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1、义务教育教科书（华师）九年级数学下册义务教育教科书（华师）九年级数学下册第第26章章 二次函数二次函数26.2 26.2 二次函数的图象与性质二次函数的图象与性质一一.平面直角坐标系平面直角坐标系:1.有关概念有关概念:x(横轴横轴)y(纵轴纵轴)o第一象限第一象限第二象限第二象限第三象限第三象限第四象限第四象限Pab(a,b)2.平面内点的坐标平面内点的坐标:3.坐标平面内的点与有序坐标平面内的点与有序 实数对是实数对是:一一对应一一对应.坐标平面内的任意一点坐标平面内的任意一点M,都有唯一一对都有唯一一对有序实数有序实数(x,y)与它对应与它对应;任意一对有序实数任意一对有序实数(x,y)
2、,在坐标平面内都有唯一的点在坐标平面内都有唯一的点M与它对应与它对应.4 4.点的位置及其坐标特征点的位置及其坐标特征:.各象限内的点各象限内的点:.各坐标轴上的点各坐标轴上的点:.各象限角平分线上的点各象限角平分线上的点:.对称于坐标轴的两点对称于坐标轴的两点:.对称于原点的两点对称于原点的两点:xyo(+,+)(-,+)(-,-)(+,-)P(a,0)Q(0,b)P(a,a)Q(b,-b)M(a,b)N(a,-b)A(x,y)B(-x,y)C(m,n)D(-m,-n)函数函数y=axy=ax+bx+c+bx+c (a,b,c(a,b,c是常数是常数,a 0),a 0)叫做叫做x x的二次函
3、数的二次函数.5.5.什么叫二次函数什么叫二次函数?我们学过用什么方法画函数我们学过用什么方法画函数的图象的图象?主要有哪些步骤主要有哪些步骤?w观察观察y=y=x x2 2的表达式的表达式,选择适当选择适当x x值值,并计算相应的并计算相应的y y值值,完成下表：完成下表：用描点法画二次函数用描点法画二次函数y=xy=x2 2的图象的图象x xy=xy=x2 20 01 12 23 3-1-1-2-2-3-30 01 14 49 91 14 49 9xy0 0-4-3-2-11234108642-21描点描点,连线连线y=x2 2观察图象,回答问题串w(1)(1)你能描述图象的形状你能描述图
4、象的形状吗吗?与同伴进行交流与同伴进行交流.w(2)图象是轴对称图形吗？如果图象是轴对称图形吗？如果是是,它的对称轴是什么它的对称轴是什么?请你找出请你找出几对对称点几对对称点,并与同伴交流并与同伴交流.xy0 0-4-3-2-11234108642-21y=x2 2观察图象,回答问题串w(3)图象图象 与与x轴有交点吗？轴有交点吗？如果有如果有,交点坐标是什么交点坐标是什么?w(4)在对称轴左侧在对称轴左侧,随着随着x值值的增大的增大,y 的值如何变化？在的值如何变化？在对称轴右侧呢？对称轴右侧呢？xy0 0-4-3-2-11234108642-21y=x2 2观察图象,回答问题串w(5)当
5、当x取什么值时取什么值时,y的值的值最小最小?最小值是什么？你最小值是什么？你是如何知道的？是如何知道的？xy0 0-4-3-2-11234108642-21y=x2 2这条抛物线关于这条抛物线关于y轴对称轴对称,y轴就轴就 是它的对称轴是它的对称轴.对称轴与抛物对称轴与抛物线的交点叫做线的交点叫做抛物线的顶点抛物线的顶点.二次函数二次函数y=x2的的图象形如物体抛射图象形如物体抛射时所经过的路线时所经过的路线,我我们把它叫做们把它叫做抛物线抛物线.在对称轴的左在对称轴的左侧时侧时,y随着随着x的的增大而减小增大而减小.在对称轴的右在对称轴的右侧时侧时,y随着随着x的的增大而增大增大而增大.当
6、当x=-2时，时，y=4当当x=-1时，时，y=1当当x=1时，时，y=1当当x=2时，时，y=4抛物线抛物线y=x2在在x轴的上方轴的上方(除顶点外除顶点外),顶点是它的最低点顶点是它的最低点,开口向上开口向上,并且向并且向上无限伸展上无限伸展;当当x=0时时,函数函数y的值最小的值最小,最小值是最小值是0.()二次函数二次函数y=-xy=-x2 2的图象是什么的图象是什么形状？形状？(2)它与二次函数它与二次函数y=xy=x2 2的图象有什么的图象有什么关系？你能根据表格中的数据作出关系？你能根据表格中的数据作出猜想吗？猜想吗？x x-3-3-2-2-1-10 01 12 23 3y=-y
7、=-x x2 2x-9-9-4-4-1-10 0-1-1-4-4-9-9y=xy=x2 2x x0 01 12 23 3-1-1-2-2-3-30 01 14 49 91 14 49 9y=xy=x2 2x x0 01 12 23 3-1-1-2-2-3-30 01 14 49 91 14 49 9xy0 0-4-3-2-11234-10-8-6-4-22-1描点描点,连线连线y=-=-x2 2这条抛物线关于这条抛物线关于y轴对称轴对称,y轴就轴就 是它的是它的对称轴对称轴.对称轴与抛物对称轴与抛物线的交点叫做线的交点叫做抛物线的抛物线的顶点顶点.yy在对称轴的左侧在对称轴的左侧时时,y随着随
8、着x的增大的增大而增大而增大.在对称轴的右侧在对称轴的右侧时时,y随着随着x的增大的增大而减小而减小.y 当当x=-2时时,y=-4 当当x=-1时时,y=-1当当x=1时时,y=-1当当x=2时时,y=-4抛物线抛物线y=-x2在在x轴的下方轴的下方(除顶点外除顶点外),顶点是它的最高点顶点是它的最高点,开口向下开口向下,并且向下并且向下无限伸展无限伸展;当当x=0时时,函数函数y的值最大的值最大,最大值是最大值是0.抛物线抛物线顶点坐标顶点坐标对称轴对称轴位置位置开口方向开口方向增减性增减性最值最值y=x2y=-x2（0，0）（0，0）y轴轴y轴轴在在x轴的上方轴的上方(除顶点外除顶点外)
9、在在x轴的下方轴的下方(除顶点外除顶点外)向上向上向下向下当当x=0时时,最小值为最小值为0.当当x=0时时,最大值为最大值为0.在对称轴的左侧在对称轴的左侧,y随着随着x的增大而的增大而减小减小.在对称轴的右侧在对称轴的右侧,y随着随着x的的增大而增大增大而增大.在对称轴的左侧在对称轴的左侧,y随着随着x的增大而的增大而增大增大.在对称轴的右侧在对称轴的右侧,y随着随着x的的增大而减小增大而减小.w函数函数y=ay=ax x2 2(a0)(a0)的图象和性质的图象和性质:y=x2y=-x2xy0yx0.顶点坐标与对称轴顶点坐标与对称轴.位置与开口方向位置与开口方向.增减性与最值增减性与最值1
10、.抛物线抛物线y=ax2的顶点是原点的顶点是原点,对称轴是对称轴是y轴轴.2.当当a0时，抛物线时，抛物线y=ax2在在x轴的上方轴的上方(除顶点外除顶点外),它的开口向上它的开口向上,并且向上无限伸展；并且向上无限伸展；当当a0时时,在对称轴的左侧在对称轴的左侧,y随着随着x的增大而减小；在对的增大而减小；在对称轴右侧称轴右侧,y随着随着x的增大而增大的增大而增大.当当x=0时函数时函数y的值最小的值最小.当当a0时，在对称轴的左侧时，在对称轴的左侧,y随着随着x的增大而增大；在对的增大而增大；在对称轴的右侧称轴的右侧,y随着随着x增大而减小增大而减小,当当x=0时时,函数函数y的值最大的值
11、最大.二次函数y=ax2的性质1.1.填空填空:(1)抛物线抛物线y=2x2的顶点坐标是的顶点坐标是_;对称轴是对称轴是_;在在_ 侧侧,y随着随着x的增大而增大的增大而增大;在在_侧侧,y随着随着x的增大而减小的增大而减小;当当x=时时,函函数数y的值最小的值最小,最小值是最小值是 ;抛物线抛物线y=2x2在在x轴的轴的 方方(除顶点外除顶点外).（0，0）y轴轴对称轴的左对称轴的左0对称轴的右对称轴的右0上上(2)(2)抛物线抛物线 在在x x轴的轴的 方方(除除顶点外顶点外),),当当x_x_时时,y,y随着随着x x的增大而增大；的增大而增大；当当x_x_时时,y,y随着随着x x的的
12、,增大而减小增大而减小当当x=0 x=0时时,函数函数y y的值最大的值最大,最大值是最大值是_,_,当当x x 0 0时时,y0.,y0.下下003.已知抛物线已知抛物线y=ax2经过点经过点A（-2，-8）。）。（1）求此抛物线的函数解析式；）求此抛物线的函数解析式；（2）判断点）判断点B（-1，-4）是否在此抛物线上。）是否在此抛物线上。（3）求出此抛物线上纵坐标为）求出此抛物线上纵坐标为-6的点的坐标。的点的坐标。解（解（1）把（）把（-2，-8）代入）代入y=ax2,得得-8=a(-2)2,解出解出a=-2,所求函数解析式为所求函数解析式为y=-2x2.（2）因为）因为 ，所以点，所
13、以点B（-1，-4）不在此抛物线上。不在此抛物线上。（3）由）由-6=-2x2,得得x2=3,所以纵坐标为所以纵坐标为-6的点有两个，它们分别是的点有两个，它们分别是 w2.当当a0时时,抛物线抛物线y=ax2在在x轴的上方（除顶点外）轴的上方（除顶点外）,它的开口向它的开口向上上,并且向上无限伸展；并且向上无限伸展；当当a0时时,在对称轴的左侧在对称轴的左侧,y随着随着x的增的增大而减小；大而减小；在对称轴右侧在对称轴右侧,y随着随着x的增大而增大的增大而增大.当当x=0时函数时函数y的值最小的值最小.当当a0时时,在对称轴的左侧在对称轴的左侧,y随着随着x的增大而的增大而增大；增大；在对称轴的右侧在对称轴的右侧,y随着随着x增大而减小增大而减小,当当x=0时时,函数函数y的值最大的值最大.w1.抛物线抛物线y=ax2的顶点是原点的顶点是原点,对称轴是对称轴是y轴轴.n由二次函数y=y=x x2 2和和y=-y=-x x2 2知：