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1、第四节 平面向量应用举例 三年三年1212考高考指数考高考指数:1.1.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.2.2.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.1.1.以向量为载体考查三角函数、解析几何等问题是考查重点，以向量为载体考查三角函数、解析几何等问题是考查重点，也是热点也是热点.2.2.以向量为工具解决平面几何问题是难点以向量为工具解决平面几何问题是难点.3.3.三大题型均可能出现，客观题主要考查向量的基础知识，与三大题型均可能出现，客观题主要考查向量的基础知识，与三角函数、解析几何综合的
2、题目主要以解答题形式出现，难度三角函数、解析几何综合的题目主要以解答题形式出现，难度中档偏上中档偏上.1.1.向量在平面几何中的应用向量在平面几何中的应用（1 1）平面向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算）平面向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及数量积解决平面几何中的平行、垂直、平移、全等、相似、及数量积解决平面几何中的平行、垂直、平移、全等、相似、长度、夹角等问题长度、夹角等问题.（2 2）用向量解决常见平面几何问题的技巧）用向量解决常见平面几何问题的技巧线平行、点共线、相似问题线平行、点共线、相似问题利用共线向量定理：利用共线向量定理：ab 垂直问题垂直问题利用数量积的运
3、算性质：利用数量积的运算性质：ab 夹角问题夹角问题利用夹角公式：利用夹角公式：coscos=(=(为为a、b的夹角）的夹角）a=b(b0)(b0)ab=0=0（3 3）用向量方法解决平面几何问题的）用向量方法解决平面几何问题的“三步曲三步曲”平面几何问题平面几何问题 向量问题向量问题 解决向量问题解决向量问题 解决几何问题解决几何问题 【即时应用即时应用】判断下列命题是否正确判断下列命题是否正确.（请在括号中填写（请在括号中填写“”或或“”)若若 ，则三点，则三点A A、B B、C C共线共线.().()在在ABCABC中，若中，若 0 0，则，则ABCABC为钝角三角形为钝角三角形.().
4、()在四边形在四边形ABCDABCD中，边中，边ABAB与与CDCD为对边，若为对边，若 ，则此四边，则此四边形为平行四边形形为平行四边形.().()【解析解析】因因 共始点共始点A A，且，且 ，故，故正确；正确；0 0 0 0，B B为锐角，不能判断为锐角，不能判断ABCABC的的形状，故形状，故不正确；不正确；,AB DC,AB DC,故故正确正确.答案：答案：2.2.平面向量在物理中的应用平面向量在物理中的应用（1 1）由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解）由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解与合成和向量的加法和减法相似，可以用向量的知识来解决与合成和向量的加法
5、和减法相似，可以用向量的知识来解决.(2)(2)物理学中的功是一个标量，是力物理学中的功是一个标量，是力F与位移与位移s的数量积的数量积.即即W=W=Fs=|=|F|s|cos|cos(为为F F与与s s的夹角）的夹角）.【即时应用即时应用】(1)(1)已知两个力已知两个力F1 1、F2 2的夹角为的夹角为9090，它们的合力，它们的合力F的大小为的大小为10N10N，合力与，合力与F1 1的夹角为的夹角为6060,那么那么F1 1的大小为的大小为 .(2)(2)已知已知a=(=(cosx,sinx),cosx,sinx),b=(=(cosx,-sinxcosx,-sinx),),则函数则函
6、数y=y=ab的最小正周的最小正周期为期为 .（3 3）如图，已知两个力的大小和方向，则合力的大小为）如图，已知两个力的大小和方向，则合力的大小为_N_N；若在图示坐标系中，用坐标表示合力，则合力的；若在图示坐标系中，用坐标表示合力，则合力的坐标为坐标为_._.【解析解析】(1)1)如图所示如图所示.|F1 1|=|=|F|cos60|cos60=10=10 =5(N).=5(N).(2)y=(2)y=ab=cos=cos2 2x-sinx-sin2 2x x=cos2x,=cos2x,T=.T=.(3)(3)F1 1=(2,3),=(2,3),F2 2=(3,1)=(3,1)，合力合力F=F
7、1 1+F2 2=(2,3)+(3,1)=(5,4),=(2,3)+(3,1)=(5,4),合力的大小为合力的大小为 =（N N）.答案：答案：(1)5N (2)(3)(5,4)(1)5N (2)(3)(5,4)向量在平面几何中的应用向量在平面几何中的应用 【方法点睛方法点睛】平面几何问题的向量解法平面几何问题的向量解法平面向量在平面几何中的应用主要体现在：利用平面向量在平面几何中的应用主要体现在：利用|a|可以求线段可以求线段的长度，利用的长度，利用coscos=（为为a与与b的夹角）可以求角，利用的夹角）可以求角，利用ab=0=0可以证明垂直，利用可以证明垂直，利用a=b（b0）可以判定平
8、行等）可以判定平行等.【提醒提醒】向量关系与几何关系并不完全相同，要注意区别，例向量关系与几何关系并不完全相同，要注意区别，例如：向量如：向量 并不能说明直线并不能说明直线ABCD.ABCD.【例例1 1】(2011(2011天津高考）已知直角梯形天津高考）已知直角梯形ABCDABCD中，中，ADBC,ADC=90ADBC,ADC=90,AD=2,BC=1,P,AD=2,BC=1,P是腰是腰DCDC上的动点，则上的动点，则|的最小值为的最小值为 .【解题指南解题指南】以直角顶点为原点建立平面直角坐标系，用参数以直角顶点为原点建立平面直角坐标系，用参数表示出点表示出点P P、C C、B B、A
9、A的坐标，进而表示出的坐标，进而表示出|，然后转，然后转化为函数问题求解化为函数问题求解.【规范解答规范解答】建立平面直角坐标系如图所示建立平面直角坐标系如图所示.设设P(0,y),C(0,b)P(0,y),C(0,b)，则，则B(1,b),A(2,0),B(1,b),A(2,0),则则 =(2,-y)+3(1,b-y)=(5,3b-4y).=(2,-y)+3(1,b-y)=(5,3b-4y).|2 2=25+=25+（3b-4y)3b-4y)2 2(0yb),(0yb),当当y=by=b时，时，|最小，最小，|minmin=5.=5.答案：答案：5 5【反思反思感悟感悟】平面几何问题的向量解
10、法平面几何问题的向量解法（1 1）坐标法）坐标法把几何图形放在适当的坐标系中，就赋予了有关点与向量具体把几何图形放在适当的坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐标，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问的坐标，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决题得到解决.(2)(2)基向量法基向量法适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量共线构造适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量共线构造关于设定未知量的方程来进行求解关于设定未知量的方程来进行求解.向量在三角函数中的应用向量在三角函数中的应用 【方法点睛方法点睛】平面向量与三角函数的综合问题的命题形式与解题思路平
11、面向量与三角函数的综合问题的命题形式与解题思路（1 1）题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向）题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解.(2)(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等在定义域内的有界性，求得值域等.【例例2 2】(2012(2012嘉兴
12、模拟）已知嘉兴模拟）已知m=(=(sinAsinA,),)与与n=(3,sinA+=(3,sinA+cosAcosA)共线，其中共线，其中A A是是ABCABC的内角的内角.（1 1）求角）求角A A的大小；的大小；（2 2）若）若BC=2BC=2，求，求ABCABC的面积的面积S S的最大值，并判断的最大值，并判断S S取得最大值时取得最大值时ABCABC的形状的形状.【解题指南解题指南】（1 1）利用）利用mn得出关于得出关于A A的方程进而求角的方程进而求角A.A.(2)(2)由由S SABCABC=bcsinAbcsinA，只需利用，只需利用a a2 2=BC=BC2 2=b=b2 2
13、+c+c2 2-2bccosA=4,-2bccosA=4,求出求出bcbc的最大值即可的最大值即可.【规范解答规范解答】（1 1）因为）因为mn,所以所以sinAsinA(sinA(sinA+cosAcosA)-=0,)-=0,所以所以 +sin2A-=0+sin2A-=0，即即 sin2A-cos2A=1,sin2A-cos2A=1,即即sin(2A-)=1,sin(2A-)=1,因为因为A(0,),A(0,),所以所以2A-2A-（-，），故），故2A-=2A-=，A=.A=.(2)(2)由余弦定理，得由余弦定理，得4=b4=b2 2+c+c2 2-bc,-bc,又又S SABCABC=b
14、csinAbcsinA=bcbc，而而b b2 2+c+c2 22bc2bc bc+42bc bc+42bc bc4(bc4(当且仅当当且仅当b=cb=c时等号成），时等号成），所以所以S SABCABC=bcsinAbcsinA=bcbc 4=.4=.当当b=cb=c时，时，ABCABC的面积取最大值的面积取最大值 ,又又A=A=，故此时，故此时ABCABC为等为等边三角形边三角形.【反思反思感悟感悟】1.1.该类题的解题关键该类题的解题关键先把向量关系转化为向量的运算，再进一步转化为三角函数的运先把向量关系转化为向量的运算，再进一步转化为三角函数的运算，解题关键是算，解题关键是“转化思想方
15、法的应用转化思想方法的应用”.2.2.向量在该类题中的作用向量在该类题中的作用向量作为载体，通过向量间的平行、垂直关系转化为三角函数运向量作为载体，通过向量间的平行、垂直关系转化为三角函数运算算.平面向量在解析几何中的应用平面向量在解析几何中的应用【方法点睛方法点睛】向量在解析几何中的作用向量在解析几何中的作用（1 1）载体作用：向量在解析几何问题中出现，多用于）载体作用：向量在解析几何问题中出现，多用于“包装包装”，解决此类问题时关键是利用向量的意义、运算脱去，解决此类问题时关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外向量外衣衣”，导出曲线上点的坐标之间的关系，从而解决有关距离、，导出曲线上点的坐
16、标之间的关系，从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题斜率、夹角、轨迹、最值等问题.(2)(2)工具作用：利用工具作用：利用ab ab=0,=0,ab a=b（b0）,可解决可解决垂直、平行问题，特别地，向量垂直、平行的坐标表示对于解决垂直、平行问题，特别地，向量垂直、平行的坐标表示对于解决解析几何中的垂直、平行问题是一种比较可行的方法解析几何中的垂直、平行问题是一种比较可行的方法.【例例3 3】已知两点已知两点M(-1,0),N(1,0)M(-1,0),N(1,0)，且点，且点P P使使 成公差非负的等差数列成公差非负的等差数列.(1)(1)求点求点P P的轨迹方程的轨迹方程;(2)(
17、2)若若为为 的夹角，求的夹角，求的最大值及此时点的最大值及此时点P P的坐标的坐标.【解题指南解题指南】（1 1）设）设P(x,yP(x,y),),直接求点直接求点P P的轨迹方程的轨迹方程;(2)(2)先求出先求出coscos的范围，再求的范围，再求的最大值的最大值.【规范解答规范解答】(1)(1)设点设点P P坐标为坐标为(x,yx,y),),则则 =(-1-x,-y),=(1-x,-y),=(-1-x,-y),=(1-x,-y),=(2,0),=2(1-x),=(2,0),=2(1-x),=x =x2 2+y+y2 2-1,-1,=2(1+x)=2(1+x)，依题意得依题意得 ，点点P
18、 P的轨迹方程为的轨迹方程为x x2 2+y+y2 2=3(x0).=3(x0).(2)=(-1-x,-y)(2)=(-1-x,-y)(1-x,-y)(1-x,-y)=x=x2 2+y+y2 2-1=2,-1=2,|=|=.cos=.cos=.0 x ,cos1,0 .0 x ,cos1,0 .的最大值为的最大值为 ,此时此时x=0,x=0,点点P P的坐标为的坐标为(0,(0,).).【反思反思感悟感悟】1.1.向量法解决平面解析几何问题的关键是把点的向量法解决平面解析几何问题的关键是把点的坐标转换成向量的坐标，然后进行向量的运算坐标转换成向量的坐标，然后进行向量的运算.2.2.相等向量、共
19、线向量、垂直向量的坐标形式经常用到，必须熟相等向量、共线向量、垂直向量的坐标形式经常用到，必须熟练掌握练掌握.【易错误区易错误区】忽视对直角位置的讨论致误忽视对直角位置的讨论致误 【典例典例】(2012(2012烟台模拟）已知平面上三点烟台模拟）已知平面上三点A A、B B、C C，=（2-k,3),=(2,4).2-k,3),=(2,4).(1)(1)若三点若三点A A、B B、C C不能构成三角形，求实数不能构成三角形，求实数k k应满足的条件；应满足的条件；(2)(2)若若ABCABC为直角三角形，求为直角三角形，求k k的值的值.【解题指南解题指南】(1)(1)三点三点A A、B B、
20、C C不能构成三角形，即不能构成三角形，即A A、B B、C C三点三点共线共线.(2)(2)对对A A、B B、C C谁为直角顶点进行分类讨论谁为直角顶点进行分类讨论.【规范解答规范解答】（1 1）由三点）由三点A A、B B、C C不能构成三角形，得不能构成三角形，得A A、B B、C C在同一直线上，即向量在同一直线上，即向量 平行，平行，,4(2-k)-2,4(2-k)-23=0,3=0,解得解得k=.k=.(2)=(2-k,3),=(k-2,-3),(2)=(2-k,3),=(k-2,-3),=(k,1).=(k,1).ABCABC为直角三角形，为直角三角形，则当则当BACBAC是直
21、角时，是直角时，=0=0，2k+4=02k+4=0，解得，解得k=-2;k=-2;当当ABCABC是直角时，是直角时，=0=0，k k2 2-2k-3=0,-2k-3=0,解得解得k=3k=3或或k=-1;k=-1;当当ACBACB是直角时，是直角时，=0=0，16-2k=016-2k=0，解得，解得k=8.k=8.综上得综上得k-2,-1,3,8.k-2,-1,3,8.【阅卷人点拨阅卷人点拨】通过阅卷数据分析与总结，我们可以得到如下通过阅卷数据分析与总结，我们可以得到如下误区警示和备考建议：误区警示和备考建议：误区误区警示警示解答本题易出现以下两个错误：解答本题易出现以下两个错误：（1 1）
22、由于思维定势误认为第（）由于思维定势误认为第（2 2）问中的）问中的A A一定一定是直角，从而使解答不完整是直角，从而使解答不完整.（2 2）混淆向量坐标运算中垂直与平行的充要条件导）混淆向量坐标运算中垂直与平行的充要条件导致错误致错误.备考备考建议建议建议在学习平面向量的应用时，要高度关注：建议在学习平面向量的应用时，要高度关注：（1 1）加强向量的应用意识，自觉地用向量的思想）加强向量的应用意识，自觉地用向量的思想和方法去思考问题，考虑问题要全面和方法去思考问题，考虑问题要全面.（2 2）要熟记向量运算中的常用公式，如向量平行或）要熟记向量运算中的常用公式，如向量平行或垂直的坐标运算等垂直
23、的坐标运算等.1.(20121.(2012合肥模拟）设合肥模拟）设ABCABC的三个内角的三个内角A A，B B，C C，向量，向量m=(=(sinA,sinB),sinA,sinB),n=(cosB,=(cosB,cosAcosA),),若若mn=1+cos(A+B),=1+cos(A+B),则则C=()C=()（A A）（B B）（C C）（D D）【解析解析】选选C.C.mn=(sinAcosB+cosAsinB)=(sinAcosB+cosAsinB)=sin(A+Bsin(A+B)=)=sinCsinC,sinCsinC=1+cos(A+B)=1-cosC,=1+cos(A+B)=1
24、-cosC,sinC+cosCsinC+cosC=1,=1,2sin(C+)=1,sin(C+)=,2sin(C+)=1,sin(C+)=,C(0,),C+(,),C(0,),C+(,),C+=,C=.C+=,C=.2.(20122.(2012绍兴模拟）已知绍兴模拟）已知O O是是ABCABC所在平面上一点，若所在平面上一点，若 ，则，则O O是是ABCABC的的()()（A A）内心）内心 （B B）重心）重心 （C C）外心）外心 （D D）垂心）垂心【解析解析】选选D.D.由由 ，得得 即即 =0=0，OBCA.OBCA.同理：同理：OABCOABC，OCABOCAB，O O是是ABCA
25、BC的垂心的垂心.3.(20123.(2012北京模拟）在北京模拟）在ABCABC中，中，(1)(1)求求ABCABC的边的边ABAB的长的长;(2)(2)求求 的值的值.【解析解析】（1 1）cosAcosA=,=,cosBcosB=cbcosAcbcosA=1,=1,=-=-cacosB=-=-3,=-=-cacosB=-=-3,bb2 2+c+c2 2-a-a2 2=2,a=2,a2 2+c+c2 2-b-b2 2=6=6 c c2 2=4=4 c=2,c=2,即即AB=2.AB=2.(2)(2)acosB=3bcosA,acosB=3bcosA,sinAcosB=3sinBcosA.sinAcosB=3sinBcosA.=