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1、与函数有关的选择题压轴题与函数有关的选择题压轴题2014 年与函数有关的选择题压轴题，考点涉及：一次函数性质；反比例函数性质，反比例函数比例系数k的几何意义及不等式的性质， ；曲线上点的坐标与方程的关系；二次函数的性质，二次函数图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点，二次函数与一元二次方程的关系，二次函数与不等式；相似三角形的判定和性质；轴对称的性质.数学思想涉及：数形结合；化归；方程.现选取部分省市的 2014 年中考题展示，以飨读者.【题 1】 （2014济宁第 8 题） “如果二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个公共点，那么一元二次方程ax2+bx+c=0 有两个不相等的实数根
2、”请根据你对这句话的理解，解决下面问题：若m、n（mn）是关于x的方程 1（xa） （xb）=0 的两根，且ab，则a、b、m、n的大小关系是（ ）AmabnBamnbCambnDmanb【考点】： 抛物线与x轴的交点【分析】： 依题意画出函数y=（xa） （xb）图象草图，根据二次函数的增减性求解【解答】： 解：依题意，画出函数y=（xa） （xb）的图象，如图所示函数图象为抛物线，开口向上，与x轴两个交点的横坐标分别为a，b（ab） 方程 1（xa） （xb）=0 转化为（xa） （xb）=1，方程的两根是抛物线y=（xa） （xb）与直线y=1 的两个交点由mn，可知对称轴左侧交点横坐标
3、为m，右侧为n由抛物线开口向上，则在对称轴左侧，y随x增大而减少，则有ma；在对称轴右侧，y随x增大而增大，则有bn综上所述，可知mabn故选 A【点评】： 本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，考查了数形结合的数学思想解题时，画出函数草图，由函数图象直观形象地得出结论，避免了繁琐复杂的计算【题 2】 （2014 年山东泰安第 20 题）二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a0）中的x与y的部分对应值如下表：X1013y1353下列结论：（1）ac0；（2）当x1 时，y的值随x值的增大而减小（3）3 是方程ax2+（b1）x+c=0 的一个根；（4）当1x3 时，ax2+（b
4、1）x+c0其中正确的个数为（ ）A4 个B3 个C2 个D 1 个【分析】：根据表格数据求出二次函数的对称轴为直线x=1.5，然后根据二次函数的性质对各小题分析判断即可得解【解答】：由图表中数据可得出：x=1 时，y=5 值最大，所以二次函数y=ax2+bx+c开口向下，a0；又x=0 时，y=3，所以c=30，所以ac0，故（1）正确；二次函数y=ax2+bx+c开口向下，且对称轴为x=1.5，当x1.5 时，y的值随x值的增大而减小，故（2）错误；x=3 时，y=3，9a+3b+c=3，c=3，9a+3b+3=3，9a+3b=0，3 是方程ax2+（b1）x+c=0 的一个根，故（3）正
5、确；x=1 时，ax2+bx+c=1，x=1 时，ax2+（b1）x+c=0，x=3 时，ax2+（b1）x+c=0，且函数有最大值，当1x3 时，ax2=（b1）x+c0，故（4）正确故选 B【点评】：本题考查了二次函数的性质，二次函数图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点，二次函数与不等式，有一定难度熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键【题 3】 （2014 年山东烟台第 11 题）二次函数y=ax2+bx+c（a0）的部分图象如图，图象过点（1，0） ，对称轴为直线x=2，下列结论：4a+b=0；9a+c3b；8a+7b+2c0；当x1 时，y的值随x值的增大而增大其中正确的结论有（ ）
6、A1 个B2 个C3 个D 4 个【分析】：根据抛物线的对称轴为直线x=2，则有 4a+b=0；观察函数图象得到当x=3 时，函数值小于 0，则 9a3b+c0，即 9a+c3b；由于x=1 时，y=0，则ab+c=0，易得c=5a，所以 8a+7b+2c=8a28a10a=30a，再根据抛物线开口向下得a0，于是有 8a+7b+2c0；由于对称轴为直线x=2，根据二次函数的性质得到当x2 时，y随x的增大而减小【解答】：抛物线的对称轴为直线x=2，b=4a，即 4a+b=0，所以正确；当x=3 时，y0，9a3b+c0，即 9a+c3b，所以错误；抛物线与x轴的一个交点为（1，0） ，ab+
7、c=0，而b=4a，a+4a+c=0，即c=5a，8a+7b+2c=8a28a10a=30a，抛物线开口向下，a0，8a+7b+2c0，所以正确；对称轴为直线x=2，当1x2 时，y的值随x值的增大而增大，当x2 时，y随x的增大而减小，所以错误故选 B【点评】：本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c（a0） ，二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当a0 时，抛物线向上开口；当a0 时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置，当a与b同号时（即ab0） ，对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab0） ，对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y
8、轴交点 抛物线与y轴交于（0，c） ；抛物线与x轴交点个数由决定，=b24ac0 时，抛物线与x轴有 2 个交点；=b24ac=0 时，抛物线与x轴有 1 个交点；=b24ac0 时，抛物线与x轴没有交点【题 4】（2014威海第 11 题）已知二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象如图，则下列说法：c=0；该抛物线的对称轴是直线x=1；当x=1 时，y=2a；am2+bm+a0（m1）其中正确的个数是（ ）A1B2C3D4【考点】：二次函数图象与系数的关系【分析】：由抛物线与y轴的交点判断c与 0 的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断【解答】：解：
9、抛物线与y轴交于原点，c=0，故正确；该抛物线的对称轴是：，直线x=1，故正确；当x=1 时，y=2a+b+c，对称轴是直线x=1，b=2a，又c=0，y=4a，故错误；x=m对应的函数值为y=am2+bm+c，x=1 对应的函数值为y=ab+c，又x=1 时函数取得最小值，ab+cam2+bm+c，即abam2+bm，b=2a，am2+bm+a0（m1）故正确故选：C【点评】：本题考查了二次函数图象与系数的关系二次函数y=ax2+bx+c（a0）系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定【题 5】（2014宁波第 12 题）已知点A（a2b，24ab）在抛
10、物线y=x2+4x+10 上，则点A关于抛物线对称轴的对称点坐标为（ ）A（3，7）B（1，7）C（4，10）D（0，10）【考点】：二次函数图象上点的坐标特征；坐标与图形变化对称【分析】：把点A坐标代入二次函数解析式并利用完全平方公式整理，然后根据非负数的性质列式求出a、b，再求出点A的坐标，然后求出抛物线的对称轴，再根据对称性求解即可【解答】：解：点A（a2b，24ab）在抛物线y=x2+4x+10 上，（a2b）2+4（a2b）+10=24ab，a24ab+4b2+4a8ab+10=24ab，（a+2）2+4（b1）2=0，a+2=0，b1=0，解得a=2，b=1，a2b=221=4，2
11、4ab=24（2）1=10，点A的坐标为（4，10），对称轴为直线x=2，点A关于对称轴的对称点的坐标为（0，10）故选 D【点评】：本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的对称性，坐标与图形的变化对称，把点的坐标代入抛物线解析式并整理成非负数的形式是解题的关键【题 6】 （2014温州第 10 题）如图，矩形ABCD的顶点A在第一象限，ABx轴，ADy轴，且对角线的交点与原点O重合在边AB从小于AD到大于AD的变化过程中，若矩形ABCD的周长始终保持不变，则经过动点A的反比例函数y= （k0）中k的值的变化情况是（ ）A一直增大B一直减小C先增大后减小D先减小后增大【考点】： 反比例
12、函数图象上点的坐标特征；矩形的性质【分析】： 设矩形ABCD中，AB=2a，AD=2b，由于矩形ABCD的周长始终保持不变，则a+b为定值根据矩形对角线的交点与原点O重合及反比例函数比例系数k的几何意义可知k=ABAD=ab，再根据a+b一定时，当a=b时，ab最大可知在边AB从小于AD到大于AD的变化过程中，k的值先增大后减小【解答】： 解：设矩形ABCD中，AB=2a，AD=2B矩形ABCD的周长始终保持不变，2（2a+2b）=4（a+b）为定值，a+b为定值矩形对角线的交点与原点O重合k=ABAD=ab，又a+b为定值时，当a=b时，ab最大，在边AB从小于AD到大于AD的变化过程中，k
13、的值先增大后减小故选 C【点评】： 本题考查了矩形的性质，反比例函数比例系数k的几何意义及不等式的性质，有一定难度根据题意得出k=ABAD=ab是解题的关键【题 7】 （2014 年山东泰安第 17 题）已知函数y=（xm） （xn） （其中mn）的图象如图所示，则一次函数y=mx+n与反比例函数y=的图象可能是（ ）ABCD【分析】：根据二次函数图象判断出m1，n=1，然后求出m+n0，再根据一次函数与反比例函数图象的性质判断即可【解答】：由图可知，m1，n=1，所以，m+n0，所以，一次函数y=mx+n经过第二四象限，且与y轴相交于点（0，1） ，反比例函数y=的图象位于第二四象限，纵观各
14、选项，只有C选项图形符合故选 C【点评】：本题考查了二次函数图象，一次函数图象，反比例函数图象，观察二次函数图象判断出m、n的取值是解题的关键【题 8】（2014.福州第 10 题）如图，已知直线yx2 分别与x轴，y轴交于A，B两点，与双曲线kyx交于E，F两点. 若AB=2EF，则k的值是【 】A1 B1 C1 2D3 4【考点】：1.反比例函数与一次函数交点问题；2.曲线上点的坐标与方程的关系；3.相似三角形的判定和性质；4.轴对称的性质.【题 9】 （2014. 泸州第 12 题）如图，在平面直角坐标系中，P的圆心坐标是（3，a）（a3） ，半径为 3，函数y=x的图象被P截得的弦AB的长为，则a的值是（ ）A4BCD【解答】： 解：作PCx轴于C，交AB于D，作PEAB于E，连结PB，如图，P的圆心坐标是（3，a） ，OC=3，PC=a，把x=3 代入y=x得y=3，D点坐标为（3，3） ，CD=3，OCD为等腰直角三角形，PED也为等腰直角三角形，PEAB，AE=BE=AB= 4=2，在RtPBE中，PB=3，PE=，PD=PE=，a=3+故选 B【点评】： 本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧也考查了勾股定理和等腰直角三角形的性质