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1、控制科学与工程学院控制科学与工程学院误差理论误差理论主要内容：主要内容：1.误差的概念和分类2.随机误差概率密度的正态分布3.算术平均值和标准差控制科学与工程学院控制科学与工程学院误差理论误差理论 第二节第二节 测量误差的概念和分类测量误差的概念和分类二、误差的分类二、误差的分类1、研究误差的意义、研究误差的意义 不存在没有精度要求的系统不存在没有精度要求的系统2、误差的分类、误差的分类）按表示方法分）按表示方法分 绝对误差：绝对误差：X=X-A0 X=X-A 式中：式中：X为被测量，为被测量，A0为真值为真值,A为标准值（精度为标准值（精度高高 一级的标准器具的示值）一级的标准器具的示值）控
2、制科学与工程学院控制科学与工程学院误差理论误差理论相对误差：相对误差：绝对误差绝对误差X与被测量的约定值之比与被测量的约定值之比.实际相对误差实际相对误差:a=X/A100%.示值相对误差示值相对误差:a=X/X100%（示值示值X）满度相对误差满度相对误差:m=X/X m 100%（满度值满度值X m）控制科学与工程学院控制科学与工程学院误差理论误差理论 满度误差又称为满度误差又称为“引用误差引用误差”,精度等级按引用误差定精度等级按引用误差定为为:0.005,0.02,0.05 0.1,0.2,0.5 1.0,1.5,2.5,4.0 I军用或作为标准 II 工业用 III 民用控制科学与工
3、程学院控制科学与工程学院误差理论误差理论 例1被测电压实际值大约为21.7 V，现有1.5级、量程为030 V的A表，1.5级、量程为050 V的B表，1.0级、量程为050 V的C表，0.2级、量程为0360 V的D表，四种电压表，请问选用哪种规格的电压表进行测量所产生的测量误差较小?解：根据（1-6）式分别用四种表进行测量由此可能产生的最大绝对误差分别如下所示。控制科学与工程学院控制科学与工程学院误差理论误差理论A表有,B表有,C表有,D表有,答：四者比较，选用A表进行测量所产生的测量误差通常较小。控制科学与工程学院控制科学与工程学院误差理论误差理论 2）按出现的规律分按出现的规律分 (1
4、)(1)系统误差系统误差:多次测量同一量时，误差的绝对值 和符号保持恒定或按某种函数规律变化而产生按某种函数规律变化而产生的误差的误差.用准确度评定用准确度评定表明测量结果与真值表明测量结果与真值的接近程度的接近程度,系统误差小系统误差小,则准确度高则准确度高;控制科学与工程学院控制科学与工程学院误差理论误差理论(2)随机误差：由未知变化规律产生的误差，用精密度随机误差：由未知变化规律产生的误差，用精密度 评定评定表现了测量结果的分散性表现了测量结果的分散性.随机误差越小随机误差越小,精密精密度愈高度愈高.精确度精确度反映系统误差和随机误差综合影响的程度反映系统误差和随机误差综合影响的程度,简
5、称精度简称精度.控制科学与工程学院控制科学与工程学院误差理论误差理论(3)粗大误差：粗大误差简称粗差，指在一定条件下测粗大误差：粗大误差简称粗差，指在一定条件下测量结果显著偏离其实际值所对应的误差。量结果显著偏离其实际值所对应的误差。须判明，舍须判明，舍去。去。控制科学与工程学院控制科学与工程学院误差理论误差理论设对某被测量进行了等精度独立的几次测量，得值x1、x2,x3,.,xn，则测定值的算术平均值为：控制科学与工程学院控制科学与工程学院误差理论误差理论测定值的总体平均值A与测定值真值L0之差被定义为系统误差，用符号表示 AL0n次测量中，各次测定值xi(i=1n)与其总体平均值A之差被定
6、义为随机误差，用符号i表示，即 i=xi-A若将与i相加，就可得到各次测定的绝对误差，即 这说明各次测量值的绝对误差等于系统误差和随机误差的代数和。控制科学与工程学院控制科学与工程学院误差理论误差理论测量误差测量误差仪仪器器影影响响方方法法随随机机系系统统疏疏失失精精密密度度人人身身准准确确度度可可取取性性精确度精确度测量结果评定测量结果评定误差来源误差来源分类及测量分类及测量结果评定结果评定控制科学与工程学院控制科学与工程学院误差理论误差理论3)3)按被测量随时间变化按被测量随时间变化的速度分的速度分 静态误差静态误差:静态误差是指静态误差是指在测量过程中在测量过程中,被测量被测量随时间变化
7、很缓慢或基随时间变化很缓慢或基本不变时的测量误差本不变时的测量误差.动态误差动态误差:动态误差是指动态误差是指在被测量随时间变化很在被测量随时间变化很快的过程中快的过程中,测量所产测量所产生的附加误差生的附加误差.控制科学与工程学院控制科学与工程学院误差理论误差理论4、如果按使用条件来划分1.基本误差测量仪表在额定条件下工作所具有的误差即为基本误差。2.附加误差当使用条件偏离标准条件时，传感器和仪表就会在基本误差的基础上增加新的系统误差，称为附加误差。控制科学与工程学院控制科学与工程学院误差理论误差理论例：随机误差实验结果例：随机误差实验结果分区号测量值(xi)误差量(i)出现次 数（ni)频
8、率（ni)概率密度（ni/（n i）15.21-0.0510.0070.725.22-0.0430.0202.035.23-0.0380.0585.845.24-0.02180.12012.055.25-0.01280.18718.765.260340.22722.775.27+0.01290.19319.385.28+0.02170.11311.395.29+0.0390.0606.0105.30+0.0420.0131.3115.31+0.0510.0070.7第三节第三节 随机误差概率密度的正态分布随机误差概率密度的正态分布控制科学与工程学院控制科学与工程学院误差理论误差理论 随机误差的
9、频率直方图随机误差的频率直方图ni/n 0.150.100.050.040.02-0.02-0.040ni为在为在 范围内出现的次数范围内出现的次数控制科学与工程学院控制科学与工程学院误差理论误差理论 随机误差的概率密度分布曲线图随机误差的概率密度分布曲线图f()F()f()dd概率密度概率密度：与分布函数互与分布函数互与分布函数互与分布函数互为微积分关系为微积分关系为微积分关系为微积分关系分布函数分布函数分布函数分布函数控制科学与工程学院控制科学与工程学院误差理论误差理论一、随机误差的特点一、随机误差的特点 测试条件：测试条件：研究对象在无系统误差且无粗差的研究对象在无系统误差且无粗差的独立
10、的等精度实验结果独立的等精度实验结果.特点特点：对称性：绝对值相等的正、负误差概率密度分布曲线对称性：绝对值相等的正、负误差概率密度分布曲线对称于纵轴。对称于纵轴。抵偿性：相同条件下抵偿性：相同条件下,当测量次数当测量次数n n趋于趋于时时,全体误差全体误差的代数和为的代数和为0 0。单峰性：绝对值小的误差比绝对值大的误差单峰性：绝对值小的误差比绝对值大的误差 的概率密的概率密度大度大,在在=0=0处概率最大处概率最大.有界性：绝对值很大的误差几乎不出现。有界性：绝对值很大的误差几乎不出现。控制科学与工程学院控制科学与工程学院误差理论误差理论二、概率密度的正态分布二、概率密度的正态分布1 1、
11、随机误差必然服从正态分布，其概率密度可由高斯方程、随机误差必然服从正态分布，其概率密度可由高斯方程描述。它们的概率密度分布曲线又称之为正态分布曲线。描述。它们的概率密度分布曲线又称之为正态分布曲线。2 2、标准误差、标准误差越小越小,精密度指数精密度指数h h越大越大,正态分布曲线越陡正态分布曲线越陡,小误差的概率密度越大，测量值越集中小误差的概率密度越大，测量值越集中,测量精密度越高。测量精密度越高。控制科学与工程学院控制科学与工程学院误差理论误差理论 随机误差正态分布曲线图随机误差正态分布曲线图()()d-拐点拐点 1/(2e)1/(2)hhh()()()控制科学与工程学院控制科学与工程学
12、院误差理论误差理论3 3、（曲线的拐点）的大小说明了测量值（曲线的拐点）的大小说明了测量值的离散性的离散性,故等精度测量是一种故等精度测量是一种值相同值相同的测量。的测量。4 4、正态分布曲线的关键点、正态分布曲线的关键点 峰点坐标峰点坐标 拐点坐标拐点坐标 概率：概率：控制科学与工程学院控制科学与工程学院误差理论误差理论第四节第四节 算术平均值与标准误差算术平均值与标准误差一、算术平均值与数学期望值一、算术平均值与数学期望值 1.算术平均值算术平均值:2.随机变量的数学期望定义为随机变量的一阶原点距，记随机变量的数学期望定义为随机变量的一阶原点距，记 为为 它表示了随机变量的中心位置。它表示
13、了随机变量的中心位置。控制科学与工程学院控制科学与工程学院误差理论误差理论图1 测量值的概率密度分布曲线测量值的概率密度分布曲线(x)1/2emax()0X X0-X X0X X0+X X控制科学与工程学院控制科学与工程学院误差理论误差理论 数学期望实际上就是全体测量值依概率的平数学期望实际上就是全体测量值依概率的平均数。对于正态分布，上式积分后可得：均数。对于正态分布，上式积分后可得：正态分布重要特征之一：正态分布重要特征之一：全体测量值的数学期望就是测量值的真值。全体测量值的数学期望就是测量值的真值。在未知在未知x0的情况下，对于有限测量列，可以利用的情况下，对于有限测量列，可以利用算术平
14、均值算术平均值x代替真值代替真值x0，用测量偏差或残余误用测量偏差或残余误差（简称残差）差（简称残差）vi=xi-x 代替测量误差代替测量误差 i=xi-x0控制科学与工程学院控制科学与工程学院误差理论误差理论二、方差与标准误差二、方差与标准误差 方差定义为随机变量的二阶中心距，它表征了随机方差定义为随机变量的二阶中心距，它表征了随机变量相对于其中心位置（数学期望）的离散程度。变量相对于其中心位置（数学期望）的离散程度。对于全体测量值来说，母体的方差对于全体测量值来说，母体的方差DxDx表征了测量值表征了测量值相对于其真值相对于其真值X X0 0的离散程度。的离散程度。标准误差标准误差是方差是方差DxDx的均方根值，这也是标准误差的均方根值，这也是标准误差又称均方根误差的原因。又称均方根误差的原因。控制科学与工程学院控制科学与工程学院误差理论误差理论简要复习 一、测量误差的概念和分类一、测量误差的概念和分类 二、随机误差概率密度的正态分布二、随机误差概率密度的正态分布作业作业p32：1预习内容：预习内容：1、置信区间和置信概率、置信区间和置信概率 3、粗差判别和舍弃、粗差判别和舍弃 4、系统误差、系统误差