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1、下学期 410 正切函数的图象和性质1 下学期 4.10 正切函数的图象和性质1 4.10 正切函数的图象和性质 第一课时 （一）教学具预备 直尺、投影仪. （二）教学目标 1.会用“正切线”和“单移法”作函数 的简图. 2.把握正切函数的性质及其应用. （三）教学过程 1.设置情境 正切函数是区分于正弦函数的又一三角函数，它与正弦函数的最大区分是定义域的不连续性，为了更好讨论其性质，我们首先争论 的作图. 2.探究讨论 师：请同学们回忆一下，我们是怎样利用单位圆中的正弦线作出 图像的. 生：在单位圆上取终边为 （弧度）的角，作出其正弦线 ，设 ，在直角坐标系下作点 ，则点 即为 图像上一点.
2、 师：这位同学讲得特别好，本节课我们也将利用单位圆中的正切线来绘制 图像. （1）用正切线作正切函数图像 师：首先我们分析一下正切函数 是否为周期函数？ 生： 是周期函数， 是它的一个周期. 师：对，我们还可以证明， 是它的最小正周期.类似正弦曲线的作法，我们先作正切函数在一个周期上的图像，下面我们利用正切线画出函数 ， 的图像. 作法如下：作直角坐标系，并在直角坐标系 轴左侧作单位圆. 把单位圆右半圆分成8等份，分别在单位圆中作出正切线. 找横坐标（把 轴上 到 这一段分成8等份）. 找纵坐标，正切线平移. 连线. 图1 依据正切函数的周期性，我们可以把上述图像向左、右扩展，得到正切函数 ，
3、 且 （ ）的图像，并把它叫做正切曲线（如图1）. 图2 （2）正切函数的性质 请同学们结合正切函数图像讨论正切函数的性质：定义域、值域、周期性、奇偶性和单调性. 定义域： 值域 由正切曲线可以看出，当 小于 （ ）且无限亲近于 时， 无限增大，即可以比任意给定的正数大，我们把这种状况记作 （读作 趋向于正无穷大）；当 大于 且无限接近于 ， 无限减小，即取负值且它的肯定值可以比任意给定的正数大，我们把这种状况记作 （读作 趋向于负无穷大）.这就是说， 可以取任何实数值，但没有最大值、最小值. 因此，正切函数的值域是实数集 . 周期性 正切函数是周期函数，周期是 . 奇偶性 ，正切函数是奇函数
4、，正切曲线关于原点 对称. 单调性 由正切曲线图像可知：正切函数在开区间（ ， ）， 内都是增函数. （3）例题分析 【例1】求函数 的定义域. 解：令 ，那么函数 的定义域是 由 ，可得 所以函数 的定义域是 【例2】不通过求值，比较下列各组中两个正切函数值的大小： （1） 与 ； （2） 与 . 解：（1） 又 ，在 上是增函数 （2） 又 ，函数 ， 是增函数， 即 . 说明：比较两个正切型实数的大小，关键是把相应的角诱导到 的同一单调区间内，利用 的单调递增性来解决. 3.演练反馈（投影） （1）直线 （ 为常数）与正切曲线 （ 为常数且 ）相交的相邻两点间的距离是（ ） A. B. C. D.与 值有关 （2） 是 的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 （3）依据三角函数的图像写出下列不等式成立的角 集合 参考答案： （1）C.注： 与 相邻两点之间距离即为周期长 （2）D.注：由 ，但 ，反之 ，但 （3） 4.总结提炼 （1） 的作图是利用平移正切线得到的，当我们获得 上图像后，再利用周期性把该段图像向左右延长、平移。 （2） 性质. 定义域 值域 周期 奇偶性 单调增区间 对称中心 渐近线方程 奇函数 ， （四）板书设计 课题 1.用正切线作正切函数图像 2.正切函数的性质 例1 例2 演练反馈 总结提炼