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1、第一部分集合与函数的概第一部分集合与函数的概 念念知识点整理知识点整理第一章第一章 集合与函数概念集合与函数概念一：集合的含义与表示一：集合的含义与表示1、集合的含义：集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这些东 西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个整体。把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合，简称为集。2、集合的中元素的三个特性：（1）元素的确定性元素的确定性：集合确定，则一元素是否属于这个集合是 确定的：属于或不属于。（2）元素的互异性元素的互异性：一个给定集合中的元素是唯一的，不可重 复的。（3）元素的无序性元素的无序性:集合中元素的位置是可以改变的，并且改变 位
2、置不影响集合3、集合的表示： （1）用大写字母表示集合用大写字母表示集合：A=我校的篮球队员,B=1,2,3,4,5（2）集合的表示方法：列举法与描述法列举法与描述法。a、列举法：将集合中的元素一一列举出来 a,b,cb、描述法：区间法：将集合中元素的公共属性描述出来，写在 大括号内表示集合。xR| x-32 ,x| x-32语言描述法：例：不是直角三角形的三角形Venn 图:画出一条封闭的曲线，曲线里面表示集合。4、集合的分类：（1）有限集：含有有限个元素的集合（2）无限集：含有无限个元素的集合（3）空集：不含任何元素的集合 5、元素与集合的关系：（1）元素在集合里，则元素属于集合，即：aA
3、（2）元素不在集合里，则元素不属于集合，即：aA 注意：常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集） 记作：N 正整数集 N*或 N+ 整数集 Z 有理数集 Q 实数集 R6 6、集合间的基本关系、集合间的基本关系（1 1）.“.“包含包含”关系（关系（1 1）子集子集定义：如果集合 A 的任何一个元素都是集合 B 的元素，我们 说这两个集合有包含关系，称集合 A 是集合 B 的子集。记作：（或B）BA 注意：有两种可能（1）A 是 B 的一部分；BA （2）A 与 B 是同一集合。反之: 集合 A 不包含于集合 B,或集合 B 不包含集合 A,记作 A B 或 BA（2 2）.“.“包含包含”
4、关系（关系（2 2）真子集真子集如果集合，但存在元素 xB 且 xA，则集合 A 是集合 B 的BA 真子集如果 AB,且 A B 那就说集合 A 是集合 B 的真子集，记作AB(或 BA)读作 A 真含与 B（3 3）“相等相等”关系：关系：A=BA=B “元素相同则两集合相等”如果 AB 同时 BA 那么 A=B（4 4）. . 不含任何元素的集合叫做空集，记为不含任何元素的集合叫做空集，记为 规定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。（5 5）集合的性质）集合的性质 任何一个集合是它本身的子集。AA如果 AB, BC ,那么 AC如果 AB 且 BC，那么 AC有 n
5、个元素的集合，含有 2n个子集，2n-1个真子集7 7、集合的运算、集合的运算运算类型交 集并 集补 集定 义由所有属于 A 且属于 B的元素所组成的集合,叫做 A,B 的交集记作AB（读作A 交 B），即 AB=x|xA，且 xB由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素所组成的集合，叫做 A,B 的并集记作：AB（读作A 并 B），即 AB =x|xA，或 xB)全集：一般，若一个集合汉语我们 所研究问题中这几道的所有元素， 我们就称这个集合为全集，记作：U设 S 是一个集合，A 是 S 的一个子 集，由 S 中所有不属于 A 的元素组 成的集合，叫做 S 中子集 A 的补集（或余集）记作
6、，ACSCSA=,|AxSxx且韦恩图示AB图 1AB图 2性性 质质A A=A A =A B=BAA BA A BBA U A=A A U =AA U B=B U A A U BA U BB(CuA)(CuB)= Cu(AUB)(CuA) U (CuB)= Cu(AB)AU(CuA)=UA(CuA)=二、函数的概念二、函数的概念1函数的概念：设 A、B 是非空的数集，如果按照某个确 定的对应关系 f，使对于集合 A 中的任意一个数 x，在 集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应，那么就称 f：AB 为从集合 A 到集合 B 的一个函数记作： y=f(x)，xA（1）其中，x 叫做自变
7、量，x 的取值范围 A 叫做函数的 定义域；（2）与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值，函数值的集 合f(x)| xA 叫做函数的值域2函数的三要素：定义域、值域、对应法则3函数的表示方法：（1）解析法：明确函数的定义域（2）图想像：确定函数图像是否连 线，函数的图像可以是 连续的曲线、直线、折 线、离散的点等等。（3）列表法：选取的自变量要有代 表性，可以反应定义 域的特征。4、函数图象知识归纳(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数 y=f(x) , (xA) 中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点 P(x，y)的集合 C，叫做函数 y=f(x),(x A)的 图象C 上每一点的坐标(x，y
8、)均满足函数关系 y=f(x)，反过来，以满足y=f(x)的每一组有序 实数对x、y为坐标的点(x，y)，均在 C 上 . (2) 画法A、描点法： B、图象变换法：平移变换；伸缩变换； 对称变换，即平移。（3）函数图像平移变换的特点：1）加左减右只对 x2）上减下加只对 y3）函数 y=f(x) 关于 X 轴对称得函数 y=-f(x)4）函数 y=f(x) 关于 Y 轴对称得函数 y=f(-x)5）函数 y=f(x) 关于原点对称得函数 y=-f(-x)6）函数 y=f(x) 将 x 轴下面图像翻到 x 轴上面去，x 轴上面图像不动得函数 y=| f(x)|7）函数 y=f(x) 先作 x0
9、 的图像，然后作关于 y 轴 对称的图像得函数 f(|x|)三、函数的基本性质三、函数的基本性质1、函数解析式子的求法（1）、函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变 量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应 法则，二是要求出函数的定义域.（2）、求函数的解析式的主要方法有： 1）代入法：2）待定系数法：3）换元法：4)拼凑法：2定义域：能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定 义域。求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被开方数不小于零；(3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于 1. (5)如果函数是由一些
10、基本函数通过四则运算结合而成的. 那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的 集合.(6)指数为零底不可以等于零， (7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.3、相同函数的判断方法：表达式相同（与表示自变量和函 数值的字母无关）；定义域一致 (两点必须同时具备)4、区间的概念：（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间（2）无穷区间（3）区间的数轴表示5、值域 （先考虑其定义域）（1）观察法：直接观察函数的图像或函数的解析式来求 函数的值域； （2）反表示法：针对分式的类型，把 Y 关于 X 的函数关 系式化成 X 关于 Y 的函数关系式，由 X 的范围类似求 Y 的范围
11、。(3)配方法：针对二次函数的类型，根据二次函数图像的 性质来确定函数的值域，注意定义域的范围。 (4)代换法（换元法）：作变量代换，针对根式的题型， 转化成二次函数的类型。6.分段函数 （1）在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。（2）各部分的自变量的取值情况（3）分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段 值域的并集 （4）常用的分段函数有取整函数、符号函数、含绝对值的 函数7映射一般地，设 A、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定 的对应法则 f，使对于集合 A 中的任意一个元素 x，在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应，那么就称对应 f：AB 为从集合 A 到集
12、合 B 的一个映射。记作“f（对应关系）： A（原象）B（象）”对于映射f：AB来说，则应满足：(1)集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是 唯一的；(2)集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一 个；(3)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。注意：映射是针对自然界中的所有事物而言的，而函数仅仅 是针对数字来说的。所以函数是映射，而映射不一定 的函数8 8、函数的单调性、函数的单调性( (局部性质局部性质) )及最值及最值（1 1）、增减函数）、增减函数（1）设函数 y=f(x)的定义域为 I，如果对于定义域 I 内 的某个区间 D 内的任意两个自变量 x1，x2，
13、当 x1y202x，x5.答案：D7用固定的速度向图 1 甲形状的瓶子注水，则水面的高度 h 和时间 t 之间 的关系是图 1 乙中的( )甲乙图 1解析：水面升高的速度由慢逐渐加快答案：B8已知 yf(x)是定义在 R 上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是( )yf(|x|) yf(x) yxf(x) yf(x)xAB CD解析：因为 yf(x)是定义在 R 上的奇函数，所以 f(x)f(x)yf(|x|) 为偶函数；yf(x)为奇函数；令 F(x)xf(x)，所以 F(x)(x)f(x) (x)f(x)xf(x)所以 F(x)F(x)所以 yxf(x)为偶函数；令 F(x) f(x)x，所
14、以 F(x)f(x)(x)f(x)xf(x)x所以 F(x) F(x)所以 yf(x)x 为奇函数答案：D9已知 0x ，则函数 f(x)x2x1( )32A有最小值 ，无最大值B有最小值 ，最大值 13434C有最小值 1，最大值D无最小值和最大值194解析：f(x)x2x1(x )2 ，画出该函数的图象知，f(x)在区间0， 123432上是增函数，所以 f(x)minf(0)1，f(x)maxf( ).32194答案：C10已知函数 f(x)的定义域为a，b，函数 yf(x)的图象如图 2 甲所示，则 函数 f(|x|)的图象是图 2 乙中的( )甲乙图 2解析：因为 yf(|x|)是偶
15、函数，所以 yf(|x|)的图象是由 yf(x)把 x0 的图 象保留，再关于 y 轴对称得到的答案：B11若偶函数 f(x)在区间(，1上是增函数，则( )Af( )2m1 或 2m15，m6.18(12 分)已知集合 A1,1，Bx|x22axb0，若 B 且BA，求 a，b 的值解：(1)当 BA1,1时，易得 a0，b1；(2)当 B 含有一个元素时，由 0 得 a2b，当 B1时，由 12ab0，得 a1，b1当 B1时，由 12ab0，得 a1，b1.19(12 分)已知函数 f(x)(a，b 为常数，且 a0)，满足 f(2)1，方xaxb程 f(x)x 有唯一实数解，求函数 f
16、(x)的解析式和 ff(4)的值解：f(x)且 f(2)1，22ab.xaxb又方程 f(x)x 有唯一实数解ax2(b1)x0(a0)有唯一实数解故(b1)24a00，即 b1，又上式 2ab2，可得：a ，从而 f(x)12，x12x12xx2f(4)4，f(4) ，即 ff(4) .2 44286434320(12 分)已知函数 f(x)4x24ax(a22a2)在闭区间0,2上有最小值 3，求实数 a 的值解：f(x)4222a.(xa2)(1)当 2 即 a4 时，f(x)minf(2)a210a183，解得：a5，a210综上可知：a 的值为 1或 5.21021(12 分)某公司
17、需将一批货物从甲地运到乙地，现有汽车、火车两种运 输工具可供选择若该货物在运输过程中(含装卸时间)的损耗为 300 元/小时， 其他主要参考数据如下：运输工 具途中速度(千 米/小时)途中费用(元/ 千米)装卸时间(小 时)装卸费用(元)汽车50821000火车100441800问：如何根据运输距离的远近选择运输工具，使运输过程中的费用与损耗 之和最小？解：设甲、乙两地距离为 x 千米(x0)，选用汽车、火车运输时的总支出分 别为 y1和 y2.由题意得两种工具在运输过程中(含装卸)的费用与时间如下表：运输工 具途中及装卸费 用途中时 间汽车8x10002x50火车4x18004x100于是
18、y18x1000(2)30014x1600，x50y24x1800(4)3007x3000.x100令 y1y2200 时，y1y2，此时应选用火车故当距离小于 200 千米时，选用汽车较好；当距离等于 200 千米时，选用 汽车或火车均可；当距离大于 200 千米时，选用火车较好22(12 分)已知 f(x)的定义域为(0，)，且满足 f(2)1，f(xy)f(x)f(y)， 又当 x2x10 时，f(x2)f(x1)(1)求 f(1)、f(4)、f(8)的值；(2)若有 f(x)f(x2)3 成立，求 x 的取值范围解：(1)f(1)f(1)f(1)，f(1)0，f(4)f(2)f(2)112，f(8)f(2) f(4)213.(2)f(x)f(x2)3，fx(x2)f(8)，又对于函数 f(x)有 x2x10 时 f(x2)f(x1)，f(x)在(0，)上为增函数Error!2x4.x 的取值范围为(2,4