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1、DVD在线租赁在线租赁2005年国赛年国赛B题题舒兴明Tel 13648694787QQ 117562750原问题原问题 考虑如下的在线考虑如下的在线DVD租赁问题。顾客缴纳一定数租赁问题。顾客缴纳一定数量的月费成为会员，订购量的月费成为会员，订购DVD租赁服务。会员对哪些租赁服务。会员对哪些DVD有兴趣，只要在线提交订单，网站就会通过快递有兴趣，只要在线提交订单，网站就会通过快递的方式尽可能满足要求。会员提交的订单包括多张的方式尽可能满足要求。会员提交的订单包括多张DVD，这些，这些DVD是基于其偏爱程度排序的。网站会根是基于其偏爱程度排序的。网站会根据手头现有的据手头现有的DVD数量和会员
2、的订单进行分发。每个数量和会员的订单进行分发。每个会员每个月租赁次数不得超过会员每个月租赁次数不得超过2次，每次获得次，每次获得3张张DVD。会员看完会员看完3张张DVD之后，只需要将之后，只需要将DVD放进网站提供放进网站提供的信封里寄回（邮费由网站承担），就可以继续下次的信封里寄回（邮费由网站承担），就可以继续下次租赁。请考虑以下问题：租赁。请考虑以下问题：（1）网站正准备购买一些新的）网站正准备购买一些新的DVD，通过问卷调查，通过问卷调查1000个会员，得到了愿意观看这些个会员，得到了愿意观看这些DVD的人数（表的人数（表1给出了其中给出了其中5种种DVD的数据）。此外，历史数据显的数
3、据）。此外，历史数据显示，示，60%的会员每月租赁的会员每月租赁DVD两次，而另外的两次，而另外的40%只租一次。假设网站现有只租一次。假设网站现有10万个会员，对表万个会员，对表1中的中的每种每种DVD来说，应该至少准备多少张，才能保证希来说，应该至少准备多少张，才能保证希望看到该望看到该DVD的会员中至少的会员中至少50%在一个月内能够看在一个月内能够看到该到该DVD？如果要求保证在三个月内至少？如果要求保证在三个月内至少95%的会的会员能够看到该员能够看到该DVD呢？呢？（2）表）表2中列出了网站手上中列出了网站手上100种种DVD的现有张数和当的现有张数和当前需要处理的前需要处理的10
4、00位会员的在线订单（表位会员的在线订单（表2的数据格的数据格式示例如下表式示例如下表2，具体数据请从，具体数据请从http:/ 对对1000个会个会员调查员调查的部分的部分结结果果DVD名称名称DVD1DVD2DVD3DVD4DVD5愿意愿意观观看的人数看的人数200100502510表表2 现现有有DVD张张数和当前需要数和当前需要处处理的会理的会员员的在的在线订单线订单DVD编编号号D001D002D003D004DVD现现有数量有数量10401520会会员员在在线线订单订单C00016000C00020000C00030003C00040000注：注：D001D100表示表示100种种
5、DVD,C0001C1000表示表示1000个会个会员员,会会员员的在的在线订单线订单用数字用数字1,2,表示，数字越小表示会表示，数字越小表示会员员的偏的偏爱爱程度越程度越高，数字高，数字0表示表示对应对应的的DVD当前不在会当前不在会员员的在的在线订单线订单中。中。合理假设合理假设（1）抽样调查的）抽样调查的1000人具有代表性，即频率可以代替概率；人具有代表性，即频率可以代替概率；（2）DVD租赁业务按规则进行，客户在规定时间内归还租赁业务按规则进行，客户在规定时间内归还DVD；（3）每次租赁都是）每次租赁都是3张张DVD；（4）每个会员每月的租赁次数与对）每个会员每月的租赁次数与对DV
6、D的偏好是独立的；的偏好是独立的；（5）各个会员之间的选择和偏好也是相互独立的；）各个会员之间的选择和偏好也是相互独立的；针对问题针对问题(1)的符号设置的符号设置Xi 会员会员i每月租赁的次数，每月租赁的次数，Xi=1,2,i=1,2,100000;Yij 会员会员i对第对第j类类DVD的选择的选择，Yij=3,0,j=1,2,3,4,5;i=1,2,100000Rj 第第j类类DVD的最少定购张数，的最少定购张数，j=1,2,3,4,5;问题（问题（1）的模型）的模型 根据条件和假设（根据条件和假设（5）会员）会员i的每月定购次数的每月定购次数X1,X2,X100000是服从同分布的随机变
7、量，且分布规律为是服从同分布的随机变量，且分布规律为Xi21P(Xi)0.60.4且且X1,X100000相互独立。相互独立。在在100000个会员中抽取个会员中抽取1000个会员，样本容量个会员，样本容量n=1000足足够大，会员对够大，会员对DVD的选择频率可以直接作为选择概率的点估计的选择频率可以直接作为选择概率的点估计值，所以可以给出值，所以可以给出Yij的概率分布律为的概率分布律为Yi130pi10.20.8Yi230pi20.10.9Yi330pi30.050.95Yi430pi30.0250.975Yi530pi50.010.99i=1,2,100000显然，对每个显然，对每个j
8、，y1j,y2j,y100000j相互独立，相互独立，j=1,2,3,4,5 为了使得希望看到第为了使得希望看到第j类类DVD的人每个月至少有的人每个月至少有50%的人的人满足愿望，数学模型为满足愿望，数学模型为关于问题（关于问题（1）第一小问的数学模型）第一小问的数学模型j=1,2,3,4,51 （可以根据中心极限定理：独立同分布随机变量的和近（可以根据中心极限定理：独立同分布随机变量的和近似服从正态分布）似服从正态分布）关于模型关于模型1的求解流程如下的求解流程如下（1）对给定的第）对给定的第j类类DVD，产生，产生n个月的租赁情况：个月的租赁情况：B=；（1）对给定的第）对给定的第j月，
9、对会员月，对会员i=1：100000，A=;（2）在）在(0,1)上产生随机数上产生随机数ai,若若ai=0.6，Xi=2,否则否则Xi=1；（3）在）在(0,1)上产生随机数上产生随机数bi,若若bi=pj，Yij=3，否则，否则Yij=0；（4）A=A；Xi*Yij；（5）对所以会员的租赁情况求和，）对所以会员的租赁情况求和，A1=sum(A);B=B;A1;（6）对）对B作升序排列，得到作升序排列，得到B1，取，取B1(n/2+1)作为作为Rj的估计的估计值。值。根据上面的流程，编写根据上面的流程，编写M文件如下文件如下function R=DVD1(p,n)B=;for k=1:n h
10、=random(unif,0,1,100000,2);x1=2*(h(:,1)0.6;x=x1+x2;y=3*(h(:,2)clear p=0.2,0.1,0.05,0.025,0.01;R=;for k=1:length(p)R1=DVD1(p(k),200);R=R;R1;end RR=95964 48048 24000 12039 4809表表1所示的所示的5种种DVD的订购的订购量分别为量分别为95964,48048,24000,12039,4809张，就可以保证想张，就可以保证想看这些看这些DVD的顾客有的顾客有50%以上的希望看到！以上的希望看到！关于问题（关于问题（1）第二小问的
11、数学模型）第二小问的数学模型（要求保证在三个月内至少（要求保证在三个月内至少95%的会员能够看到该的会员能够看到该DVD）Z1i01p2/31/3 顾客的租赁行为可以发生在这三个月的任何一个月，取顾客的租赁行为可以发生在这三个月的任何一个月，取Z1i,Z2i,Z3i表示顾客表示顾客i对三个月的选择，即对三个月的选择，即Z2i01p2/31/3Z3i01p2/31/3且且Zk1,Zk2,Zk100000相互地独立，相互地独立，k=1，2，3这时的数学模型为这时的数学模型为2由于由于Z1i，Z2i，Z3i分布一样，故只需要求解模型分布一样，故只需要求解模型2的最优的最优解即可。（解即可。（同样可以
12、用中心极限定理求解同样可以用中心极限定理求解）。）。用随机模拟方法的求解流程如同模型（用随机模拟方法的求解流程如同模型（1）的第一个小问，）的第一个小问，只是增加只是增加Z1i的随机取值即可。的随机取值即可。关于模型关于模型2的求解流程如下的求解流程如下（1）对给定的第）对给定的第j类类DVD，产生，产生n个月的租赁情况：个月的租赁情况：B=；（1）对给定的第）对给定的第j月，对会员月，对会员i=1：100000，A=;（2）在）在(0,1)上产生随机数上产生随机数ai,若若ai=0.6，Xi=2,否则否则Xi=1；（3）在）在(0,1)上产生随机数上产生随机数bi,若若bi=pj，Yij=3
13、，否则，否则Yij=0；（4）在）在(0,1)上产生随机数上产生随机数ci,若若ci=1/3,zij=1,否则否则zij=0;（4）A=A；Xi.*Yij.*Zij；（5）对所以会员的租赁情况求和，）对所以会员的租赁情况求和，A1=sum(A);B=B;A1;（6）对）对B作升序排列，得到作升序排列，得到B1，取，取B1(0.95n+1)作为作为Rj的估的估计值。计值。function R=DVD1(p,n)B=;for k=1:n h=random(unif,0,1,100000,2,3);x1=2*(h(:,1)0.6;x=x1+x2;y=3*(h(:,2)=p);z=h(:,3)clea
14、r p=0.2,0.1,0.05,0.025,0.01;for k=1:length(p)R(k)=DVD1(p(k),200);end RR=32703 16482 8268 4221 1761 由此可见，只要把对顾客的愿望满足率的评估由由此可见，只要把对顾客的愿望满足率的评估由1个月延个月延长到长到3个月，不仅每种个月，不仅每种DVD的订购与存贮量大大下降，且对每的订购与存贮量大大下降，且对每个顾客愿望的实现率也大大提高。个顾客愿望的实现率也大大提高。针对问题（针对问题（2）的符号设置）的符号设置DVD编编号号D001D002D003D004DVD现现有数量有数量10401520订单订单C
15、00016000bj 第第j中中DVD的现有存量的现有存量,j=1,2,100;cij 第第i会员对第会员对第j种种DVD的订单数字的订单数字,i=1,2,1000;dij 第第i会员对第会员对第j种种DVD的偏爱程度，的偏爱程度，i=1,1000;j=1,2,100 xij 将第将第j种种DVD分派给第分派给第i会员，会员，xij=1,否则，否则，xij=0，i=1,2,1000,j=1,2,100 zij 会员会员i对第对第j种种DVD的定购量，的定购量，i=1,1000,j=1,100yi 会员会员i在一次租赁中是否成功，在一次租赁中是否成功，yi=1，租到，租到3张张DVD，否则，否则
16、，yi=0。在表在表2中，由于订购量越小，顾客对此类中，由于订购量越小，顾客对此类DVD偏爱度越高偏爱度越高，为，为0时，顾客不在订单线，不妨设时，顾客不在订单线，不妨设 会员会员i对第对第j种种DVD的定购量根据表的定购量根据表2，有，有 sets:dvd/1.100/:b;guke/1.1000/:r,y;link(guke,dvd):d,c,x,z;endsetsmax=sum(link:d*x);for(dvd(j):sum(guke(i):z(i,j)*x(i,j)=1 rmax=max(r1);rd=find(r1=rmax);r2=rd(1);a1=a1;a(r2,:);a(r2
17、,:)=;r1=a(:,1);m=length(r1);end clearA=xlsread(d:dvda.xls);B=A(1:30,:);m,n=find(B0);B1=m,n;B2=funpaixu(B1)30 30 30 29 29 29 28 28 28 27 27 27 26 26 26 37 62 98 26 30 55 8 34 82 50 58 78 22 68 95 25 25 25 24 24 24 23 23 23 22 22 22 21 21 21 9 69 94 37 41 76 29 81 95 38 55 57 45 50 53 20 20 20 19 19 1
18、9 18 18 18 17 17 17 16 16 16 45 61 89 66 84 86 41 60 78 47 51 67 10 84 97 15 15 15 14 14 14 13 13 13 12 12 12 11 11 11 13 52 85 23 52 89 21 78 96 2 31 41 59 63 66 10 10 10 9 9 9 8 8 8 7 7 7 6 6 6 55 60 85 53 78 100 31 35 71 26 66 81 19 53 66 5 5 5 4 4 4 3 3 3 2 2 2 1 1 1 11 66 68 7 18 41 32 50 80 6 44 62 8 41 98 此表奇数行表示会员编号，偶数行表示该会员分派到的此表奇数行表示会员编号，偶数行表示该会员分派到的DVD编号。编号。