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1、问题的引入问题的引入n模糊集合AB是包含A和B的最小模糊集合，模糊集合AB是A和B所包含的最大模糊集。那么是否还存在不是最小的模糊并集和 不是最大的模糊交集？如有，应如何表示？同样，除了基本模糊补集之外，是否还 有其它形式的模糊补集？如有，如何表示？模糊补模糊补n由基本模糊补集推出两个公理 用c：0，10，1表示模糊集A的隶 属度函数向其补集的隶属度函数转换的映射。按前述的模糊补集定义，映射c可以表示为：公理c1：c(0)=1，c(1)=0模糊补模糊补1(x)x公理c2：当a,b0，1，如ab，则c(a)c(b)模糊补模糊补1(x)xac(a)bc(b)模糊补模糊补n模糊补集的定义：任意满足公
2、理1和公理2的 函数c：0,10,1，都叫模糊补集。Sugeno模糊补集：Yager模糊补集：模糊并模糊并s-范数范数n由基本模糊并集推出四个公理 用S：0，1 0，10，1表示由 模糊集A和模糊集B的隶属度函数向A和B的并 集的隶属度函数的映射。按前述的模糊并集定义，映射s可以表示为：公理s1：s(1,1)=1，s(0,a)=s(a,0)=a；模糊并模糊并s-范数范数a(x)x1(x)x 公理s2：s(a,b)=s(b,a)；模糊并模糊并s-范数范数1(x)x公理s3：aa且bb，则s(a,b)s(a,b)模糊并模糊并s-范数范数a(x)xabb公理s4：s(s(a,b),c)=s(a,s(
3、b,c)；模糊并模糊并s-范数范数b(x)xcab(x)xca模糊并模糊并s-范数范数n定义3.2 任意一个满足公理s1s4的函数 s:0,10,10,1都叫s-范数 常见的范数主要有7种：1、Dombi的s-范数 2、Dubois-Prade的s-范数 3、Yager的s-范数模糊并模糊并s-范数范数 4、直和 5、爱因斯坦和 6、代数和 7、最大模糊并模糊并s-范数范数n例3.1，通过图形的方式，表现出Yager的s-范 数和代数和s-范数大于最大算子。n定理3.1 对任意一个s-范数（即满足公理s1s4 的函数s:0,10,10,1），当a,b0,1时，下面不等式成立：max(a,b)s
4、(a,b)sds(a,b)模糊并模糊并s-范数范数n先证明 max(a,b)s(a,b)因a=a且b0，由公理s3，则s(a,b)s(a,0)，由公理s1，有s(a,0)=a，所以s(a,b)a；由公理s2，有s(a,b)=s(b,a)s(b,0)b；所以，s(a,b)max(a,b)模糊并模糊并s-范数范数n再证明 s(a,b)sds(a,b)在b=0时，由公理s1，则s(a,b)=s(a,0)=a，在b=0时，sds(a,b)=a，则s(a,b)=sds(a,b)；在a=0时，由公理s2，则s(a,b)=sds(a,b)；在a0，b0时，有sds(a,b)=1 s(a,b)；所以，s(a,
5、b)sds(a,b)模糊并模糊并s-范数范数n引理3.1，对于Dombi的s-范数，存在 即Dombi的s-范数覆盖了s-范数的整个空间。模糊并模糊并s-范数范数n先证明Dombi的s-范数大于最大算子s-范数 （1）如果a=b0，Dombi的s-范数为：模糊并模糊并s-范数范数 由于a=b0，那么：因此，在a=b0，存在 模糊并模糊并s-范数范数 （2）如果a=b=0，Dombi的s-范数为：模糊并模糊并s-范数范数 由于a=b=0，那么：因此，在a=b=0，存在 模糊并模糊并s-范数范数 （3）如果ab，并且ab，则在Dombi的s-范 数中，实际上是需要对分母的一个幂指函数 求极限，由于
6、时，这个幂指数属于00 型，是一个未定式，需要采用罗必塔法则来 求取该幂指数的极限。模糊并模糊并s-范数范数 令 分别对上式取对数，可得：时，上式为/型，可用罗必塔法则。模糊并模糊并s-范数范数 根据罗必塔法则，可得：模糊并模糊并s-范数范数 对前式进行化简，可得：将分式的分子、分母同时除以 模糊并模糊并s-范数范数 对前式进行等式变换，可得：模糊并模糊并s-范数范数 那么，此时Dombi的s-范数为：由（1）、（2）、（3）三步，证明了最大算 子的s-范数是Dombi的s-范数的下界。模糊并模糊并s-范数范数n再证明Dombi的s-范数小于直和的s-范数 （4）如果a=0，b0，则Dombi
7、的s-范数为：模糊并模糊并s-范数范数 （5）如果b=0，a0，根据交换性，则Dombi 的s-范数为：模糊并模糊并s-范数范数 （6）如果a 0，b0，则Dombi的s-范数为：模糊并模糊并s-范数范数 （7）如果a=b=0，则Dombi的s-范数为：在分母中，出现了未定式的幂指函数，需要 采用罗必塔法则求解，可以直接借用第（3）步的结果：模糊并模糊并s-范数范数 由（4）、（5）、（6）、（7）四步证明 了Dombi的s-范数上界是直和的s-范数。根据前面的各个步骤，完整地证明了引理 3.1，Dombi的s-范数下界是最大算子的s-范 数，上界是直和的s-范数。模糊交模糊交t-范数范数n由
8、基本模糊交集推出四个公理 用t：0，1 0，10，1表示由 模糊集A和模糊集B的隶属度函数向A和B的交 集的隶属度函数的映射。按前述的模糊交集定义，映射t可以表示为：公理t1：t(0,0)=0，t(1,a)=t(a,1)=a；模糊交模糊交t-范数范数1(x)x1(x)xa 公理s2：t(a,b)=t(b,a)；模糊交模糊交t-范数范数a(x)xb公理s3：aa且bb，则t(a,b)t(a,b)模糊交模糊交t-范数范数a(x)xabb公理s4：t(t(a,b),c)=t(a,t(b,c)；模糊交模糊交t-范数范数b(x)xcab(x)xca模糊交模糊交t-范数范数n定义3.3 任意一个满足公理t
9、1t4的函数 t:0,10,10,1都叫t-范数 常见的范数主要有7种：1、Dombi的t-范数 2、Dubois-Prade的t-范数 3、Yager的t-范数模糊交模糊交t-范数范数 4、直积 5、爱因斯坦积 6、代数积 7、最小模糊交模糊交t-范数范数n例3.2，通过图形的方式，表现出Yager的t-范 数和代数积t-范数小于最大算子的t-范数。n定理3.2 对任意一个t-范数（即满足公理t1t4 的函数t:0,10,10,1），当a,b0,1时，下面不等式成立：tdp(a,b)t(a,b)min(a,b)模糊交模糊交t-范数范数n引理3.2，对于Dombi的t-范数，存在 即Dombi
10、的t-范数覆盖了t-范数的整个空间。模糊交模糊交t-范数范数n存在一个模糊补，使得模糊补、并和交 三个模糊集都满足德.摩根定律。即s-范数s(a,b)、t-范数t(a,b)和模糊补集 c(a)，在下式成立的条件下形成关联组。模糊交模糊交t-范数范数n例.利用一对Yager的s-范数和t-范数，加上基本模糊补集，就形成了一组关联组。首先，由Yager的s-范数和基本模糊补概念得：再由Yager的s-范数和基本模糊补概念得：得证。平均算子平均算子n覆盖区间min(a,b),max(a,b)的算子叫平均算 子，用v：0，1 0，10，1表示 模糊集合A和B的AB和AB之间不连续，不 能覆盖 min(a,b)和max(a,b)之间的区间，平均算 子需要单独定义。最大-最小平均，其中，平均算子平均算子 广义均值，其中，模糊“与”，其中，模糊“或”，其中，