《ch03d用勒让德多项式求最佳平方逼近.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《ch03d用勒让德多项式求最佳平方逼近.ppt（34页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、 用正交多项式作最佳平方逼近用正交多项式作最佳平方逼近 方法（步骤）：方法（步骤）：（1）求内积：）求内积：（2）解法方程组）解法方程组（3）均方误差）均方误差 优点：优点：用正交多项式求最佳平方逼近多项式，避免用正交多项式求最佳平方逼近多项式，避免解法方程组解法方程组。用勒让德多项式求最佳平方逼近用勒让德多项式求最佳平方逼近设设 a,b=-1,1,r r(x)=1，则此时的正交多项式为勒，则此时的正交多项式为勒让德多项式让德多项式 Pn(x)，=span P0,P1,.,Pn ，其中其中由最佳平方逼近多项式的唯一性可知，这里的由最佳平方逼近多项式的唯一性可知，这里的 与直接与直接以以1,x,
2、.,xn为基得到的最佳平方逼近多项式是一致的为基得到的最佳平方逼近多项式是一致的 于是于是 f(x)C-1,1 在在 中的中的 n 次最佳平方逼近多项式为次最佳平方逼近多项式为举例（二）举例（二）q 例：例：用勒让德正交多项式求用勒让德正交多项式求 在在-1,1 上的最佳上的最佳平方逼近多项式平方逼近多项式（取取 n=1,3）。）。可得可得解：解：所以最佳平方逼近多项式为：所以最佳平方逼近多项式为：举例（三）举例（三）q 例：例：求求 在在 0,1 上的一次最佳平方逼近多项式上的一次最佳平方逼近多项式。注意：注意：这里函数的定义区间为这里函数的定义区间为-1,1。若若 f(x)Ca,b，需作变
3、量替换需作变量替换 ，则，则 t -1,1。解：解：先作变量替换先作变量替换 x=(t+1)/2 则则下面计算下面计算 g(t)在在-1,1 上的一次最佳平方逼近多项式上的一次最佳平方逼近多项式q1(t)，则则 q1(t)=2/3 P0+2/5 P1=2/3+2/5 t 把把 t=2x-1 代入得代入得 f(x)在在 0,1 上的一次最佳平方逼近多上的一次最佳平方逼近多项式为：项式为：切比雪夫多项式的应用切比雪夫多项式的应用定理定理q 切比雪夫多项式切比雪夫多项式首次项首次项 xn 系数为系数为 2n-1，令，令 所有最高项所有最高项 xn 系数为系数为 1 的的 n 次多项式中，在区间次多项
4、式中，在区间-1,1 上与零的偏差最小的多项式是上与零的偏差最小的多项式是 。证：证：由切比雪夫定理可知由切比雪夫定理可知 是是 在在 Pn-1 中，区间中，区间-1,1 上的上的 最佳逼近多项式。最佳逼近多项式。，取，取即即 xk(k=0,1,n)是是 关于关于 在在-1,1 上的轮流上的轮流为正负的为正负的 n+1 个偏差点。个偏差点。是是 Pn 中，在区间中，在区间-1,1 上与零偏差最小的多项式上与零偏差最小的多项式近似最佳逼近多项式近似最佳逼近多项式该定理给出了切比雪夫多项式的一个非常重要的性质，该定理给出了切比雪夫多项式的一个非常重要的性质，该性质被广泛用于求函数的近似最佳逼近多项
5、式。该性质被广泛用于求函数的近似最佳逼近多项式。q由定理可知，若由定理可知，若 f(x)-pn(x)=aTn+1(x)，则在，则在-1,1 上上有有 n+1 个轮流为正负的偏差点，由切比雪夫定理，个轮流为正负的偏差点，由切比雪夫定理，pn(x)是是 Pn中，在中，在-1,1 上上多项式多项式 f(x)的最佳逼近多项式。的最佳逼近多项式。q更一般地，若更一般地，若在在-1,1 上有上有 f(x)-pn(x)aTn+1(x)，则，则pn(x)可作为可作为 f(x)在在 Pn中，区间中，区间-1,1 上的近似最佳逼上的近似最佳逼近多项式。近多项式。举例举例q 例：例：设设 f(x)=x4，在在-1,
6、1 上求上求 f(x)在在 P3中中的最佳的最佳逼近多项式逼近多项式。所求最佳逼近多项式为所求最佳逼近多项式为 p*3(x)=x2-1/8。解：解：已知已知设设,试在-1，1 上寻找一个次数，使它为最佳一致逼近多项式。不超过2的多项式在-1，1上的第四节第四节 曲线拟合的最小二乘法曲线拟合的最小二乘法 函数逼近函数逼近q 三个问题三个问题问题一问题一已知一个函数的数值表已知一个函数的数值表xx1x2xnyy1y2yn能否找到一个能否找到一个简单易算简单易算的的 p(x)，使得使得 p(xi)=yi 。问题二问题二 函数函数 f(x)的表达式非常复杂，能否找到一个的表达式非常复杂，能否找到一个简
7、简单易算单易算的的 p(x)，使得使得p(x)是是 f(x)的一个的一个合理的逼近合理的逼近。问题三问题三 问题一的表中的数值带有误差，能否找到一问题一的表中的数值带有误差，能否找到一个个简单易算简单易算的的 p(x)，可以可以近似地表示这些数据近似地表示这些数据。插值插值数值逼近数值逼近曲线拟合的最小二乘法曲线拟合的最小二乘法已知一个函数的数值表已知一个函数的数值表xx1x2xmyy1y2ym求一个求一个简单易算简单易算的近似函数的近似函数 p(x)f(x)。但是但是(1)m 通常很大；通常很大；(2)yi 本身是测量值，不准确，即本身是测量值，不准确，即 yi f(xi)。这时没必要使这时
8、没必要使 p(xi)=yi,而只要而只要 p(xi)yi 总体上总体上尽可能小。尽可能小。常见做法：常见做法：使使 最小最小太复杂太复杂 使使 最小最小不可导，不可导，求解困难求解困难 使使 最小最小最小二乘法最小二乘法曲线拟合的最小二乘问题曲线拟合的最小二乘问题q 曲线拟合的最小二乘问题曲线拟合的最小二乘问题 这个问题实质上是最佳平方逼近问题的这个问题实质上是最佳平方逼近问题的离散形式离散形式。可以将求连续函数的最佳平方逼近函数的方法直接用可以将求连续函数的最佳平方逼近函数的方法直接用于求解该问题。于求解该问题。已知函数值表已知函数值表(xi,f(xi)，在函数空间在函数空间 中求中求 s*
9、(x)，使得使得其中其中 i 是点是点 xi 处的权。处的权。具体解法具体解法令令由多元函数取极值的必要条件得法方程由多元函数取极值的必要条件得法方程(k=0,1,n)这里的内积是离散内积，即这里的内积是离散内积，即，由于由于 线性无关，法方程系数矩阵非奇异，故线性无关，法方程系数矩阵非奇异，故存在唯一解，于是可得存在唯一解，于是可得 f(x)在在 中的最中的最小二乘逼近函数小二乘逼近函数 s*(x)。最小平方误差最小平方误差中南大学数学院xi12345yi44.5688.521311例：已知一组实验数据例：已知一组实验数据如下表如下表，求它的曲线拟合。，求它的曲线拟合。拟合曲线为：S*(x)
10、=2.45+1.25x解出：a0=2.45,a1=1.2544 曲线拟合的最小二乘法曲线拟合的最小二乘法中南大学数学院xi12345yi44.5688.521311拟合曲线为：S*(x)=2.5648+1.2037x解出：a0=2.5648,a1=1.203744 曲线拟合的最小二乘法曲线拟合的最小二乘法中南大学数学院拟合曲线为：S*(x)=3.0046+0.8102x+0.0694x2解出：a0=3.0046,a1=0.8102,a2=0.069444 曲线拟合的最小二乘法曲线拟合的最小二乘法中南大学数学院最小拟合：最小拟合：polyfit(x,y,m)xi12345yi44.5688.52
11、1311x=1:5;y=4 4.5 6 8 8.5;a=polyfit(x,y,2)z=polyval(a,x)plot(x,y,k+,x,z,r)44 曲线拟合的最小二乘法曲线拟合的最小二乘法中南大学数学院44 曲线拟合的最小二乘法曲线拟合的最小二乘法举例（一）续举例（一）续注：注：最小二乘问题中，如何选择数学模型很重要，即如何最小二乘问题中，如何选择数学模型很重要，即如何选取函数空间选取函数空间 ，通常需要根据物理意义，通常需要根据物理意义，或所给数据的分布情况来选取合适的数学模型。或所给数据的分布情况来选取合适的数学模型。正交多项式（离散）正交多项式（离散）定义定义 设给定点集设给定点集
12、 以及各点的权系数以及各点的权系数 ，如果多，如果多项式族项式族 满足满足则称则称 为关于点集为关于点集 的带权的带权 正交的多项式正交的多项式族。族。正交多项式族的构造正交多项式族的构造给定给定 和权系数和权系数 ，如何构造正交多项式族，如何构造正交多项式族可以证明可以证明 是关于点集是关于点集 的带权的带权 的正交的的正交的多项式族。多项式族。令令(k=1,n-1)其中其中(k=0,1,n-1)(k=1,2,n-1)正交多项式族的构造正交多项式族的构造此时法方程简化为此时法方程简化为 ，即，即(k=0,n)所求的拟合曲线为所求的拟合曲线为(1)可以将构造正交多项式族、解法方程、形成拟合多项
13、式穿可以将构造正交多项式族、解法方程、形成拟合多项式穿插进行；插进行；(2)n 可以事先给定，或在计算过程中根据误差来定；可以事先给定，或在计算过程中根据误差来定；(3)该方法非常适合编程实现，只用递推公式，并且当逼近次该方法非常适合编程实现，只用递推公式，并且当逼近次数增加时，只要将相应地增加程序中的循环次数即可。数增加时，只要将相应地增加程序中的循环次数即可。(4)该方法是目前多项式拟合最好的计算方法，有通用程序。该方法是目前多项式拟合最好的计算方法，有通用程序。凸性（凹向上或凹向下）时，凸性（凹向上或凹向下）时，对于给定对于给定y=f(x)实验数据实验数据的走向、趋势选择合适的数的走向、
14、趋势选择合适的数根据数据根据数据学模型。例如学模型。例如,当实验数据当实验数据具有单调具有单调来拟合实验数据，其中来拟合实验数据，其中可选择下述适当的数学模型可选择下述适当的数学模型a、b为参数，如图。为参数，如图。非线性模型举例非线性模型举例 例：例：xy(xi,yi),i=1,2,m双曲线模型：双曲线模型：baxxxPy+=)(求求 a 和和 b 使得使得 最小。最小。=+=miiiiybaxxba12)(),(j j线性化线性化/*linearization*/：令令 ，则，则bXaY+就是个就是个线性问题线性问题将将 化为化为 后易解后易解 a 和和b。),(iiYX),(iiyx1
15、L-S Approximating Polynomials指数模型：指数模型：xbeaxPy/)(=(a 0,b 0)线性化：线性化：由由 可做变换可做变换xbay lnlnbBaAxXyY=,ln,1,lnBXAY+就是个就是个线性问题线性问题将将 化为化为 后易解后易解 A 和和B),(iiYX),(iiyx用最小二乘法解矛盾方程组用最小二乘法解矛盾方程组 已知已知y=f(x)实验数据实验数据 ,用较简单和合适用较简单和合适的函数来逼近（或拟合）实验数据。的函数来逼近（或拟合）实验数据。假设选用假设选用n次次插值多项式插值多项式 n+1个未知量个未知量 m个方程个方程即即要满足要满足方程组的解不能唯一确定，因此，不能要求方程组的解不能唯一确定，因此，不能要求由于由于精确成立，而仅仅要求多项式尽可能接近精确成立，而仅仅要求多项式尽可能接近给定的数据。也就是要允许每个等式可以稍有偏差，但偏差又尽可给定的数据。也就是要允许每个等式可以稍有偏差，但偏差又尽可n+1+1m能的小。能的小。解法：解法：对矛盾方程组对矛盾方程组作一辅助函数作一辅助函数a0 0,a1 1,an的的多元二次函数多元二次函数-法方程法方程矛盾方程组矛盾方程组可写成矩阵形式：可写成矩阵形式：事实上事实上,举例举例 用二次多项式来拟合函数用二次多项式来拟合函数解解