达式数学表达式计计算机算机图图形形学学当当u u取定值时，是关于取定值时，是关于v v的二次参数曲线，是抛物线；的二次参数曲线，是抛物线；当当v v取定值时，是关于取定值时，是关于u u的二次参数曲线。的二次参数曲线。当当u u=0=0和和u u=1=1时，两条边界是抛物线段；时，两条边界是抛物线段；计计算机算机图图形形学学同理，当同理，当v v=0=0和和v v=1=1时，另外两条边界是抛物线段。时，另外两条边界是抛物线段。所以双二次所以双二次BezierBezi
22、er曲面由四条抛物线段包围而成。显然，中间的曲面由四条抛物线段包围而成。显然，中间的一个顶点的变化对边界曲线不产生影响，这意味着在周边八点不一个顶点的变化对边界曲线不产生影响，这意味着在周边八点不变的情况下，适当选择中心顶点的位置可以控制曲面凹凸，这种变的情况下，适当选择中心顶点的位置可以控制曲面凹凸，这种控制方式是极其直观的，而且极其简易。控制方式是极其直观的，而且极其简易。计计算机算机图图形形学学（3 3）双三次贝塞尔曲线）双三次贝塞尔曲线 当当n n=m m=3=3时，得到双三次时，得到双三次BezierBezier曲面，给定曲面，给定 (n n1)1)(m m+1)=4+1)=44=1
23、64=16个控制点，个控制点，P Pijij（i i=0,1,2,3,j=0,1,2,3=0,1,2,3,j=0,1,2,3）。）。计计算机算机图图形形学学计计算机算机图图形形学学矩阵矩阵P P表示双三次表示双三次BezierBezier曲面片特征多面体曲面片特征多面体16 16 个控制顶点个控制顶点的位置向量。的位置向量。计计算机算机图图形形学学双三次双三次BezierBezier曲面曲面边界曲线边界曲线1616个控制点中个控制点中只有只有4 4个顶点个顶点位于位于BezierBezier曲曲面上面上P P矩阵中周围的矩阵中周围的1212个控制点定义了个控制点定义了4 4 条三次条三次Bez
24、ierBezier曲线，即曲线，即边界曲线。其余的边界曲线。其余的4 4个点与边界曲线无关，但影响曲面片的个点与边界曲线无关，但影响曲面片的形状形状 计计算机算机图图形形学学4 4、贝塞尔曲线的拼接、贝塞尔曲线的拼接 一对于单个一对于单个BezierBezier曲面可以通过以下两步生成：曲面可以通过以下两步生成：（1 1）固定）固定v,v,随着随着u u变化可得一簇变化可得一簇BezierBezier曲线；曲线；（2 2）固定）固定u,u,随着随着v v变化可得一簇变化可得一簇BezierBezier曲线。曲线。Bezier Bezier曲面是由曲面是由BezierBezier曲线交织而成的曲
25、面。曲线交织而成的曲面。然然而而一一个个复复杂杂的的曲曲面面往往往往不不能能用用单单一一的的BezierBezier曲曲面面来来实现，于是要用几块实现，于是要用几块BezierBezier曲面拼接起来。曲面拼接起来。计计算机算机图图形形学学以下讨论两张双三次以下讨论两张双三次BezierBezier曲面的拼接。曲面的拼接。下下面面给给出出两两个个相相邻邻的的BezierBezier曲曲面面片片，我我们们分分别别将将它它命命名名为为P P(1)(1)(u,v)(u,v)和和P P(2)(2)(u,v)(u,v)。P P(1)(1)(u,v)(u,v)P P(2)(2)(u,v)(u,v)u uv
26、 vP P(1)(1)(1,1)=P(1,1)=P(2)(2)(0,1)(0,1)如果对如果对00v1v1中所有中所有v v，有有P P(1)(1)(1,v)(1,v)=P P(2)(2)(0,v)(0,v)，就可以，就可以得到跨界位置处曲面函数连续性。得到跨界位置处曲面函数连续性。计计算机算机图图形形学学要使要使BezierBezier曲面拼接：曲面拼接：（1 1）两两曲曲面面片片间间的的一一个个公公共共边边界界需需要要两两个个特特征征多多边边形形之之间的一个共同边界多边形。间的一个共同边界多边形。（2 2）要要使使跨跨界界处处一一阶阶导导数数连连续续，即即曲曲面面在在跨跨界界处处光光顺顺，
27、对对00v1v1中中的的所所有有v v，曲曲面面片片1 1在在u=1u=1的的切切平平面面必必须须与与曲曲面面2 2在在u=0u=0的切平面重合。的切平面重合。计计算机算机图图形形学学三、三、B B样条曲面样条曲面 B B样条曲面是样条曲面是B B样条曲线的拓广。样条曲线的拓广。1 1B B样条曲面的数学表达式样条曲面的数学表达式 在三维空间里，给定在三维空间里，给定 个个点，用向量点，用向量 (i=0 (i=0，1 1，n n，j=0j=0，1 1，m)m)表示，称表示，称 （0u0u，v1v1）为）为 次次B B样条曲面；样条曲面；是是 的控制顶点，的控制顶点，F Fi,ni,n(u(u)
28、和和F Fj,mj,m(v(v)为为B B样条样条基函数，具体表示为：基函数，具体表示为：计计算机算机图图形形学学如如果果用用一一系系列列直直线线段段将将相相邻邻的的点点 ，（i=0i=0，1 1，n n）和和 ，(j=0(j=0，1 1，m)m)一一一一连连接接起起来来，组组成成一一张张空空间间网网格格，称称这这张张网网格格为为 次次B B样条曲面特征网格，如下图所示。样条曲面特征网格，如下图所示。计计算机算机图图形形学学2 2几个低次几个低次B B样条曲面样条曲面 （1 1）双二次）双二次B B样条曲面样条曲面 当当 时时，得得双双二二次次B B样样条条曲曲面面，给给定定9 9个个控控制制
29、点点，即即P P0000、P P0101、P P0202、P P1010、P P1111、P P1212、P P2020、P P2121和和P P2222。由于由于 所以，双二次所以，双二次B B样条曲面为：样条曲面为：计计算机算机图图形形学学由左图可知，由左图可知，B B样条曲面不经过任样条曲面不经过任何一个网格顶点。左图表示了双二何一个网格顶点。左图表示了双二次次B B样条曲面的一片，如果网格向样条曲面的一片，如果网格向外扩展，曲面也相应延伸。由于二外扩展，曲面也相应延伸。由于二次次B B样条曲面基函数是一阶连续的，样条曲面基函数是一阶连续的，所以对于两片双二次所以对于两片双二次B B样条
30、曲面片，样条曲面片，其连接亦是一阶连续的。其连接亦是一阶连续的。计计算机算机图图形形学学2 2几个低次几个低次B B样条曲面样条曲面 （2 2）双三次）双三次B B样条曲面样条曲面 当当 时，得双三次时，得双三次B B样条曲面：样条曲面：计计算机算机图图形形学学 双三次双三次B B样条曲面片四个角点不在给定的点的位样条曲面片四个角点不在给定的点的位置上。如果将网格向外扩展，曲面也相应延伸，而且置上。如果将网格向外扩展，曲面也相应延伸，而且由于三次由于三次B B样条基函数是二阶连续的，所以双三次样条基函数是二阶连续的，所以双三次B B样样条曲面也二阶连续。条曲面也二阶连续。双三次双三次B B样条
31、曲面特征网格样条曲面特征网格 计计算机算机图图形形学学四、四、CoonsCoons（孔斯）曲面孔斯）曲面 Coons Coons曲面是曲面是19641964年由孔斯（年由孔斯（coons)coons)提出的构造曲面的提出的构造曲面的方法，这种方法的基本思想是将任意复杂的曲面分割成若方法，这种方法的基本思想是将任意复杂的曲面分割成若干小块，而每小块用参数方程来描述，即用四条边界曲线干小块，而每小块用参数方程来描述，即用四条边界曲线来定义，再通过适当地选择块与块之间的连接条件，使边来定义，再通过适当地选择块与块之间的连接条件，使边界上一阶导数和二阶导数连续，最后获得整个曲面。界上一阶导数和二阶导数
32、连续，最后获得整个曲面。计计算机算机图图形形学学1 1、混合函数、混合函数（1 1）定义定义 Coons Coons在他所研究的孔斯曲面中，定义了四个一元三次在他所研究的孔斯曲面中，定义了四个一元三次函数函数 F Fo o（u u），），F F1 1（u u），），G G0 0（u u），），G G1 1（u u），），它们的功能它们的功能是用四条给定的边界曲线生成一张曲面。是用四条给定的边界曲线生成一张曲面。定义在区间定义在区间0 0，l l上四个三次函数上四个三次函数 计计算机算机图图形形学学（2 2）混合函数性质）混合函数性质 我们构造这样一段曲线我们构造这样一段曲线P P（u u），）
33、，来理解这四个混合函数的功来理解这四个混合函数的功能。若要求能。若要求u=0u=0时时P P（0 0）=A=A0 0且且u u0 0处切向量处切向量P P(0)=B(0)=B0 0u=1u=1时，时，P(1)P(1)A A1 1，且且u ul l处的切向量处的切向量P P(1)=B(1)=B1 1。显然，根据上述四个一元三次函数显然，根据上述四个一元三次函数F F0 0(u)(u)，F F1 1(u),G(u),G0 0(u),G(u),G1 1(u)(u)的端点性质，我们很容易得到的端点性质，我们很容易得到 计计算机算机图图形形学学 由此我们可以看出四个函数由此我们可以看出四个函数F F0
34、0(u),F(u),F1 1(u),G(u),G0 0(u),G(u),G1 1(u)(u)在在P P（u u）的表示中所起作用：的表示中所起作用：F F0 0(u)(u)，F F1 1(u)(u)和用于控制两个端点（和用于控制两个端点（x x0 0）和（和（x=1x=1）的函数值，的函数值，G G0 0(u),G(u),G1 1(u)(u)而和却用来控制两个端点（而和却用来控制两个端点（x x 0 0）和（和（x x l l）的切向量。的切向量。正是由于正是由于F F0 0(u)(u)，F F1 1(u),G(u),G0 0(u),G(u),G1 1(u)(u)和的上述作用，使和的上述作用，
35、使得它们被用来定义双三次得它们被用来定义双三次CoonsCoons曲面。曲面。计计算机算机图图形形学学2 2、双三次、双三次CoonsCoons曲面曲面 Coons Coons曲面有几种类型，双三次曲面是其中最有实用曲面有几种类型，双三次曲面是其中最有实用价值的一种。在几何造型计算中使用的价值的一种。在几何造型计算中使用的coonscoons曲面，都是曲面，都是这种双三次曲面。双三次这种双三次曲面。双三次coonscoons曲面是定义在一个单位区曲面是定义在一个单位区域域R R0 0上，并用向量方式表示的双参数向量方程。上，并用向量方式表示的双参数向量方程。设两个参数分别用设两个参数分别用u
36、u和和v v表示，则空间曲面上任意一点表示，则空间曲面上任意一点用向量用向量P P可表示为，其分量形式为：可表示为，其分量形式为：其中参数其中参数u u，v v的定义域为单位区域的定义域为单位区域R R0 0上的值，即上的值，即 计计算机算机图图形形学学（1 1）CoonsCoons简洁符号简洁符号为了研究方便，运算简洁，为了研究方便，运算简洁，CoonsCoons提出了一套表示参数曲面的简洁符号。在提出了一套表示参数曲面的简洁符号。在CoonsCoons记号中，参数记号中，参数u u和和v v之间的逗号以及矢量的各分量之间的逗号都省略掉。之间的逗号以及矢量的各分量之间的逗号都省略掉。当仅在讨
37、论一张曲面时，向量函数当仅在讨论一张曲面时，向量函数P(u,v)P(u,v)前面字母前面字母P P连同其后圆括号也一起连同其后圆括号也一起省略掉。符号省略掉。符号u u0 0,u ul l,0,0v v,1,1v v分别表示曲面的四条边界曲线，曲面的四个角点分别表示曲面的四条边界曲线，曲面的四个角点则简记为则简记为00,01,10,1100,01,10,11，如图所示。，如图所示。00111001u0u11v0v计计算机算机图图形形学学曲面的偏导向量的记号是：曲面的偏导向量的记号是：其中。分别其中。分别0 0v vu u,1v,1vu u,u0,u0v v,u1,u1v v为边界为边界0 0v
38、 v,1,1v v,u u0 0和和u u1 1上的斜率。上的斜率。0000u u,01,01u u,10,10u u和和1111u u，是在四个角点是在四个角点u u向切矢；向切矢；0000v v,01,01v v,10,10v v和和1111v v。是在四个角点是在四个角点v v向切矢；向切矢；00 00uvuv,01,01uvuv,10,10uvuv和和1111uvuv是四个角点混合偏导，又称扭矢。是四个角点混合偏导，又称扭矢。计计算机算机图图形形学学(2)(2)CoonsCoons曲面定义曲面定义 由式（由式（5 52 2），我们得到四个混合函数的矩阵，表示），我们得到四个混合函数的矩
39、阵，表示形式如下：形式如下：计计算机算机图图形形学学计计算机算机图图形形学学 根据点动生线、线动生面的几何原理，把根据点动生线、线动生面的几何原理，把U U和和V V取作两取作两个独立参数，即得一张个独立参数，即得一张CoonsCoons双三次曲面片，其数学表达双三次曲面片，其数学表达式如下：式如下：式中式中C C称为角点信息矩阵。称为角点信息矩阵。其中前三组信息可以完全决定四边边界曲线位置的形状，而第其中前三组信息可以完全决定四边边界曲线位置的形状，而第四组与四条边界曲线形状无关，反映四组与四条边界曲线形状无关，反映R R0 0的内部曲面形状变化。的内部曲面形状变化。这里角点信息这里角点信息
40、矩阵矩阵C C元素可以元素可以分成四组，分成四组，其左上角一块代表四个角点位其左上角一块代表四个角点位置矢量，右上角和左下角表示置矢量，右上角和左下角表示边界曲线在角点边界曲线在角点v v方向和方向和u u方向方向切矢量，右下角是四个角点混切矢量，右下角是四个角点混合偏导数，表示角点扭矢，合偏导数，表示角点扭矢，计计算机算机图图形形学学 由由此此可可看看出出，通通过过选选择择四四条条边边界界曲曲线线就就可可求求出出CoonsCoons曲曲面面，贝贝塞塞尔尔曲曲面面通通过过给给出出若若干干个个控控制制点点来来构构造造曲曲面面，而而CoonsCoons曲面通过给定四条边界线来构造曲面。曲面通过给定
41、四条边界线来构造曲面。五、五、NURBSNURBS（非均匀有理（非均匀有理B B样条）曲面样条）曲面 对对NURBSNURBS曲线进行扩展后可以得到曲线进行扩展后可以得到NURBSNURBS曲面，曲面，NURBSNURBS曲面可以用如下数学表达式来定义：曲面可以用如下数学表达式来定义：其中计计算机算机图图形形学学规定四角点处用正权因子，即规定四角点处用正权因子，即，而其余，而其余。上述上述NURBSNURBS曲面的数学式决定了曲面的数学式决定了NURBSNURBS曲面是一类通用曲面是一类通用的灵活曲面，利用它用户可以生成具有各种各样形状的曲的灵活曲面，利用它用户可以生成具有各种各样形状的曲面，
42、比如大家熟悉的旋转面、直纹面、推挤面等。面，比如大家熟悉的旋转面、直纹面、推挤面等。计计算机算机图图形形学学 NURBS NURBS曲面拥有一些良好的性质，如通过选择合曲面拥有一些良好的性质，如通过选择合适的适的CVCV控制点和权值就能够得到精确的二次曲面以控制点和权值就能够得到精确的二次曲面以及对于投影变换具有不变性等，因此，高级三维软及对于投影变换具有不变性等，因此，高级三维软件当中一般都支持这种曲面建模方式，件当中一般都支持这种曲面建模方式，NURBSNURBS能够很能够很好地控制物体表面的曲线度，从而保证了创建出的好地控制物体表面的曲线度，从而保证了创建出的造型能够更加形象逼真，目前，
43、造型能够更加形象逼真，目前，NURBSNURBS已经成为曲面已经成为曲面造型中最为广泛应用的技术。造型中最为广泛应用的技术。计计算机算机图图形形学学第五章第五章 三维图形生成和变换技术三维图形生成和变换技术 5.1 5.1 三维图形的概念三维图形的概念 5.2 5.2 自由曲面的生成自由曲面的生成 5.3 5.3 三维图形变换三维图形变换 5.4 5.4 三维图形剪裁和消隐技术三维图形剪裁和消隐技术 5 5、3 3 三维图形变换三维图形变换 在二维图形变换的讨论中已经提出了齐次坐标表示法，在二维图形变换的讨论中已经提出了齐次坐标表示法，即即n n维空间的点用维空间的点用n nl l个数表示。因
44、此，对于三维空间点需个数表示。因此，对于三维空间点需要用要用4 4个数来表示，而相应的变换矩阵个数来表示，而相应的变换矩阵4444阶矩阵。阶矩阵。如果用如果用 表示变换前三维空间的一个点，表示变换前三维空间的一个点，用用 表示变换后结果，则空间点的变换式为：表示变换后结果，则空间点的变换式为：计计算机算机图图形形学学式中式中T T为三维图形变换矩阵它是一个为三维图形变换矩阵它是一个4 4阶方阵，即：阶方阵，即：投影变换投影变换计计算机算机图图形形学学一、三维图形几何变换一、三维图形几何变换 下下面面介介绍绍三三维维图图形形的的变变换换，为为了了表表示示清清楚楚三三维维空空间间点点或或立立体体位
45、位置置，我我们们选选择择右右手手坐坐标标系系，即即右右手手的的食食指指和和中中指指分分别别指指向向X X和和Y Y轴方向；而大姆指指向轴方向；而大姆指指向Z Z轴的正方向，三个轴互相垂直。轴的正方向，三个轴互相垂直。三三维维几几何何变变换换和和二二维维几几何何变变换换类类似似，通通过过改改变变变变换换矩矩阵阵中中不不同元素值实现不同变换。同元素值实现不同变换。计计算机算机图图形形学学1 1三维比例变换三维比例变换关于原点的比例变换的变换矩阵为：关于原点的比例变换的变换矩阵为：主主对对角角线线上上元元素素a,e,i,sa,e,i,s的的作作用用是是使使空空间间立立体体产产生生局局部部或或总体比例
46、变换。总体比例变换。（l l）局部比例变换局部比例变换在在3*33*3子子矩矩阵阵中中主主对对角角线线上上元元素素a,e,ia,e,i控控制制比比例例变变换换，令令其其余元素为零，则空间立体点（余元素为零，则空间立体点（x x，y y，z z）的比例变换为：的比例变换为：计计算机算机图图形形学学由由此此可可知知，空空间间点点坐坐标标分分别别按按比比例例系系数数a,e,ia,e,i进进行行变变换换，可使整个图形按比例放大或缩小。可使整个图形按比例放大或缩小。当当a ae ei i1 1时，图形不变，是恒等变换；时，图形不变，是恒等变换；当当a ae ei i1 1时，图形放大时，图形放大;当当a
47、 ae ej j1 1时，图形缩小时，图形缩小;当当a ae ei i时时，立立体体各各向向缩缩放放比比例例不不同同，这这时时立立体体要要产产生生类似变化。类似变化。计计算机算机图图形形学学3*33*3子矩阵子矩阵主对角线上主对角线上元素控制比元素控制比例变换例变换计计算机算机图图形形学学如如图图所所示示，空空间间立立体体由由正正方方体体变变成成长长方方体体。虚虚线线表表示示变变换换前的立方体，实线表示变换后的长方体。前的立方体，实线表示变换后的长方体。计计算机算机图图形形学学（2 2）全比例变换）全比例变换全比例变换矩阵为：全比例变换矩阵为：由此可知：当由此可知：当s s1 1时，则立体各方
48、向等比例缩小；时，则立体各方向等比例缩小；当当0 0s s1 1对，则立体各方向等比例放大。对，则立体各方向等比例放大。计计算机算机图图形形学学2 2三维平移交换三维平移交换平移变换是使立体在空间平移一段距离而形状和大小保持平移变换是使立体在空间平移一段距离而形状和大小保持不变。变换矩阵为：不变。变换矩阵为：l,m,nl,m,n分别为沿分别为沿 X X，Y Y，Z Z轴方向的平移量，由它们的正负轴方向的平移量，由它们的正负来决定立体平移方向。来决定立体平移方向。计计算机算机图图形形学学例例5.3 5.3 设设变变换换矩矩阵阵中中l l3,3,m m=3,=3,n n3 3，试试对对单单位位立立
49、体体进进行行平移变换。平移变换。沿沿x,y,zx,y,z方向的平移量方向的平移量计计算机算机图图形形学学 3 3三维对称变换三维对称变换在在三三维维空空间间最最简简单单的的对对称称变变换换是是对对称称于于坐坐标标平平面面的的变变换换。空空间间一一点点对对XOYXOY坐坐标标面面对对称称变变换换时时，点点的的（x x，y y）坐标不变，只改变坐标不变，只改变z z的正负号。因此，其变换矩阵为：的正负号。因此，其变换矩阵为：变换结果如图所示。变换结果如图所示。图5.20 对XOY平面的对称变换计计算机算机图图形形学学同同理理，对对XOZXOZ坐坐标标的的对对称称变变换换矩矩阵阵和和对对YOZYOZ
50、坐坐标标面面的的对对称称变变换矩阵分别为：换矩阵分别为：计计算机算机图图形形学学4 4三维错切变换三维错切变换三三维维立立体体的的某某个个面面沿沿指指定定轴轴向向移移动动属属于于三三维维错错切切，三三维维错错切切是是由由子子矩矩阵阵中中非非主主对对角角线线元元素素各各项项产产生生的的，其其变变换换矩矩阵阵为：为：变换结果为：变换结果为：T T中第一列元素中第一列元素d d和和g g产生沿产生沿X X轴方向错切，第二列元素轴方向错切，第二列元素b b和和h h产生产生沿沿Y Y轴方向错切，第三列元素轴方向错切，第三列元素c c和和f f产生沿产生沿Z Z轴方向错切。轴方向错切。计计算机算机图图形