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1、信号和系统的两种分析方法：(1)模拟信号和系统 信号用连续变量时间t的函数表示；系统则用微分方程描述；信号和系统的频域分析方法：拉普拉斯变换和傅里叶变换；(2)时域离散信号和系统 信号用序列表示；系统用差分方程描述；频域分析的方法是：Z变换或傅里叶变换；引言时域分析方法和频率分析方法 序列的傅里叶变换的定义和性质1 序列傅里叶变换的定义 称为序列x(n)的傅里叶变换，用FT(Fourier Transform)缩写字母表示。FT成立的充要条件是序列x(n)满足绝对可和的条件，即满足下式：序列的傅里叶变换的定义和性质例:设x(n)=RN(n)，求x(n)的FT 序列的傅里叶变换的定义和性质例:设
2、x(n)=RN(n)，求x(n)的FT 设N=4，幅度与相位随变化曲线如下图所示P36 例题序列的傅里叶变换的定义和性质2.2.2 序列傅里叶变换的性质1.FT的周期性 在FT定义式中，n取整数，因此下式成立 结论：(1)序列的傅里叶变换是频率的连续周期函数，周期是2。(2)X(ej)可展成傅里叶级数，x(n)是其系数。X(ej)表示了信号在频域中的分布规律。(3)在0,2,4表示信号的直流分量，在(2M1)时是最高的频率分量。一般只分析信号在一个周期的FTM为整数序列的傅里叶变换的定义和性质 2.线性 3.时移与频移 设X(e j)=FTx(n)，那么设：则：式中a,b为常数)改变相位序列的
3、傅里叶变换的定义和性质4.FT的对称性(1)共轭对称序列 共轭对称序列xe(n)满足：将xe(n)用其实部与虚部表示：上式两边n用-n代替，取共轭：得到：xe(n)=x*e(-n)xe(n)=xer(n)+jxei(n)x*e(-n)=xer(-n)-jxei(-n)xer(n)=xer(-n)xei(n)=-xei(-n)实部是偶函数虚部是奇函数序列的傅里叶变换的定义和性质(2)共轭反对称序列共轭反对称序列满足：将x0(n)用其实部与虚部表示：上式两边n用-n代替，取共轭：对比上面两公式，左边相等，因此得到 xo(n)=x*o(-n)xo(n)=xor(n)+jxoi(n)x*o(-n)=x
4、or(-n)jxoi(-n)实部是奇函数虚部是偶函数xor(n)=xor(-n)xoi(n)=xoi(-n)序列的傅里叶变换的定义和性质例1 试分析x(n)=e jn的对称性 解：将x(n)的n用-n代替，再取共轭得到：x*(-n)=e jn 因此 x(n)=x*(-n)，x(n)是共轭对称序列。将序列展成实部与虚部的形式，得到 x(n)=cosn+j sinn 上式表明:共轭对称序列的实部是偶函数，虚部是奇函数。序列的傅里叶变换的定义和性质(3)任意序列可表示成共轭对称序列与共轭反对称序列之和 xe(n),xo(n)和原序列x(n)有何关系？将上式中的n用-n代替，取共轭：根据上面两式，得到
5、 x*(-n)=xe(n)-xo(n)x(n)=xe(n)+xo(n)序列的傅里叶变换的定义和性质(4)频域函数X(ej)的对称性 任意频域函数X(ej)可表示成共轭对称部分和共轭反对称部分之和：X(ej)=Xe(ej)+Xo(ej)Xe(ej)=X*e(ej)Xo(ej)=X*o(ej)Xe(ej),Xo(ej)和原频域函数X(ej)的关系序列的傅里叶变换的定义和性质(5)研究FT的对称性 (a)将序列x(n)表示成实部xr(n)与虚部xi(n)的形式 x(n)=xr(n)+jxi(n)将上式进行FT，得到:X(e j)=Xe(e j)+Xo(e j)结论：序列分成实部与虚部两部分，实部对称
6、的FT具有共轭对称性，虚部（包含j）一起对应的FT具有共轭反对称性。xi(n)序列的傅里叶变换的定义和性质(b)序列表示成共轭对称部分xe(n)和共轭反对称部分xo(n)之和其中：将上面两式分别进行FT，得到 FTxe(n)=1/2X(ej)+X*(ej)=ReX(ej)=XR(ej)FTxo(n)=1/2X(ej)-X*(ej)=jImX(ej)=jXI(ej)结论：序列的共轭对称部分xe(n)对应着FT的实部XR(ej)，而序列的共轭反对称部分xo(n)对应着FT的虚部jXI(ej)。x(n)=xe(n)+xo(n)序列的傅里叶变换的定义和性质总结：序列傅里叶变换的共轭对称性的基本内容如下
7、：x(n)=xr(n)+jxi(n)X(ejw)=Xe(ejw)+Xo(ejw)x(n)=xe(n)+xo(n)X(ejw)=XR(ejw)+jXI(ejw)FTFT序列的傅里叶变换的定义和性质(6)研究实因果序列h(n)的对称性 因为h(n)是实序列，其FT只有共轭对称部分He(ej)，共轭反对称部分为零。所以其FT具有共轭对称性。即：H(ej)=He(ej)H(ej)=H*(e-j)因此实序列的FT的实部是偶函数，虚部是奇函数 即：HR(ej)=HR(e-j)HI(ej)=-HI(e-j)序列的傅里叶变换的定义和性质 实因果序列h(n)与其共轭对称部分h he e(n)(n)和共轭反对称部
8、分h ho o(n)(n)的关系 h(n)=he(n)+ho(n)he(n)=1/2h(n)+h(-n)ho(n)=1/2h(n)-h(-n)因为h(n)是实因果序列，he(n)和ho(n)可以用h(n)表示为：0，n=0序列的傅里叶变换的定义和性质实因果序列h(n)分别用he(n)和ho(n)表示为 h(n)=he(n)u+(n)h(n)=ho(n)u+(n)+h(o)(n)说明：实因果序列可以完全仅由其偶序列he(n)恢复，因为其奇序列ho(n)中缺少n=0点h(n)的信息，因此由ho(n)恢复h(n)时，需要补充一点h(o)(n)信息分段增益函数序列的傅里叶变换的定义和性质例2：若序列h
9、(n)是实因果序列，其傅立叶变换的实部为HR(ejw)=1+cosw，求h(n)及其H(ejw).解 HR(ejw)=FThe(n)=1+0.5 ejw+0.5 ejw=he(n)e-jwn 0.5 n=-1 he(n)=1 n=0 0.5 n=1根据实因果序列特性，h(n)=he(n)U+(n)根据傅立叶变换定义，H(ejw)=FTh(n)=h(n)e-jwn=1+e-jw 0,n0 0 其它n 序列的傅里叶变换的定义和性质5.时域卷积定理 设：y(n)=x(n)*h(n)则：Y(e j)=X(e j)H(e j)证明：令：k=n-m,则mm定理说明：两序列卷积的FT服从相乘关系，对于线性时不变系统，输出的FT等于输入信号的FT乘以单位脉冲响应的FT序列的傅里叶变换的定义和性质6.频域卷积定理 设：y(n)=x(n)h(n)则：证明：xX()e序列的傅里叶变换的定义和性质 7.帕斯维尔Parseval定理）定理说明：信号时域的总能量等于频域中的总能量。证明：时域离散信号与系统的频域分析本章作业2.1 (1)(2)(3)2.5 (1)(2)(4)