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1、6.3 最佳平方逼近 定义定义定义定义 近似代替又称为逼近，函数近似代替又称为逼近，函数近似代替又称为逼近，函数近似代替又称为逼近，函数 f f(x x)称为被逼近函数；称为被逼近函数；称为被逼近函数；称为被逼近函数；P P(x x)称为逼近函数，两者之差称为逼近的误差。称为逼近函数，两者之差称为逼近的误差。称为逼近函数，两者之差称为逼近的误差。称为逼近函数，两者之差称为逼近的误差。函数逼近问题可叙述为：函数逼近问题可叙述为：函数逼近问题可叙述为：函数逼近问题可叙述为：对函数类对函数类对函数类对函数类 A A 中给定的函数中给定的函数中给定的函数中给定的函数 f f(x x)，需要在另一类较简
2、单的便于计算的函数类，需要在另一类较简单的便于计算的函数类，需要在另一类较简单的便于计算的函数类，需要在另一类较简单的便于计算的函数类 B B （B BA A）中，找一个函数）中，找一个函数）中，找一个函数）中，找一个函数P P(x x)，使，使，使，使P P(x x)与与与与 f f(x x)之差之差之差之差在某种度量意义下达到最小。在某种度量意义下达到最小。在某种度量意义下达到最小。在某种度量意义下达到最小。函数类函数类函数类函数类 A A通常是区间通常是区间通常是区间通常是区间 a,ba,b 上的连续函数，记作上的连续函数，记作上的连续函数，记作上的连续函数，记作C C a,ba,b ；
3、函数类；函数类；函数类；函数类 B B 通常是代数多项式，有理多项式，三角通常是代数多项式，有理多项式，三角通常是代数多项式，有理多项式，三角通常是代数多项式，有理多项式，三角多项式，分段多项式等容易计算的函数。多项式，分段多项式等容易计算的函数。多项式，分段多项式等容易计算的函数。多项式，分段多项式等容易计算的函数。定理定理 6.1（维尔斯特拉斯定理）（维尔斯特拉斯定理）若若f(x)是区间是区间a,b上的连续函数，则对于任意上的连续函数，则对于任意 0，总存在多项式总存在多项式 ，使对一切使对一切a x b 有有成立成立 表示由所有次数不超过表示由所有次数不超过n n的代数多项式的代数多项式
4、构成的线性空间。构成的线性空间。，使得，使得其中，其中，若存在一个若存在一个则称则称是函数是函数多项式多项式的的最佳一致逼近最佳一致逼近最佳一致逼近最佳一致逼近 最常用的度量标准有两种：最常用的度量标准有两种：最常用的度量标准有两种：最常用的度量标准有两种：1 1、一致逼近（均匀逼近）、一致逼近（均匀逼近）、一致逼近（均匀逼近）、一致逼近（均匀逼近）以以以以 作为度量误差作为度量误差作为度量误差作为度量误差f f(x x)-)-P P(x x)的的的的“大小大小大小大小”标准。标准。标准。标准。2 2、平方逼近（均方逼近）、平方逼近（均方逼近）、平方逼近（均方逼近）、平方逼近（均方逼近）以以以
5、以 作为度量误差作为度量误差作为度量误差作为度量误差f f(x x)-)-P P(x x)的的的的“大小大小大小大小”标准。标准。标准。标准。使用不同的度量产生不同的逼近理论。使用不同的度量产生不同的逼近理论。6.3.1 平方度量与平方逼近平方度量与平方逼近对于对于定义度量定义度量为函数为函数 f(x)的的平方（欧氏）范数平方（欧氏）范数，且满足以下性质：，且满足以下性质：（1）f2 0,f2=0,当且仅当当且仅当 f=0 ；（2）c f2=|c|f2;（3）f+g2 f2+g2;定理定理6.10 对于对于存在多项式存在多项式使得：使得：（维尔斯特拉斯定理）（维尔斯特拉斯定理）6.3.2 最佳
6、平方逼近最佳平方逼近 设设 是是a,b上线性无关的连续函数上线性无关的连续函数a0,a1,an 是任意实数，则是任意实数，则并称并称 是生成集合的一个基底。是生成集合的一个基底。的全体是的全体是Ca,b的一个子集，记为的一个子集，记为则称则称 是是 f(x)在在 中的中的最佳平方逼近函数最佳平方逼近函数。对于对于f(x)Ca,b,若存在若存在 ，使得，使得设设是是Ca,b中的线性无关函数中的线性无关函数,记记定义定义6.13 (最佳平方逼近函数最佳平方逼近函数)定理定理6.12 连续函数在连续函数在a,b上线性无关的充分必要条件是上线性无关的充分必要条件是它们的克莱姆它们的克莱姆(Gram)行
7、列式行列式Gn 0，其中，其中定理定理6.11 对于任意的函数对于任意的函数在在 中有唯一的最佳平方逼近的充要条件是：中有唯一的最佳平方逼近的充要条件是：Gram 行列式不等于零行列式不等于零基函基函数数 对于连续函数空间对于连续函数空间 Ca,b 中的元素中的元素 f(x)及其及其子空间子空间所谓所谓 f(x)在在 中的中的最佳平方逼近最佳平方逼近最佳平方逼近最佳平方逼近，就是存在，就是存在使得对于一切使得对于一切都有：都有：广义多广义多项式项式有限有限维维分析分析不等式不等式 说明说明所求的所求的满足等式：满足等式：其中其中(6.2)由于由于pn*(x)是由其系数是由其系数c0*,c1*,
8、cn*唯一确定的，因此，只唯一确定的，因此，只要我们求出了满足要我们求出了满足(6.2)的的 c0*,c1*,cn*，就可以求出就可以求出f(x)最最佳平方逼近佳平方逼近：投影投影(6.3)构造多元函数构造多元函数根据根据则则这时等式这时等式(6.4)意味着意味着(6.5)(6.5)的极小值点的极小值点。(6.4)也就是说，求出满足也就是说，求出满足等式等式(6.4)的的 pn*(x)，等价于求出满足等价于求出满足等等式式(6.5)的的 c0*,c1*,cn*。由由(6.5)可知可知 c0*,c1*,cn*是是 n+1 元二次函数函数元二次函数函数而而n+1元函数元函数在区间在区间(-,+)上
9、具有上具有一阶连续导函数一阶连续导函数，因此根据，因此根据极值原理极值原理，在最小值点在最小值点 c0*,c1*,cn*处：处：而而于是于是即即利用内积利用内积可以得到可以得到这是一个含有这是一个含有n+1个变量的方程组，具体形式为：个变量的方程组，具体形式为：再写成再写成矩阵形式为矩阵形式为这是关于这是关于n+1个个变量变量c0,c1,cn 的线性方程组，并称其为的线性方程组，并称其为法法方程组方程组，或者，或者正规方程组正规方程组。解此方程组，就可以得到解此方程组，就可以得到c0*,c1*,cn*，也就得到了也就得到了f(x)的最佳平方逼近：的最佳平方逼近：格拉姆格拉姆(Gram)矩阵矩阵
10、最佳平方逼近函数存在惟一最佳平方逼近函数存在惟一2022/12/2921二、误差估计二、误差估计最佳平方逼近的平方误差为最佳平方逼近的平方误差为由方程组由方程组可得可得对于最佳逼近解对于最佳逼近解2022/12/2922于是，最佳平方逼近于是，最佳平方逼近的平方误差为的平方误差为如果如果(6.6)则称则称(6.6)(6.6)为为 f(x)的在的在a,b上的最佳平方逼近上的最佳平方逼近n次多项式次多项式。n较大时，法方程组出现病态,可取基函数为正交基函数（如三角函数）2022/12/2923*求求连续函数最佳平方逼近的步骤连续函数最佳平方逼近的步骤*1.给定给定a,b上的连续函数上的连续函数f(
11、x),及子空间及子空间2.利用内积利用内积给出法方程组给出法方程组2022/12/29243.求出法方程组的解求出法方程组的解 c0*,c1*,cn*,得到最佳平方逼近得到最佳平方逼近4.求出求出平方平方误差误差称为称为均方均方误差误差2022/12/2925 例例3.13.1求求 在在 上的上的最佳平方逼近最佳平方逼近一一次多项式，并估计误差。次多项式，并估计误差。直接套用公式：直接套用公式：解：设解：设 令基函数为令基函数为 则需要求解的方程组为：则需要求解的方程组为：2022/12/2926 这时由这时由 得到得到于是得到法方程组于是得到法方程组 2022/12/2927解之得解之得 最
12、佳平方逼近最佳平方逼近一次多项式为一次多项式为 关于误差，由误差估计式关于误差，由误差估计式2022/12/2928得到得到 2022/12/2929 例例3.2 求求 f(x)=arctanx 在在0,1 上的最佳平方逼近二次上的最佳平方逼近二次多项式，并估计误差。多项式，并估计误差。解：设解：设 P2(x)=c0+c1 x+c2x2，则则 需要写出法方程组需要写出法方程组 这时这时2022/12/29302022/12/2931法方程组为法方程组为解得：解得：且且6.4 正交多项式的逼近性质正交多项式的逼近性质定理定理6.11 对于任意的函数对于任意的函数在在 中有唯一的最佳平方逼近的充要
13、条件是：中有唯一的最佳平方逼近的充要条件是：Gram 行列式不等于零行列式不等于零它的它的Gramer行列式行列式Gn是对角矩阵。是对角矩阵。上式代入下面式子：上式代入下面式子：得到：得到：一、一、Legendre 多项式的应用多项式的应用n给定函数给定函数 f(x)Ca,b,求求 f(x)的的Legendre最佳平方逼近最佳平方逼近.Legendre 多项式的权函为多项式的权函为(x)1,故内积故内积nL-正交多项式为正交多项式为 L0 x,L1 x,Ln x,有有函数函数 f 的的 L-最佳平方逼近函数为最佳平方逼近函数为（5.85）n遇到区间遇到区间a,b,通过下面的变换把问题转化到通过
14、下面的变换把问题转化到-1,1上处理上处理.n函数函数 f(x)的的 Legendre 无穷级数无穷级数例例7 求函数求函数 f(x)ex 在在-1,1 上的上的 Legendre 三次最三次最 佳平方逼近多项式佳平方逼近多项式.解解:前前4个个Legendre 多项式为多项式为使用使用求系数求系数2.3504,所求三次最佳平方逼近多项式为所求三次最佳平方逼近多项式为例例8 求求 f(x)=在区间在区间 0,1 上的上的一次一次最佳平方逼近多最佳平方逼近多项式项式.解解先求先求g(t)在区间在区间-1,1 的一次最佳平方逼近多项式的一次最佳平方逼近多项式.把把 t=2x-1 代入代入 q1(x
15、)，就得，就得 在区间在区间0,1的一次最佳平方的一次最佳平方逼近多项式逼近多项式:二、二、Chebyshev多项式的应用多项式的应用n给定函数给定函数 f(x)C-1,1,求求 f(x)的的Chebyshev Chebyshev 最佳平方逼最佳平方逼近近.ChebyshevChebyshev多项式的内积多项式的内积nC-正交多项式为正交多项式为 T0 x,T1 x,Tn x,函数自己的内积函数自己的内积nHn SpanT0,T1,Tn 中任意函数为中任意函数为函数函数 f 的的 C-最佳平方逼近函数为最佳平方逼近函数为akn函数函数 f(x)的的 Chebyshev 无穷级数无穷级数（5.8
16、6）例例9 求求 f(x)=arcsinx 按按 Chebyshev 多项式展开的多项式展开的 n=7 的的部分和部分和.解解定理定理6.15 设设 f(x)Ca,b，p*(x)Hn,在在 Hn 中中,p*(x)是对是对 f(x)最佳平方逼近的函数最佳平方逼近的函数 (f p*,j)=0,j=0,1,n.其中其中,0 x,1 x,n x 为子空间为子空间 Hn 的一组基的一组基.证证:()反证法反证法,设有函数设有函数 k x,使得使得 (f p*,k)k 0,令令 q(x)p*(x)k x k/(k,k),显然显然,q(x)Hn.利用内利用内积的性质积的性质,可得可得 k这说明这说明,p*(
17、x)不不是对是对 f(x)最佳平方逼近的函数最佳平方逼近的函数,矛盾矛盾.n()若若(f p*,j)=0,j=0,1,n 成立成立,对任意的对任意的 p(x)Hn,有有p*在在 Hn 中是对中是对 f 的最佳平方逼近函数的最佳平方逼近函数.证毕证毕.即即 设设 f(x)Ca,b,p*(x)Hn,在在 Hn 中中,p*(x)是对是对 f(x)最佳最佳平方逼近的函数平方逼近的函数 对任意的对任意的 p(x)Hn,均有均有(f p*,p)=0.由于由于及及定理定理6.13 设设 f(x)Ca,b,在子空间在子空间 Hn 中中,对对 f(x)最佳平方最佳平方逼近的函数是唯一的逼近的函数是唯一的.证明证明 假定假定,在在Hn 中中,p(x)和和 q(x)都是都是对对 f(x)最佳平方逼近最佳平方逼近的函数的函数,由定理由定理6.15的系的系,知知这说明这说明,p(x)q(x)于于 a,b.