《Chapt.2.波函数和薛定谔方程(物理2009级).ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《Chapt.2.波函数和薛定谔方程(物理2009级).ppt（98页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、 Chapter 2.The wave function and Schrdinger Equation 第第 二二 章章 波函数与薛定谔方程波函数与薛定谔方程 Wave Function and Schrdinger Equation 1 Chapter 2.The wave function and Schrdinger Equation 2.1 2.1 波函数的统计解释波函数的统计解释 Wave function and its statistical explanation 2.2 2.2 态叠加原理态叠加原理 Superposition principle 2.3 2.3 薛定谔方程
2、薛定谔方程 Schrdinger equation 2.4 2.4 粒子流密度和粒子数守恒定律粒子流密度和粒子数守恒定律 Current density of particles and conservation laws 2.5 2.5 定态薛定谔方程定态薛定谔方程 Time-independent Schrdinger equation 2.6 一维无限深势阱 One-dimensional infinite potential well 2.7 2.7 线性谐振子线性谐振子 Linear harmonic oscillator 2.8 2.8 势垒贯穿势垒贯穿 Barrier penet
3、ration学学习习内内容容理理论论基基础础实例实例2 Chapter 2.The wave function and Schrdinger Equation 1.1.理解微观粒子运动状态的描述理解微观粒子运动状态的描述 波函数波函数及其统计解释。及其统计解释。2.2.通过对实验的分析通过对实验的分析,理解态叠加原理。理解态叠加原理。3.3.掌握微观粒子运动的动力学方程掌握微观粒子运动的动力学方程 波函波函数随时间演化的规律数随时间演化的规律 Schrdinger方程。方程。4.4.掌握定态及其性质。掌握定态及其性质。5.5.通过对三个实例的讨论通过对三个实例的讨论,掌握定态掌握定态Schrd
4、inger 方程的求解的基本思路与步骤。方程的求解的基本思路与步骤。学学 习习 要要 求求3 Chapter 2.The wave function and Schrdinger Equation 微观粒子因具有波粒二象性，其运动状态的描微观粒子因具有波粒二象性，其运动状态的描述必然有别于经典力学对粒子运动状态的描述，即述必然有别于经典力学对粒子运动状态的描述，即微观粒子的运动状态不能用坐标、速度、加速度等微观粒子的运动状态不能用坐标、速度、加速度等物理量来描述。物理量来描述。这就要求在描述微观粒子的运动时，这就要求在描述微观粒子的运动时，要有创新的概念和思想来统一波和粒子这样两个在要有创新的
5、概念和思想来统一波和粒子这样两个在经典物理中截然不同的物理图像经典物理中截然不同的物理图像。2.1 2.1 波函数的统计解释波函数的统计解释1 1微观粒子状态的描述微观粒子状态的描述 德德布布罗罗意意指指出出：微微观观粒粒子子的的运运动动状状态态可可用用一一个个复复函数函数 来描述，来描述，函数函数 称为称为波函数。波函数。描述自由粒子的波是具有确定能量和动量的平面波描述自由粒子的波是具有确定能量和动量的平面波4 Chapter 2.The wave function and Schrdinger Equation如果粒子处于随时间和位置变化的力场如果粒子处于随时间和位置变化的力场 中中 运动
6、，他的动量和能量不再是常量（或不同时为常量）运动，他的动量和能量不再是常量（或不同时为常量）粒子的状态显然就不能用平面波描写，必须用较复杂粒子的状态显然就不能用平面波描写，必须用较复杂的波描写，一般记为的波描写，一般记为称为称为波函数，波函数，描写粒描写粒子状态的波函数通常子状态的波函数通常是一个是一个复函数复函数。三个问题？三个问题？De Broglie 波波2.1 2.1 波函数的统计解释波函数的统计解释（续续1 1）(1)(1)是是如何如何描述粒子的状态呢？描述粒子的状态呢？(2)(2)如何体现如何体现粒子的粒子的波粒二象性的？波粒二象性的？(3)(3)描写的是什么样的波呢？描写的是什么
7、样的波呢？5 Chapter 2.The wave function and Schrdinger EquationI I0 0 1 1XP P2 2波函数的统计解释波函数的统计解释电子源电子源感感光光屏屏PPQQO电子小孔衍射实验电子小孔衍射实验2.1 2.1 波函数的统计解释波函数的统计解释（续续2 2）电子单缝衍射实验电子单缝衍射实验6 Chapter 2.The wave function and Schrdinger Equation 两种错误的两种错误的看法看法（1 1）波由粒子组成波由粒子组成 类似如水波，声波，由物质的分子密度疏密变化类似如水波，声波，由物质的分子密度疏密变化而
8、形成的一种分布。而形成的一种分布。这种看法与实验矛盾，它这种看法与实验矛盾，它不能解释长时间单个电不能解释长时间单个电子衍射实验子衍射实验：电子一个一个的通过小孔，但只要时间足够长，电子一个一个的通过小孔，但只要时间足够长，底片上仍可呈现出衍射花纹。这说明电子的波动性底片上仍可呈现出衍射花纹。这说明电子的波动性并不是许多电子在空间聚集在一起时才有的现象，并不是许多电子在空间聚集在一起时才有的现象，单个电子就具有波动性单个电子就具有波动性。事实上，正是由于单个电子具有波动性，事实上，正是由于单个电子具有波动性，才能才能理解氢原子理解氢原子（只含一个电子！）中电子运动的稳定（只含一个电子！）中电子
9、运动的稳定性以及能量量子化这样一些量子现象。性以及能量量子化这样一些量子现象。2.1 2.1 波函数的统计解释波函数的统计解释（续续3 3）7 Chapter 2.The wave function and Schrdinger Equation 波由粒子组成的看法仅注意到了粒子性的一面，而波由粒子组成的看法仅注意到了粒子性的一面，而抹杀了粒子的波动性的一面，具有片面性。抹杀了粒子的波动性的一面，具有片面性。（2 2）粒子为波包形状粒子为波包形状l电子是波包电子是波包。把电子波看成是电子的某种实际。把电子波看成是电子的某种实际的波的波包包结构，结构，看成看成是三维空间中连续分布的某种物质波包。
10、是三维空间中连续分布的某种物质波包。因此呈现出干涉和衍射等波动现象。波包的大小即电因此呈现出干涉和衍射等波动现象。波包的大小即电子的大小，波包的群速度即电子的运动速度。子的大小，波包的群速度即电子的运动速度。2.1 2.1 波函数的统计解释波函数的统计解释（续续4 4）l什么是波包？什么是波包？波包是各种波数（长）平面波的迭加。波包是各种波数（长）平面波的迭加。平面波描写自由粒子，其特点是充满整个空间，这平面波描写自由粒子，其特点是充满整个空间，这是因为平面波振幅与位置无关。如果粒子由波组成，是因为平面波振幅与位置无关。如果粒子由波组成，那么自由粒子将充满整个空间，这是没有意义的，那么自由粒子
11、将充满整个空间，这是没有意义的，与与实验事实相矛盾。实验事实相矛盾。8 Chapter 2.The wave function and Schrdinger Equationl 实验上观测到的电子，总是处于一个小区域内。实验上观测到的电子，总是处于一个小区域内。例如一个原子内的电子，其广延不会超过原子大小例如一个原子内的电子，其广延不会超过原子大小1 1 。l电子究竟是什么东西呢？是粒子？还是波？电子究竟是什么东西呢？是粒子？还是波？“电子既不是粒子也不是波电子既不是粒子也不是波”，既不是经典的粒，既不是经典的粒子也不是经典的波，但是我们也可以说，子也不是经典的波，但是我们也可以说，“电子既电
12、子既是粒子也是波，它是粒子和波动二重性矛盾的统一是粒子也是波，它是粒子和波动二重性矛盾的统一。”这个波不再是经典概念的波，粒子也不是经典概念这个波不再是经典概念的波，粒子也不是经典概念中的粒子。中的粒子。1.1.有一定质量、电荷等有一定质量、电荷等“颗粒性颗粒性”的属性的属性;2 2有确定的运动轨道，每一时刻有一定有确定的运动轨道，每一时刻有一定 位置和速度。位置和速度。经典概念经典概念中中粒子意粒子意味着味着 2.1 2.1 波函数的统计解释波函数的统计解释（续续5 5）9 Chapter 2.The wave function and Schrdinger Equation1.1.实在的物
13、理量的空间分布作周期性的实在的物理量的空间分布作周期性的 变化变化;2 2干涉、衍射现象，即相干叠加性。干涉、衍射现象，即相干叠加性。经典概经典概念中念中波波意味着意味着 （1 1）入射电子流强度小，开始显示电子的微粒入射电子流强度小，开始显示电子的微粒性，长时间亦显示衍射图样性，长时间亦显示衍射图样;我们再看一下电子的衍射实验我们再看一下电子的衍射实验 玻恩的解释：玻恩的解释：OPP电子源电子源感感光光屏屏QQ衍射实验事实：衍射实验事实：2.1 2.1 波函数的统计解释波函数的统计解释（续续6 6）10 Chapter 2.The wave function and Schrdinger E
14、quation19261926年年,玻恩玻恩(M.Born)(M.Born)首先提出了波函数的统计解释：首先提出了波函数的统计解释：波函数在空间中某一点的强度（波函数模的平波函数在空间中某一点的强度（波函数模的平方）与粒子在该点出现的概率成比例。方）与粒子在该点出现的概率成比例。（2 2）入射电子流强度大，很快显示衍射图样入射电子流强度大，很快显示衍射图样.可见，波函数模的平方可见，波函数模的平方 与粒子与粒子 时刻在时刻在 处附近出现的概率成正比。处附近出现的概率成正比。2.1 2.1 波函数的统计解释波函数的统计解释（续续7 7）波波 动动 观观 点点 粒粒 子子 观观 点点明纹处明纹处:
15、电子波强电子波强 (x,y,z,t)(x,y,z,t)2 2大大 电子出现的概率大电子出现的概率大暗纹处暗纹处:电子波强电子波强 (x,y,z,t)(x,y,z,t)2 2小小 电子出现的概率小电子出现的概率小 11 Chapter 2.The wave function and Schrdinger Equation 麦克斯麦克斯玻恩（玻恩（Max Born，1882.12.11 1970.01.05，德国）量德国）量子力学的创始人之一，晶格动力子力学的创始人之一，晶格动力学的奠基人。因提出波函数的统学的奠基人。因提出波函数的统计诠释而获得计诠释而获得1954年诺贝尔物理年诺贝尔物理学奖。量
16、子力学的提出使格丁根学奖。量子力学的提出使格丁根大学成为当时举世瞩目的物理学大学成为当时举世瞩目的物理学中心之一。在玻恩的领导下，格中心之一。在玻恩的领导下，格丁根群英勤奋创造，学术空气自丁根群英勤奋创造，学术空气自由活跃，形成了可以和玻尔的哥由活跃，形成了可以和玻尔的哥本哈根学派相媲美的格丁根物理本哈根学派相媲美的格丁根物理学派。学派。德国物理学德国物理学获得获得1954年诺贝年诺贝尔物理学奖尔物理学奖12 Chapter 2.The wave function and Schrdinger Equation设粒子状态由波函数设粒子状态由波函数 描述，波的强度是描述，波的强度是 这表明描写粒
17、子的波是概率波这表明描写粒子的波是概率波(几率波几率波),反映微反映微观客体运动的一种统计规律性，波函数观客体运动的一种统计规律性，波函数 有时有时也称为概率幅。也称为概率幅。2.1 2.1 波函数的统计解释波函数的统计解释（续续8 8）按按BornBorn提出的波函数的统计解释提出的波函数的统计解释,则微观粒子在则微观粒子在 时刻出现在时刻出现在 处体积元处体积元 内的内的概率概率 称为称为概率概率密度密度 (几率几率密度密度)13 Chapter 2.The wave function and Schrdinger Equation （1 1）“微微观观粒粒子子的的运运动动状状态态用用波波
18、函函数数描描述述，描描写写粒粒子子的的波波是是概概率率波波”，这这是是量量子子力力学学的的一一个个基基本本假假设（设（基本原理）基本原理）。必必 须须 注注 意意2.1 2.1 波函数的统计解释波函数的统计解释（续续9 9）称为波函数的称为波函数的标准化条件标准化条件（2 2）波函数一般用复函数表示。）波函数一般用复函数表示。（3 3）波函数满足连续性、有限性、单值性。）波函数满足连续性、有限性、单值性。知知道道了了描描述述微微观观粒粒子子状状态态的的波波函函数数，就就可可知知道道粒粒子子在在空空间间各各点点处处出出现现的的概概率率，以以后后的的讨讨论论进进一一步步知知道道，波波函函数数给给出
19、出体体系系的的一一切切性性质质，因因此此说说波波函数描写函数描写粒子粒子的量子状态（简称状态或态）的量子状态（简称状态或态）14 Chapter 2.The wave function and Schrdinger Equation令令3 3波函数的归一化条件波函数的归一化条件 和和 两波函数虽相差了任一常数两波函数虽相差了任一常数 ，但，但它们它们给出粒子在空间两点处的相对给出粒子在空间两点处的相对概率概率是相同的。是相同的。时刻，时刻，在在空间任意两点空间任意两点 和和 处找到粒子的处找到粒子的相对相对概率概率是：是：即即 和和 描述的是同一状态的描述的是同一状态的概率概率波波。可见，。可
20、见，波函数有任一常数因子的不定性。波函数有任一常数因子的不定性。2.1 2.1 波函数的统计解释波函数的统计解释（续续1010）15 Chapter 2.The wave function and Schrdinger Equation 非相对论量子力学仅研究低能粒子，实物粒子非相对论量子力学仅研究低能粒子，实物粒子不会产生与湮灭。这样，对一个粒子而言，它在不会产生与湮灭。这样，对一个粒子而言，它在全全空间出现的空间出现的概率概率等于等于1 1，所以，所以粒子在空间各点出现的粒子在空间各点出现的概率概率只取决于波函数在空间各点强度的相对比例，只取决于波函数在空间各点强度的相对比例，而不取决于强
21、度的绝对大小而不取决于强度的绝对大小，因而，将波函数乘上，因而，将波函数乘上一个常数后，所描写的粒子状态不变，即一个常数后，所描写的粒子状态不变，即 和和 描述同一状态描述同一状态 这与经典波截然不同。对于经典波，当波幅增大这与经典波截然不同。对于经典波，当波幅增大一倍（原来的一倍（原来的 2 2 倍）时，则相应的波动能量将为原倍）时，则相应的波动能量将为原来的来的 4 4 倍，因而代表完全不同的波动状态。经典波倍，因而代表完全不同的波动状态。经典波无归一化问题。无归一化问题。为消除波函数为消除波函数有任一常数因子有任一常数因子的这种不确定性，利的这种不确定性，利用粒子在用粒子在全空间出现的全
22、空间出现的概率概率等于等于1 1的特性，的特性，提出波函数提出波函数的归一化条件：的归一化条件：2.1 2.1 波函数的统计解释波函数的统计解释（续续1111）16 Chapter 2.The wave function and Schrdinger Equation又因又因其中其中称为称为归一化常数归一化常数于是于是归一化条件消除了波函数归一化条件消除了波函数常数因子常数因子的一种不确定性的一种不确定性。满足此条件的波函数满足此条件的波函数 称为称为归一化波函数归一化波函数。2.1 2.1 波函数的统计解释波函数的统计解释（续续1212）17 Chapter 2.The wave funct
23、ion and Schrdinger EquationEx.1 已知一维粒子状态波函数为已知一维粒子状态波函数为求归一化的波函数，粒子的求归一化的波函数，粒子的概率概率分布，粒子在何处分布，粒子在何处出现的出现的概率概率最大。最大。归一化常数归一化常数Solve:归一化的波函数归一化的波函数(1).求求归一化的波函数归一化的波函数2.1 2.1 波函数的统计解释波函数的统计解释（续续1313）18 Chapter 2.The wave function and Schrdinger Equation（2 2）概率概率分布分布：（3 3）由）由概率概率密度的极值条件密度的极值条件 由于由于 故故
24、 处，粒子出现处，粒子出现概率概率最大。最大。2.1 2.1 波函数的统计解释波函数的统计解释（续续1414）19 Chapter 2.The wave function and Schrdinger Equation注注 意意（1 1）归一化后的波函数归一化后的波函数 仍有一个模为一的因仍有一个模为一的因子子 不定性（不定性（为实函数）。为实函数）。若若 是归一化波函数，那末，是归一化波函数，那末，也是也是归一化波函数，与前者描述同一归一化波函数，与前者描述同一概率概率波。波。若若 对空间非绝对可积时，需用所对空间非绝对可积时，需用所谓谓的的函数归一化方法进行归一化。函数归一化方法进行归一化
25、。（2 2）只有当）只有当概率概率密度密度 对空间绝对可积时，才对空间绝对可积时，才能按归一化条件能按归一化条件 进行归一化。进行归一化。2.1 2.1 波函数的统计解释波函数的统计解释（续续1515）20 Chapter 2.The wave function and Schrdinger EquationSolve：归一化常数归一化常数 例如例如 平面波的归一化问题平面波的归一化问题2.1 2.1 波函数的统计解释波函数的统计解释（续续1616）归一化的一维平面波归一化的一维平面波：利用利用 ex.2 已知已知平面波平面波 ,求归一求归一 化常数化常数21 Chapter 2.The wa
26、ve function and Schrdinger Equation补补 充充 作作 业业 题题同理，三维平面波：同理，三维平面波：归一化条件归一化条件归一化条件归一化条件2.1 2.1 波函数的统计解释波函数的统计解释（续续）1 1.下列一组波函数共描写粒子的几个不同状态下列一组波函数共描写粒子的几个不同状态?并并指出指出哪几个波函数描写同一哪几个波函数描写同一状态。状态。22 Chapter 2.The wave function and Schrdinger Equation2.2.已知下列两个波函数已知下列两个波函数试判断试判断:(1)(1)波函数波函数 和和 是否描述同一状态是否描
27、述同一状态?(2)(2)对对 取取 两种情况两种情况,得到的两个波函得到的两个波函 数是否等价数是否等价?2.1 2.1 波函数的统计解释波函数的统计解释（续续1 1）23 Chapter 2.The wave function and Schrdinger Equation开开1 1闭闭2 2，衍射花样（兰曲线），衍射花样（兰曲线）开开2 2闭闭1 1，衍射花样（紫红曲线），衍射花样（紫红曲线）同时开同时开1 1，2 2，衍射花样（黑曲线），衍射花样（黑曲线）显然显然2.2 2.2 态叠加原理态叠加原理1.1.电子双缝衍射实验电子双缝衍射实验 1 12 2 表明表明概率不遵守迭加原则，只是波
28、函数（概率幅）概率不遵守迭加原则，只是波函数（概率幅）遵守迭加原则：遵守迭加原则：实实 验验 事事 实实24 Chapter 2.The wave function and Schrdinger Equation物物 理理 意意 义义 反之，电子经双缝衍射后处于反之，电子经双缝衍射后处于 态，则电态，则电子部分地既可处于子部分地既可处于 态，也可部分地处在态，也可部分地处在 态。态。2.2 2.2 态迭加原理态迭加原理（续续1 1）迭加态的概率迭加态的概率:干干 涉涉 项项电子穿过狭缝出现电子穿过狭缝出现在点的概率密度在点的概率密度电子穿过狭缝出现电子穿过狭缝出现在点的概率密度在点的概率密度
29、当两个缝都开着时，电子既可能处在当两个缝都开着时，电子既可能处在 态，也态，也可能处在可能处在 态，也可处在态，也可处在 和和 的线性迭加态的线性迭加态 。可见，。可见，若若 和和 是电子的可能状态，是电子的可能状态，则则 也是电子的可能状态也是电子的可能状态。25 Chapter 2.The wave function and Schrdinger Equation 态的迭加原理是量子力学的一个基本假设，它的态的迭加原理是量子力学的一个基本假设，它的正确性也依赖于实验的证实。正确性也依赖于实验的证实。1.1.若若 是粒子的可能状态，则粒子是粒子的可能状态，则粒子也可处在它们的线性迭加态也可处
30、在它们的线性迭加态2 2态迭加原理态迭加原理2.2 2.2 态迭加原理态迭加原理（续续2 2）当两个缝的几何参数或电子束相对位置不完全对当两个缝的几何参数或电子束相对位置不完全对称时，迭加态称时，迭加态 ,其概率为其概率为干干 涉涉 项项 2.2.当体系处于当体系处于 态时，发现体系处于态时，发现体系处于 态的几率态的几率是是 ，并且，并且26 Chapter 2.The wave function and Schrdinger Equation3 3电子在晶体表面的衍射，电子在晶体表面的衍射，动量空间的波函数动量空间的波函数 d 电子从晶体表面出射后，既可能处在电子从晶体表面出射后，既可能处
31、在 态，也态，也可能处在可能处在 、等状态，按态迭加原等状态，按态迭加原理，理，在晶体表面反射后，电子的状态在晶体表面反射后，电子的状态 可表示成可表示成 取各种可能值的平面波的线性叠加，即取各种可能值的平面波的线性叠加，即2.2 2.2 态迭加原理态迭加原理（续续3 3）电子沿垂直方向射到电子沿垂直方向射到单晶表面，出射后将以各单晶表面，出射后将以各种不同的动量运动，出射种不同的动量运动，出射后的电子为自由电子，其后的电子为自由电子，其状态波函数为平面波。状态波函数为平面波。27 Chapter 2.The wave function and Schrdinger Equation考虑到电子
32、的动量可以连续变化考虑到电子的动量可以连续变化2.2 2.2 态迭加原理态迭加原理（续续4 4）而而 （2 2）（1 1）即即衍射图样正是这些平衍射图样正是这些平面波叠加干涉的结果面波叠加干涉的结果显然显然,二式互为二式互为FourerFourer变换式变换式,所以所以 与与 一一一对应一对应,是粒子同一量子态的两种不同描述方式。是粒子同一量子态的两种不同描述方式。28 Chapter 2.The wave function and Schrdinger Equation2.2 2.2 态迭加原理态迭加原理（续续5 5）若若 归一化，则归一化，则 也是归一化的也是归一化的Prove:Prove
33、:以坐标以坐标 为自变量的波函数，为自变量的波函数，坐标空间（坐标表象）波函坐标空间（坐标表象）波函数数以动量以动量 为自变量的波函数，为自变量的波函数，动量空间（动量表象）波函数动量空间（动量表象）波函数二者描写同一量子状态二者描写同一量子状态 给出给出t t 时刻粒子动量时刻粒子动量 为为 的的概概率率 给出给出t t 时刻粒子处在时刻粒子处在 位置位置 处的概率处的概率 29 Chapter 2.The wave function and Schrdinger Equation2.2 2.2 态迭加原理态迭加原理（续续6 6）此显示出把平面波归一化为此显示出把平面波归一化为 函数的目的函
34、数的目的一维情况下，一维情况下，与与 的的FourerFourer变换变换关系：关系：如果仅考虑某一给定时刻粒子的坐标空间如果仅考虑某一给定时刻粒子的坐标空间波函数波函数与与动量空间动量空间波函数的关系，可取波函数的关系，可取t t=0 030 Chapter 2.The wave function and Schrdinger Equation2.3 2.3 薛定谔方程薛定谔方程1 1微观粒子运动方程应具有的特点微观粒子运动方程应具有的特点 本节研究量子力学的动力学问题，建立量子力学的动力学方程 Schrdinger方程 1926 1926年，年，薛定谔薛定谔发明了非相发明了非相对论对论量子
35、力学的动力学方程，量子力学的动力学方程，即即薛定谔方程。薛定谔方程。19331933年，与狄年，与狄拉克共享诺贝尔物理学奖。拉克共享诺贝尔物理学奖。奥地利物理学家奥地利物理学家 薛定谔薛定谔（1）含有波函数对时）含有波函数对时 间的一阶导数间的一阶导数 因为，因为，时刻，初态由时刻，初态由 这这样一个初始条件给定，所以，描写样一个初始条件给定，所以，描写粒子状态的波函数所满足的方程粒子状态的波函数所满足的方程只只能含对时间的一阶导数。能含对时间的一阶导数。31 Chapter 2.The wave function and Schrdinger Equation（3）质量为）质量为 的非相对性
36、粒子的非相对性粒子(即低速运动的粒子即低速运动的粒子),其总能为其总能为2.3 2.3 薛定谔方程薛定谔方程（续续1 1）（2）方程必为线性的）方程必为线性的 由由态叠加原理态叠加原理，若和是方程的解，那末，若和是方程的解，那末 也应是该方程的解。这就要求方程应也应是该方程的解。这就要求方程应是线性的，也就是说方程中只能包含是线性的，也就是说方程中只能包含及及对时间的一阶导数对时间的一阶导数和和对坐标各阶导数的对坐标各阶导数的线性线性项项，不能含它们的平方或开方项。，不能含它们的平方或开方项。方程方程不能包含不能包含 、等等状态参量状态参量，否则方程只能被粒子特，否则方程只能被粒子特定的状态所
37、满足，而不能为各种可能的状态所满足。定的状态所满足，而不能为各种可能的状态所满足。32 Chapter 2.The wave function and Schrdinger Equation又又（2）（3）（1）2 2自由粒子的运动方程自由粒子的运动方程将（将（1 1）和（）和（2 2）式代入（）式代入（3 3）式，得）式，得2.3 2.3 薛定谔方程薛定谔方程（续续2 2）（4）33 Chapter 2.The wave function and Schrdinger Equation 满足满足运动方程应具有的运动方程应具有的三个三个特点，此特点，此即即为为自由粒子自由粒子的基本运动方程的基
38、本运动方程自由粒子的自由粒子的SchrSchrdingerdinger方程。方程。讨论讨论即可得自由粒子的即可得自由粒子的SchrSchrdingerdinger方程（方程（4 4）。）。再做算符替换：再做算符替换：（5）2.3 2.3 薛定谔方程薛定谔方程（续续3 3）称为为能量算符称为为动量算符 通过引出自由粒子波动方程的过程可以看出，如通过引出自由粒子波动方程的过程可以看出，如果由能量关系式果由能量关系式 出发出发，写出如下等式写出如下等式：34 Chapter 2.The wave function and Schrdinger Equation3 3势场中运动粒子的势场中运动粒子的S
39、chrSchrdingerdinger方程方程设势场设势场 中运动粒子的状态波函数为中运动粒子的状态波函数为（6 6）2.3 2.3 薛定谔方程薛定谔方程（续续4 4）用能量关系式用能量关系式 乘以乘以波函数波函数 按（按（5 5）式，将能量）式，将能量 和动量和动量 分别用分别用能量算符能量算符和和动量算符动量算符 替代，即得替代，即得SchrSchrdingerdinger方程方程粒子的哈密顿函数粒子的哈密顿函数35 Chapter 2.The wave function and Schrdinger Equation哈密顿函数哈密顿函数4 4多粒子体系的多粒子体系的SchrdingerS
40、chrdinger方程方程2.3 2.3 薛定谔方程薛定谔方程（续续5 5）作动量算符替代作动量算符替代则则利用哈密顿算符，可将利用哈密顿算符，可将SchrSchrdingerdinger方程（方程（6 6）写成另）写成另一形式一形式（7 7）称为哈密顿算符称为哈密顿算符36 Chapter 2.The wave function and Schrdinger Equation（1 1）SchrSchrdingerdinger方程是作为一个方程是作为一个基本假设基本假设提出提出来的，它的正确性已为非相对论量子力学在各方面来的，它的正确性已为非相对论量子力学在各方面的应用而得到证实的应用而得到证
41、实。注注 意意（2 2）SchrSchrdingerdinger方程在非相对论量子力学中的方程在非相对论量子力学中的地位与牛顿方程在经典力学中的地位相仿地位与牛顿方程在经典力学中的地位相仿,只要给只要给出粒子在初始时刻的波函数，由方程即可求得粒出粒子在初始时刻的波函数，由方程即可求得粒子在以后任一时刻的波函数。子在以后任一时刻的波函数。2.3 2.3 薛定谔方程薛定谔方程（续续6 6）SchrSchrdingerdinger方程方程（9 9）哈密顿算符哈密顿算符（8 8）37 Chapter 2.The wave function and Schrdinger Equation阅读资料阅读资料
42、：物理学家物理学家薛定谔薛定谔 薛定谔薛定谔（E.Schrdinger 18871961）奥地利物理学家，奥地利物理学家，瑞士苏黎世大学教授，瑞士苏黎世大学教授，1926年提出了非相对论量年提出了非相对论量子力学的动力学方程，即子力学的动力学方程，即薛定谔方程。薛定谔方程。1933年，与年，与狄拉克共享诺贝尔物理学狄拉克共享诺贝尔物理学奖。奖。薛定谔不仅是量子力学的创始人之一，还是现代薛定谔不仅是量子力学的创始人之一，还是现代生物学的奠基人之一。生物学的奠基人之一。1944年，年，57岁的薛定谔以他岁的薛定谔以他生命是什么生命是什么一书的出版震惊了科学界，提出了一书的出版震惊了科学界，提出了对
43、生命的三点开创性认识：对生命的三点开创性认识：（1）生命来自负熵；生命来自负熵；38 Chapter 2.The wave function and Schrdinger Equation（2）遗传的基础是有机分子，遗传密码储存于遗传的基础是有机分子，遗传密码储存于“非非周期大分子周期大分子”中中（3）生命以量子规律为基础，量子跃迁可以引起基生命以量子规律为基础，量子跃迁可以引起基因突变。因突变。薛定谔在薛定谔在生命是什么生命是什么一书中述及的第一个论一书中述及的第一个论点打开了现代生命科学的大门，另两个结论是现代点打开了现代生命科学的大门，另两个结论是现代生物遗传学和进化论的基础，对现代生物
44、学产生了生物遗传学和进化论的基础，对现代生物学产生了不可估量的影响。不可估量的影响。DNA双螺旋结构的发现者美国遗双螺旋结构的发现者美国遗传学家沃森传学家沃森（J.D.Watson 1928）和英国物理学家克和英国物理学家克里克里克（F.H.C.Crrick19162004）正是因为年轻时读正是因为年轻时读过过生命是什么生命是什么这本书，受到了极大激励和启发这本书，受到了极大激励和启发，吸引他们进入基因研究工作。吸引他们进入基因研究工作。薛定谔开创了用物理学研究生命科学的先河，将薛定谔开创了用物理学研究生命科学的先河，将生命现象的解释从细胞水平提高到更微观水平生命现象的解释从细胞水平提高到更微
45、观水平 分子水平。分子水平。阅读资料阅读资料：物理学家物理学家薛定谔薛定谔（续）（续）39 Chapter 2.The wave function and Schrdinger Equation2.42.4粒子流密度和粒子数守恒定律粒子流密度和粒子数守恒定律1 1概率守恒定律概率守恒定律由由Schrdinger方程方程（1）则则设设 是粒子状态的归一化波函数是粒子状态的归一化波函数 取复共取复共轭轭 讨论粒子在一定空间区域内出现的概率将怎样随时讨论粒子在一定空间区域内出现的概率将怎样随时间变化间变化代入（代入（1 1）式后，有）式后，有 40 Chapter 2.The wave functi
46、on and Schrdinger Equation（2）令令称为概率流密度称为概率流密度概率连续性方程概率连续性方程（3）（2 2）概率连续性方程与经典电动力学中的电荷守恒方概率连续性方程与经典电动力学中的电荷守恒方程程 具有相同的形式具有相同的形式。（3 3）式对空间）式对空间V V作体积分作体积分2.2.粒子流密度和粒子数守恒定律粒子流密度和粒子数守恒定律（续续1 1）(4)(4)41 Chapter 2.The wave function and Schrdinger Equation当当 时时 (4)(4)式表明式表明:粒子单位时间在内出现的粒子单位时间在内出现的概概率的率的增量等于
47、单位时间内流入内的增量等于单位时间内流入内的概概率率(负号表示流负号表示流入入)。(3)3)式是式是概概率守恒守律的积分形式。率守恒守律的积分形式。(4)(4)式即即表明粒子的总表明粒子的总概概率不率不变变,即即概概率守恒率守恒。表明波函数归一化不表明波函数归一化不随时间改变，其物理随时间改变，其物理意义是粒子既未产生意义是粒子既未产生也未消灭。也未消灭。2.2.粒子流密度和粒子数守恒定律粒子流密度和粒子数守恒定律（续续）2 2电荷守恒定律，粒子数守恒电荷守恒定律，粒子数守恒设粒子的电荷为，质量为设粒子的电荷为，质量为42 Chapter 2.The wave function and Sch
48、rdinger Equation量子力学中的量子力学中的电荷密度电荷密度量子力学量子力学中中的的质量流密度质量流密度量子力学量子力学中中的的电流密度电流密度量子力学量子力学中中的的质量密度质量密度量子力学量子力学中中的的电荷守恒律电荷守恒律量子力学的量子力学的物质守恒律物质守恒律2.2.粒子流密度和粒子数守恒定律粒子流密度和粒子数守恒定律（续续）3 3波函数的标准条件波函数的标准条件43 Chapter 2.The wave function and Schrdinger Equation（1 1）根据）根据BornBorn统计解释，统计解释，是粒子在是粒子在时刻出现在时刻出现在 点的点的概概
49、率，这是一个确定的数，所以率，这是一个确定的数，所以要求应是要求应是 的单值函数且有限。的单值函数且有限。（2 2）根据粒子数守恒定律）根据粒子数守恒定律:此式右边含有及其对坐标一阶导数的积分，由此式右边含有及其对坐标一阶导数的积分，由于积分区域是任意选取的，所以是任意闭合面。于积分区域是任意选取的，所以是任意闭合面。要是积分有意义，要是积分有意义，必须在变数的全部范围，即空必须在变数的全部范围，即空间任何一点都应是有限、连续且其一阶导数亦连续。间任何一点都应是有限、连续且其一阶导数亦连续。概括之，波函数在全空间每一点应满足概括之，波函数在全空间每一点应满足单值、有限、单值、有限、连续连续三个
50、条件，该条件称为波函数的标准条件。三个条件，该条件称为波函数的标准条件。2.2.粒子流密度和粒子数守恒定律粒子流密度和粒子数守恒定律（续续）44 Chapter 2.The wave function and Schrdinger Equation2.5 2.5 定态薛定谔方程定态薛定谔方程引引 言言 上次课我们建立了微观粒子的动力学方程上次课我们建立了微观粒子的动力学方程-Schrodinger方程（又称为量子力学的波动方程）。方程（又称为量子力学的波动方程）。本次课我们将利用本次课我们将利用Schrodinger方程研究处于稳定力方程研究处于稳定力场中运动场中运动粒子的动力学问题，由此引入