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1、第一篇弹性力学第一章 弹性力学基本方程1.1绪论1.2弹性力学的基本假定1.3几个基本概念1.4弹性力学基本方程第二章 弹性力学平面问题2.1平面应力问题2.2平面应变问题2.3平面问题的基本方程第三章 弹性力学问题求解方法简述第一章弹性力学基本方程1.1绪论1.2弹性力学的基本假定1.3几个基本概念1.4弹性力学基本方程应力 应变 位移弹性体外界作用弹性力学基本内容外力温度变化弹性力学弹性力学，又称弹性理论。是研究弹性体由于外力载荷或者温度改变，物体内部所产生的位移、变形和应力分布等。为解决工程结构的强度，刚度和稳定性问题作准备。弹性力学的研究对象：是完全弹性体，包括构件、板和三维弹性体，比
2、材料力学和结构力学的研究范围更为广泛。研究的内容：外力作用下应力、应变、位移1.1弹性力学绪论物体变形物体变形弹性变形、塑性变形弹性变形、塑性变形弹性变形：弹性变形：当外力撤去以后恢复到原始状态，没有变形残留，材当外力撤去以后恢复到原始状态，没有变形残留，材料的应力和应变之间具有一一对应的关系。与时间无料的应力和应变之间具有一一对应的关系。与时间无关，也与变形历史无关关，也与变形历史无关。塑性变形：塑性变形：当外力撤去以后尚残留部分变形量，不能恢复到原始当外力撤去以后尚残留部分变形量，不能恢复到原始状态，状态，即存在永久变形。应力和应变之间的关系即存在永久变形。应力和应变之间的关系不再一一对应
3、，与时间、与加载历程有关不再一一对应，与时间、与加载历程有关。弹性：弹性：假定“完全弹性”关系，是抽象出来的理想模型。完全弹性是指在一定温度条件下，材料的应力和应变之间具有一一对应的关系。应力应变关系称为本构关系。本构关系。材料模型包括：线性弹性体非线性弹性体1.2弹性力学的基本假定1.连续性假设连续性假设根据这一假设，物体的所有物理量，例如位移、应变和应力等均成为物体所占空间的连续函数。2.均匀性假设均匀性假设假设弹性物体是由同一类型的均匀材料组成的，物体各个部分的物理性质都是相同的，不随坐标位置的变化而改变。在处理问题时，可以取出物体的任意一个小部分讨论。3.各向同性假设各向同性假设假定物
4、体在各个不同的方向上具有相同的物理性质，物体的弹性常数不随坐标方向变化。像木材、竹子以及纤维增强材料等，属于各向异性材料，它们是复合材料力学研究的对象。4.完全弹性假设完全弹性假设应力和应变之间存在一一对应关系，与时间及变形历史无关。满足胡克定理。5.小变形假设小变形假设在弹性体的平衡等问题讨论时，不考虑因变形所引起的几何尺寸变化，使用物体变形前的几何尺寸来替代变形后的尺寸。采用这一假设，在基本方程中，略去位移、应变和应力分量的高阶小量，使基本方程成为线性的偏微分方程组。1.3几个基本概念1.外力2.一点的应力状态3.一点的形变4.位移分量作用于物体的外力可以分为3种类型：体力、面力、集中力。
5、体力体力就是分布在物体整个体积内部各个质点上的力，又称为质量力。例如物体的重力，惯性力，电磁力等等。面力面力是分布在物体表面上的力，例如风力，静水压力，物体之间的接触力等。集中力集中力作用物体一点上的力。（在弹性力学中一般不用，而在有限元中经常出现）1外力体力物体任意一点P所受体力的大小和方向，在P点区域取一微小体积元素V，设V的体力合力为F，则V 的平均体力为当V 趋近于0，则为P点的体力体力是矢量：一般情况下，物体每个点体力的大小和方向不同。体力分量：将体力沿三个坐标轴xyz分解，用X、Y、Z表示，称为体力分量。符号规定：与坐标轴方向一致为正，反之为负。应该注意的是：在弹性力学中，体力是指
6、单位体积的力。体力的因次：力/长度3表示：F=XYZ面力与体力相似，在物体表面上任意一点P所受面力的大小和方向，在P点区域取微小面积元素S，当S 趋近于0，则为P点的面力面力分量符号规定：与坐标轴方向一致为正，反之为负。面力的因次：力/长度2集中力体力与面力都是分布力，集中力则只是作用在一个点上，作用区域V或S很小，但数值很大，这种形式的力可以认为是集中力。集中力分量：集中力直接将其沿三个坐标轴分解，用X0、Y0、Z0表示，即集中力力分量。符号规定：与坐标轴方向一致为正，反之为负。体力的因次：力2一点的应力状态应力表示方法材料力学中接触过斜截面上的应力，斜截面上应力可以分成正应力、剪应力；复杂
7、物体任意截面上的应力可分为1个与平面垂直的正应力、2个平面内剪应力。X面Y面Z面正应力分量3个：剪应力分量6个：正面负面X面Y面Z面应力符号意义剪应力：正应力：由法线方向确定作用面作用方向符号规定：正面上与坐标轴正向一致，为正；负面上与坐标轴负向一致，为正。剪应力互等定理剪应力不再区分哪个是作用面或作用方向。应力分量：相等3一点应变分量微分单元体的变形：微分单元体棱边的伸长和缩短；正应变正应变棱边之间夹角的变化；剪应变剪应变正应变分量3个：剪应变分量3个：应变的定义（自学）设平行六面体单元，3个轴棱边：变形前为MA，MB，MC；变形后变为MA，MB，MC。正应变（小变形）（自学）符号规定：正应
8、变以伸长为正。剪应变（自学）符号规定：正应变以伸长为正；剪应变以角度变小为正。4位移分量位移：由于载荷作用或者温度变化等外界因素等影响，物体内各点在空间的位置将发生变化，位置移动即产生位移。位移刚体位移刚体位移、变形变形刚体位移刚体位移物体内部各个点仍然保持初始状态的相对位置不变，由于物体整体在空间做刚体运动引起的位置改变。变形变形物体整体位置不变，弹性体在外力作用下发生形状的变化，而改变了物体内部各个点的相对位置，引起位移。后者与弹性体的应力有着直接的关系弹性力学研究的主要变形，通常叫位移。u=x（x，y，z）-x=u（x，y，z）v=y（x，y，z）-y=v（x，y，z）w=z（x，y，z
9、）-z=w（x，y，z）根据连续性假设，弹性体在变形前和变形后仍保持为连续体。弹性体中某点在变形过程中由M（x，y，z）移动至M(x，y，z)，这一过程也是连续的，为 x、y、z的单值连续函数形变和位移之间的关系：位移确定位移确定形变完全确定：形变完全确定：从物理概念看，各点的位置确定，则微分线段上的形变确定。从数学推导看，位移函数确定，则其导数（形变）确定。形变确定，位移不完全确定形变确定，位移不完全确定：从物理概念看，、确定，物体还可作刚体位移。从数学推导看，、确定，求位移是积分运算，出现待定函数。应力 应变 位移弹性力学各个量之间的关系平衡方程物理方程几何方程外力弹性力学分析过程中：通过
10、静力平衡、几何变形和本构关系建立起外力、应力、应变、位移之间相互关联。再必须根据已知物理量，（一般外力、结构几何形状和约束条件等），推导和确定基本未知量（应力、应变、位移。1.4弹性力学基本方程1.平衡方程（应力外力之间的关系）2.物理方程（应变应力之间的关系）3.几何方程（柯西方程）（应变位移之间的关系）4、变形协调方程5、边界条件如果物体表面的面力已知，则称为应力边界条件：第一类边界条件如果物体表面的位移已知，则称为位移边界条件：第二类边界条件混合边界条件=第一类+第二类5、边界条件应力边界条件：位移边界条件：外法线的方向余弦方程数量：平衡方程3个物理方程6个几何方程6个合计15未知量：应
11、力分量6个应变分量6个位移分量3个u、v、w合计15空间问题第二章弹性力学平面问题2.1平面应力问题2.2平面应变问题2.3平面问题的基本方程2.1平面应力问题1、平面应力问题的概念平面应力问题讨论的弹性体为薄板。薄壁厚度远小于结构另外两个方向的尺度。薄板的中面为平面，其所受外力，包括体力均平行于中面O-xy面内，并沿厚度方向z不变。而且薄板的两个表面不受外力作用。平面应力问题几何特征薄壁厚度为h远小于结构另外两个方向的尺寸等厚度中心层平直受力特征外力平行于中心层外力沿厚度不变化根据薄板的表面面力边界条件，即表面不受外力作用，则由于板很薄，外力沿厚度均匀分布，因此应力分量也沿厚度均匀分布，应力
12、分量不随z改变。2、平面应力问题的应力应力分量应变分量3、平面应力问题应力、应变1平面应变问题的概念弹性体是具有很长的纵向轴的柱形物体，横截面大小和形状沿轴线长度不变；作用外力与纵向轴垂直，并且沿长度不变；柱体的两端受固定约束。可以认为柱体是无限长的。如果从中任取一个横截面，则柱形物体的形状和所受载荷将对此横截面是对称的。因此物体变形时，横截面上的各点只能在其自身平面内移动。2.2平面应变问题几何特征一个尺寸远大于结构另外两个方向的尺寸中心轴平直沿中心轴截面不变化受力特征外力垂直于中心轴外力沿中心轴长度方向不变化平面应变问题2、平面应变问题的位移沿纵向轴的位移恒等于零；由于无限长，所以任一个横
13、截面都是一样的，与z轴无关。只要是x、y坐标函数应力分量应变分量3、平面应变问题的应力、应变2.3平面问题的基本方程1.平衡方程（应力外力之间的关系）2.几何方程（应变位移之间的关系）3.物理方程（应变应力之间的关系）平面应力与平面应变问题的：平衡方程、几何方程相同。但物理方程不同。从空间问题推得。平面应力的物理关系平面应力的物理关系平面应变的物理关系平面应变的物理关系二者主要不同在于z向应变，位移和正应力的计算公式两种平面问题的区别两种平面问题的内在关系平面应力平面应变平面应力平面应变平面应变平面应力两种平面问题的内在关系平面应力平面应变平面应力平面应变4变形协调方程平面应力平面应变由6个简
14、化为1个调和方程方程数量：平衡方程2个物理方程3个几何方程3个合计8未知量：应力分量3个应变分量3个位移分量2个u、v合计8平面问题第三章弹性力学问题求解方法简述应力 应变 位移弹性力学各个量之间的关系平衡方程物理方程几何方程外力3.1概述根据几何方程和本构方程可见：位移、应力和应变分量之间不是相互独立的。假如已知位移分量，通过几何方程可以得到应变分量，然后通过物理方程可以得到应力分量。如果已知应力分量，通过物理方程得到应变分量，再由几何方程的积分求出位移分量，不过这时的应变分量必须满足一组补充方程，即变形协调方程。应力 应变 位移位移解法：若以位移函数作为基本未知量求解，根据物理方程和几何方
15、程，应力分量及平衡方程均由位移分量表达；应力解法：若以应力函数作为基本未知量，称为应力解法，对于应力解法，应力分量必须满足平衡微分方程和变形协调方程；混合解法：若以位移分量和应力分量作为基本未知量，通过物理方程中消去应变分量，表述基本方程，称为混合解法。基本方程的求解方法弹性力学是对整个研究对象建立平衡方程、几何方程、物理方程，再根据外力作用下求整体的应力、应变、位移。解答的途径有两大类：1.精确解（解析解、理论解法）逆法、半逆法、复变函数法、级数法、特殊函数法等2.近似解法（数值解法）1位移解法当位移分量作为基本未知函数求解时，变形协调方程是自然满足的。根据物理方程和几何方程，可以得到：以位
16、移表示的平衡微分方程，称为拉梅（拉梅（Lam）方程。）方程。拉普拉斯运算符号，3.2解析解法2应力法主要介绍应力函数法，应力函数法，称为艾里（Airy）应力函数。设应力表示的变形协调方程双调和方程双调和方程应力函数（1）一次多项式一次多项式应力函数对应无应力的应力状态。这个结论说明在应力函数中增加或减少一个x，y的线性函数，将不影响应力分量的值。（2)二次多项式如仅a，b，c0，分别表示单向拉伸或者纯剪切应力状态。(3)三次多项式如果仅考虑d不为零的情况，即a=b=c=0，其对应于矩形梁的纯弯曲应力状态。解析解的难点：弹性力学研究对象是弹性体，形体复杂，是偏微分方程的边值问题。在数学上求解困难
17、重重，除了少数特殊边界问题，一般弹性体问题很难得到解答。要得到解析解：1、简化形体，譬如材料力学的研究对象是杆件，常微分方程，可以求解；平面问题，忽略次要因素，简化应力状态。2、简化边界约束条件，放松某些限制等。结果：寻求求解偏微分方程在特定条件下的数学解法，而造成所得到的结果并非实际问题的真实状态。结果误差很大，甚至是错误的结论。近似解法（数值解法）差分法加权余量法变分法有限元法（FEM）边界元法（BEM）3.3数值解法有限元法与边界元法的比较离散化，FEM在区域上，BEM在边界上；维数，BEM降维，3D2D；2D1D；通用性，FEM格式统一，BEM特定问题；对使用者数学要求，FEM低，BE
18、M高；目前应用状况，FEM一统天下。1有限元基本思想2离散化（建立计算模型）3位移插值函数4单元分析5等效结点载荷6整体分析7有限元方程求解方法8应力结果9举例第二篇有限元法基础应力 应变 位移弹性力学各个量之间的关系平衡方程物理方程几何方程外力1有限元基本思想应力 应变 位移平衡方程平衡方程放弃物理方程几何方程外力有限元的基本思路能量原理只要位移场确定，就可得到应变、应力。有限元的基本思想：在弹性体内选取足够多、有限个点，假定这些点的位移已知，再用这些假定的位移量描述其它位置点的位移，就得到了用特定点位移表示的弹性体的位移场。这些选定的有代表性的点结点，（node）结点：代表性尖点、拐角、截
19、面改变处等集中载荷作用、位移约束位置等。位移场：某个点（非结点）位移不是由所有结点位移来表述的，而是划分成小区域/小块上的结点来表示的，这些小区域/小块单元。有限元处理问题的方法连续体剖分小块（单元），即离散体。有限元法特点：1.概念浅显，容易掌握，可以在不同程度上理解与应用2.通用性强，应用广泛，几乎所有领域；3.计算格式统一，便于编程计算；4.大型通用程序成熟商业化，无需专门知识编程5.先进的前处理，网格自动划分，完善的后处理，可视或动态显示，直观形象。误差难估计2离散化（计算模型）单元的形式是多样的实体单元模型2.1 单单元元类类型与作用型与作用杆单元杆单元梁单元梁单元二维单元二维单元线
20、性单元线性单元二次单元二次单元三维单元三维单元线性单元线性单元二次单元二次单元板壳单元板壳单元2.2离散化应注意的问题：首要的问题是根据结构的几何特点、受力特征选择合理的单元形式。对称性的利用，在划分单元之前，有必要先研究一下计算对象的对称或反对称的情况，以便确定是取整个物体，还是部分物体作为计算模型。取四分之一作为计算模型（以平面三角形单元为例）1.共边：覆盖求解区域，单元间既不允许相互重叠，也不允许相互脱开；2.共点：任意三角形的顶点必须是相邻单元的顶点，不能为相邻单元的内点。3.边长接近：单元的边长尽可能接近，采用锐角三角形4.数目与精度兼顾：单元划分细，计算精度越高，但结点数增加，计算
21、时间加长。单元大小过渡，应力梯度大的区域单元尺寸小，应力变化小的区域，单元可以划分大些。或在初步计算的基础上对于高应力区，在进一步细化网格，进行二次分析。5.适当简化。不可以不可以可以可以较差较差较好较好节点编号顺序节点编号顺序在进行节点编号时，应该注意要尽量使同一单元的相邻节点的号码差尽可能地小，以便最大限度地缩小刚度矩阵的带宽，节省存储、提高计算效率。平面问题的半带宽为 B=2(d+1)3位移模式要求：要求：i、j、m按逆时针排序按逆时针排序单元的结点位移向量单元的结点位移向量用来描述单元内各点位移变化规律的函数，称为位移模式三角形单元的位移模式假定为位移模式：位移模式矩阵表达：位移模式通
22、式单元内任一点的位移；单元内任一点的位移；单元的结点位移向量；单元的结点位移向量；单元的形函数矩阵。单元的形函数矩阵。形函数的性质面积坐标形函数与面积坐标的关系三角形的面积位移模式反映了单元内任意一点的位移与结点位移之间的关系。是有限元计算精度的关键。4单元分析4.1单元上任意一点的应变4.2单元上任意一点的应力4.3单元的能量4.4单元刚度矩阵的性质4.1单元上任意一点的应变几何方程或写成通式B矩矩阵阵叫叫做做单单元元几几何何矩矩阵阵，反映了单元内任意一点的应变分量与结点位移之间的关系几何矩阵几何矩阵B中的每个元素，中的每个元素，均为常数，它们由结点坐标确定。单元内任意一点P的应变分量与坐标
23、（x，y）无关，说明单元中应变是常量。4.2单元上任意一点的应力物理方程物理方程 D D弹性矩阵弹性矩阵平面应力问题平面应力问题平面应变问题平面应变问题 S S 叫做应力矩阵叫做应力矩阵4.3单元的能量1、单元的应变能一维问题应变能密度为平面问题应变能密度为 称为单元刚度矩阵，简称单刚，它反映了单元应变能与单元结点向量之间的关系。2、外力势能(1)、体力势能(2)、面力势能(3)、集中力势能3、单元的总势能4.4单元刚度矩阵的性质某单元的刚度矩阵，仔细看看，会发现该矩阵有哪些特点？4.4单元刚度矩阵的性质1、对称性单元刚度矩阵是对称方阵，其元素都对称于主对角线。2、奇异性单元刚度矩阵中任意一行
24、或列元素之和为零。其物理意义 是在没有给单元施加任何约束时，单元可有刚体运动，位移不能唯一的确定。3、主对角线元素恒为正值 主对角线元素是正值说明结点位移方向与施加结点荷载的方向是一致的。4、单元刚度矩阵与单元位置无关单元刚度矩阵与单元位置无关，也就是单元在平移时，Ke不变；单元结点排列顺序不同时，Ke中元素大小不变，而排列顺序相应改变。5 等效节点载荷等效节点载荷 弹弹性性体体所所受受外外力力包包括括体体积积力力、表表面面力力、集集中中力力。分分别别作作用用在在弹弹性性体体内内部部、物物体体表表面面上上、物物体体的的一一个个点上。点上。载载荷荷列列阵阵RR，是是由由弹弹性性体体的的全全部部单
25、单元元的的等等效效节节点点力力集集合合而而成成，是是将将全全部部载载荷荷转转移移到到单单元元的的节节点点上，它们的作用位置发生了变化上，它们的作用位置发生了变化载荷移置。载荷移置。它它们们的的作作用用效效果果是是等等效效的的，故故称称等等效效节节点点力力向向量量RRe e 。各各种种载载荷荷 分分别别移移置置到到节节点点上上，再再逐逐点点加加以以合合成成求得单元的等效结点载荷。求得单元的等效结点载荷。1、体力等效结点载荷自重情况下：自重情况下：y0 xijmy0 xijm2、面力等效结点载荷6.1结构的结点位移向量 假假设设弹弹性性体体被被划划分分为为N N个个单单元元和和n n个个节节点点，
26、整整个个弹弹性性体的节点位移向量体的节点位移向量 2n12n1整个弹性体的载荷列阵整个弹性体的载荷列阵 R R 2 2n n116整体分析矢量有方向性，外力、应力，不能直接相加标量没有方向，只有大小，可以相加。弹性体的能量是标量，可以直接相加。6.2结构的总势能单刚的扩充为了实现上述运算扩展结构的总刚度矩阵结构总的体力列阵结构总的面力列阵结构总的集中力列阵结构的总势能6.3 6.3 整体刚度矩阵形成方法整体刚度矩阵形成方法123421q图图 5组装总刚组装总刚k的一般规则：的一般规则：1.当当krs中中r=s时，该点被哪几个单元所共有，则总刚子矩时，该点被哪几个单元所共有，则总刚子矩阵阵krs
27、就是这几个单元的刚度矩阵子矩阵就是这几个单元的刚度矩阵子矩阵krse的相加。的相加。2.当当krs中中r s时，若时，若rs边是组合体的内边，则总体刚度矩边是组合体的内边，则总体刚度矩阵阵krs就是共用该边的两相邻单元单刚子矩阵就是共用该边的两相邻单元单刚子矩阵krse的相加。的相加。3.当当krs中中r和和s不不同同属属于于任任何何单单元元时时，则则总总体体刚刚度度矩矩阵阵krs=0。下面，我们考查一个组装总刚的实例：下面，我们考查一个组装总刚的实例：1.整体刚度矩阵及载荷列阵的组集整体刚度矩阵及载荷列阵的组集 根据叠加原理，整体结构的各根据叠加原理，整体结构的各个刚度矩阵的元素显然是由有关
28、单个刚度矩阵的元素显然是由有关单元的单元刚度矩阵的元素组集而成元的单元刚度矩阵的元素组集而成的，为了便于理解，现结合图的，为了便于理解，现结合图5说说明组集过程。明组集过程。图图中中有有两两种种编编码码：一一是是节节点点总总码码：1、2、3、4；二二是是节节点点局局部部码码，是是每每个个单单元元的的三三个个节节点点按按逆逆时时针针方方向向的的顺顺序序各各自自编码为编码为1，2，3。图中两个单元的局部码与总码的对应关系为：图中两个单元的局部码与总码的对应关系为：单元单元 1 ：1，2，3 1，2，3 单元单元 2 ：1，2，3 3，4，1或：或：单元单元 1 ：1，2，3 1，2，3 单元单元
29、2 ：1，2，3 1，3，4单元单元e的刚度矩阵分块形式为：的刚度矩阵分块形式为：整体刚度矩阵分块形式为：整体刚度矩阵分块形式为：其中每个子块是按照节点总码排列的。其中每个子块是按照节点总码排列的。通常，采用刚度集成法或直接刚度法来组集整体结构刚通常，采用刚度集成法或直接刚度法来组集整体结构刚度矩阵。刚度集成法分两步进行。度矩阵。刚度集成法分两步进行。第一步，把单元刚度矩阵第一步，把单元刚度矩阵 扩大成单元的贡献矩阵扩大成单元的贡献矩阵 ，使单元刚度矩阵的四个子块按总体编号排列，空白处作零子使单元刚度矩阵的四个子块按总体编号排列，空白处作零子块填充。块填充。第第二二步步，以以单单元元 2 为为
30、例例，局局部部码码1，2，3 对对应应于于总总码码3，4，1，按照这个对应关系扩充后，可得出单元，按照这个对应关系扩充后，可得出单元 2 的贡献矩阵的贡献矩阵 。总码总码 1 2 3 4 2 3 4 3 1 2 局部码局部码用同样的方法可得单元用同样的方法可得单元 1 的贡献矩阵的贡献矩阵 。第第三三步步，把把各各单单元元的的贡贡献献矩矩阵阵对对应应行行和和列列的的子子块块相相叠叠加加，即可得出整体结构的刚度矩阵即可得出整体结构的刚度矩阵 ，如（，如（42）式。）式。在在这这里里应应该该指指出出，整整体体刚刚度度矩矩阵阵 中中每每个个子子块块为为 阶阶矩矩阵阵，所所以以若若整整体体结结构构分分
31、为为n个个节节点点，则则整整体体刚刚度度矩矩阵阵的的阶阶数是数是 。总码总码 1 2 3 4 1 2 3 （42）1 2 3 局部码局部码 至于整体结构的节点载荷列阵至于整体结构的节点载荷列阵 的组集，只需将各单元的组集，只需将各单元的等效节点力列阵的等效节点力列阵 扩大成扩大成2n行的列阵，然后按各单元的节行的列阵，然后按各单元的节点位移分量的编号，对应相叠加即可点位移分量的编号，对应相叠加即可6.4 整体刚度矩阵的性质整体刚度矩阵的性质 刚度矩阵刚度矩阵K中每一列元素的物理意义为：欲使弹中每一列元素的物理意义为：欲使弹性体的某一节点在坐标轴方向发生单位位移，而其它节性体的某一节点在坐标轴方
32、向发生单位位移，而其它节点都保持为零的变形状态，在各节点上所需要施加的节点都保持为零的变形状态，在各节点上所需要施加的节点力。点力。正定性，刚度矩阵正定性，刚度矩阵K中主对角元素总是正的。中主对角元素总是正的。刚度矩阵刚度矩阵K是一个对称矩阵，即是一个对称矩阵，即Krs=Ksr T。刚度矩阵刚度矩阵K是一个稀疏矩阵。如果遵守一定的节是一个稀疏矩阵。如果遵守一定的节点点 编号规则，就可使矩阵的非零元素都集中在主对角线编号规则，就可使矩阵的非零元素都集中在主对角线附附 近呈带状。近呈带状。5.奇异性。刚度矩阵奇异性。刚度矩阵K是一个奇异矩阵，在排除刚体是一个奇异矩阵，在排除刚体位移后，它是正定阵。
33、位移后，它是正定阵。半带存储半带存储 半带宽B=（相邻节点号的最大差值D+1）*27有限元方程及求解方法7.1有限元方程结构的总势能最小势能原理，对于线弹性体，某一变形可能位移状态为真实位移状态的必要和充分条件是，此位移状态的变形体势能取最小值。结构总势能泛函对结点位移的变分为0.结构有限元方程它是一个2n阶的线性代数方程组。因为该方程中K是结构的总刚度矩阵，F是外荷载列阵，都通过计算求得，因此可以根据有限元方程可以确定结点位移。7.2位移边界条件的处理由于总体刚度矩阵是奇异的，物理意义是结构中存在刚体位移，不能直接求解。必须引入限制结构刚体位移的位移边界条件，即位移约束条件，消除总体刚度矩阵
34、的奇异性，才能求解结构有限方程。位移边界条件是指结构的某些区域位移已知，对于离散体来说，位移约束条件是某些结点的位移分量受到限制，包括位置限制和方向限制两个方面。具体哪些结点受到限制，受限制结点哪个方向位移分量受到限制，要根据结构受力后变形特征来确定。处理的方法，主要有三种：降阶法（紧缩法）降阶法（紧缩法）置大数法置大数法改改1法法1.降阶法降阶法降阶法也称紧缩法或直接代入法，降阶法也称紧缩法或直接代入法，该法是将结构该法是将结构有限元方程中已知结点位移的自由度全部消去，得到有限元方程中已知结点位移的自由度全部消去，得到一组降阶的修正方程，用以求解其它未知的结点位移。一组降阶的修正方程，用以求
35、解其它未知的结点位移。如果给定的位移均为零位移，则只需将总刚K、荷载列阵F中与该位移所对应的行和列全部划去即可。如果给定的位移不为零位移，也只保留了待定的结点位移作为未知量，但需对右端荷载列阵进行相应的修正。2.置大数法置大数法将结构总刚度矩阵中与被约束的位移分量相对应的主对角线元素赋予一个大数A，如取A=10e30或更大。再将右端荷载列阵对应的荷载值换成已知的位移值与该大数的乘积。设结点位移分量r为已知，则有限元方程变为：经过修改后第r个方程的为 方程两边同时除以A，除第r项外，其余各项均为微小量可略去。3.对角元素改对角元素改1法法当给定的位移值为零时，将总刚中与之相对应主对角线元素改为1
36、，相对应的行和列中其余所有元素改为0，荷载列阵对应的元素也改为0即可。应力 应变 位移物理方程几何方程外力有限元方程计算模型中：位移场已经确定，就可得到应变、应力。计算模型中：位移场已经确定，就可得到应变、应力。8应力结果网格化模型8.1单元应力计算步骤有限元方程求解之后，得到了所有结点的位移，单元应力计算对每个单元循环；对于任一单元根据结点i、j、m的实际编号，从结构结点位移向量中选出单元结点位移向量计算单元的应变分量，计算单元的应力分量：8.2应力分析以上分析得到了所有单元的应力分量，为了强度分析，进一步计算主应力或等效应力。主应力取“”号为最大应力，取“”号为最小应力最大应力与x轴的夹角
37、MISES应力由应力分量表示的三维MISES应力由主应力表示的三维MISES应力由应力分量表示的二维MISES应力8.3应力显示x应力mises应力确确定定根根据据工工程程实实际际情情况况确确定定问问题题的的力力学学模模型型，并并按按一一定定比例绘制结构图、注明尺寸、载荷和约束情况等。比例绘制结构图、注明尺寸、载荷和约束情况等。将将计计算算对对象象进进行行离离散散化化，即即弹弹性性体体划划分分为为许许多多三三角角形形单单元元，并并对对节节点点进进行行编编号号。确确定定全全部部节节点点的的坐坐标标值值，对对单单元进行编号，并列出各单元三个节点的节点号。元进行编号，并列出各单元三个节点的节点号。计
38、算载荷的计算载荷的等效节点力。等效节点力。单单元元分分析析，由由各各单单元元的的相相关关参参数数，计计算算单单元元的的几几何何矩矩阵阵、刚度矩阵。刚度矩阵。组集组集整体刚度矩阵整体刚度矩阵，即形成总刚的非零子矩阵。，即形成总刚的非零子矩阵。组装各单元的等效结点载荷，形成总的外载荷向量。组装各单元的等效结点载荷，形成总的外载荷向量。有限元分析的实施步骤有限元分析的实施步骤处理约束处理约束，消除刚体位移，消除刚体位移，求解线性方程组求解线性方程组，得到节，得到节点位移。点位移。计算计算应力矩阵应力矩阵，求得，求得单元应力单元应力，并根据需要计算主应力，并根据需要计算主应力和主方向。和主方向。整理计
39、算结果（后处理部分）。整理计算结果（后处理部分）。图图1所所示示为为一一厚厚度度t=1cm的的均均质质正正方方形形薄薄板板，上上下下受受均均匀匀拉拉力力q=106N/m，材材料料弹弹性性模模量量为为E，泊泊松松比比 ，不不记记自自重重，试试用用有有限限元元法法求求其其应应力力分分量量。123421x图 2y2myxq=106N/m图 1例例例例1 19 计算实例计算实例解：解：.力学模型的确定力学模型的确定.结构离散结构离散由于此结构长、宽远大于厚度，而载荷作用于板平面由于此结构长、宽远大于厚度，而载荷作用于板平面内，且沿板厚均匀分布，故可按内，且沿板厚均匀分布，故可按平面应力问题处理平面应力
40、问题处理。考虑到结构和载荷的对称性，可取结构的考虑到结构和载荷的对称性，可取结构的1/4来研究。来研究。该该1/4结构被离散为两个三角结构被离散为两个三角形单元，节点编号，单元划分及形单元，节点编号，单元划分及取坐标如图取坐标如图2所示，其各节点的坐所示，其各节点的坐标值见表标值见表1。节点坐标xy表1.求单元的刚度矩阵求单元的刚度矩阵1)计算单元的节点坐标差及单元面积计算单元的节点坐标差及单元面积单元（单元（i、j、m 1，2，3）单元面积单元面积2）组装单元的几何矩阵）组装单元的几何矩阵3）计算单元的应力矩阵）计算单元的应力矩阵弹性矩阵弹性矩阵应力矩阵应力矩阵应力矩阵也可应用公式计算应力矩
41、阵也可应用公式计算先计算用到的常数先计算用到的常数单元的刚度矩阵中各个子矩阵单元的刚度矩阵中各个子矩阵单元单元1的刚度矩阵为的刚度矩阵为:123123（i、j、m=1，2，3）单元单元2 2：若按：若按i i、j j、m=3m=3、4 4、1 1顺序，对应单元顺序，对应单元1 1的的123123排码排码时时,则这两个单元刚度矩阵内容完全一样，故有则这两个单元刚度矩阵内容完全一样，故有:3413414.组集整体刚度矩阵组集整体刚度矩阵 由于Krs=KsrT，又单元1和单元2的节点号按123对应341，则可得：按刚度集成法可得整体刚度矩阵为：按刚度集成法可得整体刚度矩阵为：所以组集的整体刚度矩阵为
42、：所以组集的整体刚度矩阵为：5.引入约束条件，修改刚度方程并求解引入约束条件，修改刚度方程并求解根据约束条件：u1=v1=0；v2=0；u4=0和等效节点力列阵：，并代入刚度方程：，划去K中与0位移相对应的1，2，4，7的行和列，则刚度方程变为：求解上面方程组可得出节点位移为：求解上面方程组可得出节点位移为：所以所以先求出各单元的应力矩阵先求出各单元的应力矩阵S1、S2，然后再求得各单元，然后再求得各单元的应力分量：的应力分量：6.计算各单元应力矩阵，求出各单元应力计算各单元应力矩阵，求出各单元应力单元应力可看作是单元形心处的应力值。单元应力可看作是单元形心处的应力值。例例例例2 2 图中所示
43、为一平面应力问题离散化以后的结构图，图中所示为一平面应力问题离散化以后的结构图，其中图（其中图（a）为离散化后的总体结构，图（）为离散化后的总体结构，图（b）为单元）为单元1，2，3，4的结构，图（的结构，图（c）为单元）为单元3的结构。用有限元法计的结构。用有限元法计算节点位移、单元应变及单元应力（为简便起见，取泊算节点位移、单元应变及单元应力（为简便起见，取泊松比松比 ，单元厚度，单元厚度t=1）。）。xy1234651234a3ijmaaa1,2,4ijm 图 计算实例2的结构图 各单元节点号与总体节点号对应表各单元节点号与总体节点号对应表 单元号 1 2 3 4 节点号 节 点 总 编
44、 号 I 1 2 2 3 j 2 4 5 5 m 3 5 3 6解：解：1、求确定各单元刚度所需的系数、求确定各单元刚度所需的系数 及及面积面积A，对于单元，对于单元1，2，4有：有：对于单元对于单元3有有:2、求出各单元的单元刚度矩阵。对于、求出各单元的单元刚度矩阵。对于1，2，4单元，单元，其单元刚度矩阵为：其单元刚度矩阵为：ijmijm 各单元的节点编号与总体结构的总编号之间的对应关各单元的节点编号与总体结构的总编号之间的对应关系见表系见表2。对于单元对于单元3，其单元刚度矩阵为：，其单元刚度矩阵为：ijmijm 3、总刚、总刚 将各单元刚度矩阵按节点总数及相应的节将各单元刚度矩阵按节点
45、总数及相应的节点号关系扩充成点号关系扩充成12*12矩阵矩阵,分别如下分别如下:将扩充后的各单元刚度矩阵相加将扩充后的各单元刚度矩阵相加,得总体刚度矩阵得总体刚度矩阵K，即：，即：4、结构总方程：、结构总方程：其中其中考虑到边界条件：考虑到边界条件：5、位移约束的处理、位移约束的处理 用对角元乘大数法消除奇异性后的结构总体方程为：用对角元乘大数法消除奇异性后的结构总体方程为：6、节点的位移、节点的位移 由以上方程解得的各节点的位移为：由以上方程解得的各节点的位移为：7、单元应力计算、单元应力计算 然后将相应的节点位移代入公式，可分别求得各单元的应然后将相应的节点位移代入公式，可分别求得各单元的应变和应力。变和应力。对于单元对于单元1：对于单元对于单元2：对于单元对于单元3：对于单元对于单元4：思考题思考题简述有限元方法进行问题求解的基本步骤？简述有限元方法进行问题求解的基本步骤？三角形常应变单元位移模式和各矩阵的公式、维数及三角形常应变单元位移模式和各矩阵的公式、维数及意义？意义？形函数的性质？形函数的性质？半带宽的求解？半带宽的求解？如何使用刚体静力等效原理进行单元载荷的移置？如何使用刚体静力等效原理进行单元载荷的移置？如何进行边界条件的处理及整体刚度矩阵的修正？如何进行边界条件的处理及整体刚度矩阵的修正？例题的求解步骤和注意事项？例题的求解步骤和注意事项？