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1、第三章第三章 流体运动学和动流体运动学和动力学基础力学基础主要内容主要内容3.1 研究流体运动的方法研究流体运动的方法3.2 流动的类型流动的类型 3.3 流体运动学的基本概念流体运动学的基本概念 3.4 系统系统 控制体控制体 输运公式输运公式 3.5 连续性方程连续性方程 3.6 动量方程和动量矩方程动量方程和动量矩方程 3.7 能量方程能量方程3.9 流线法线方向速度和压强的变化流线法线方向速度和压强的变化3.8 伯努利方程及其应用伯努利方程及其应用 3.10 粘性流体总流的伯努利方程粘性流体总流的伯努利方程3.1 研究流体运动的方法研究流体运动的方法当地法当地法描述方法描述方法随体法随
2、体法拉格朗日法拉格朗日法 欧拉法欧拉法质点轨迹：质点轨迹：参数分布：参数分布：B=B（x,y,z,t）根据连续介质的假设，流体是由质点组成的，无根据连续介质的假设，流体是由质点组成的，无空隙地充满所占据的空间。对于无数多的流体质点，空隙地充满所占据的空间。对于无数多的流体质点，当其发生运动时，如何正确描述和区分各流体质点的当其发生运动时，如何正确描述和区分各流体质点的运动行为，将是流体运动学必须回答的问题。描述流运动行为，将是流体运动学必须回答的问题。描述流体运动的方法有两种。体运动的方法有两种。LagrangeLagrange法（拉格朗日法）法（拉格朗日法）法（拉格朗日法）法（拉格朗日法）基
3、本思想基本思想基本思想基本思想：观察者观察者着眼于着眼于个别流体质点的个别流体质点的流动行流动行为为，通过跟踪每个质点的运动历程，从而获得整，通过跟踪每个质点的运动历程，从而获得整个流场的运动规律。（引出迹线的概念）个流场的运动规律。（引出迹线的概念）独立变量独立变量独立变量独立变量：（a,b,c,ta,b,c,t）区分流体质点的标志区分流体质点的标志区分流体质点的标志区分流体质点的标志质点物理量质点物理量质点物理量质点物理量：流体质点的位置坐标：流体质点的位置坐标：流体质点的位置坐标：流体质点的位置坐标：速度：速度：速度：速度：流体质点的加速度流体质点的加速度流体质点的加速度流体质点的加速度
4、：优缺点优缺点优缺点优缺点：直观性强、物理概念明确、可以描述各直观性强、物理概念明确、可以描述各质点的时变过程质点的时变过程 数学求解较为困难，一般问题研究中数学求解较为困难，一般问题研究中很少采用很少采用 Euler法（欧拉法）法（欧拉法）基本思想基本思想基本思想基本思想：欧拉方法的欧拉方法的着眼点着眼点不是流体质点而是不是流体质点而是空间点空间点。考察不。考察不同流体质点通过空间固定点的流动行为，通过记录不同空间点流同流体质点通过空间固定点的流动行为，通过记录不同空间点流体质点经过的运动情况，从而获得整个流场的运动规律。体质点经过的运动情况，从而获得整个流场的运动规律。在固定空间点看到的是
5、不同流体质点的运动变化，无法像拉在固定空间点看到的是不同流体质点的运动变化，无法像拉格朗日方法那样直接记录同一质点的时间历程。格朗日方法那样直接记录同一质点的时间历程。独立变量独立变量独立变量独立变量：空间点坐标空间点坐标 应该指出，速度场的表达本质上指的是该瞬时恰好应该指出，速度场的表达本质上指的是该瞬时恰好通过该空间点的流体微团所具有的速度通过该空间点的流体微团所具有的速度 。一个速度场即使没有解析表达式，但只要有离散的数据点，也可以描绘出流即使没有解析表达式，但只要有离散的数据点，也可以描绘出流场，例如下图就是用某时刻下速度的空间分布描绘的一个速度场场，例如下图就是用某时刻下速度的空间分
6、布描绘的一个速度场:一个布满了某种物理量的空间称为场。一个布满了某种物理量的空间称为场。除速度场之外，还有压强场。在高速流除速度场之外，还有压强场。在高速流动时，气流的密度和温度也随流动有变动时，气流的密度和温度也随流动有变化，那就还有一个密度场和温度场。这化，那就还有一个密度场和温度场。这都包括在流场的概念之内。都包括在流场的概念之内。质点加速度与质点导数质点加速度与质点导数 质点加速度质点加速度 -质点速度矢量V对时间的变化率。质点加速度采用微分算子 当地加速度迁移加速度 质点的加速度包括两个部分：（1）当地加速度（局部加速度）特定空间点上速度 对时间的变化率；（2）迁移加速度（对流加速度
7、）对应于质点空间位置 改变所产生的速度变化。质点导数质点导数 -质点质点物理参数对时间的变化率。物理参数对时间的变化率。物理参数的物理参数的质点导数质点导数 =当地导数当地导数 +迁移导数迁移导数 例例 拉格朗日法拉格朗日法 欧拉法欧拉法两种方法的比较比较两种方法的比较比较分别描述有限质点的轨迹分别描述有限质点的轨迹 同时描述所有质点的瞬时参数同时描述所有质点的瞬时参数表达式复杂表达式复杂 表达式简单表达式简单不能直接反映参数的空间分布不能直接反映参数的空间分布 直接反映参数的空间分布直接反映参数的空间分布不适合描述流体元的运动变形特性不适合描述流体元的运动变形特性 适合描述流体元的运动变形特
8、性适合描述流体元的运动变形特性 拉格朗日观点是重要的拉格朗日观点是重要的 流体力学最常用的解析方法流体力学最常用的解析方法由速度分布求质点轨迹由速度分布求质点轨迹求：求：在在t=0时刻位于点（时刻位于点（a,b）的流体质点的运动轨迹。的流体质点的运动轨迹。解：解：对某时刻对某时刻t 位于坐标点上位于坐标点上(x,y)的质点的质点 求解一阶常微分求解一阶常微分方程（方程（a）可得）可得已知已知:已知用欧拉法表示的流场速度分布规律为已知用欧拉法表示的流场速度分布规律为(a)(b)讨论：讨论：本例说明虽然给出的是速度分布式（欧拉法），即各本例说明虽然给出的是速度分布式（欧拉法），即各空间点上速度分量
9、随时间的变化规律，仍然可由此求空间点上速度分量随时间的变化规律，仍然可由此求出指定流体质点在不同时刻经历的空间位置，即运动出指定流体质点在不同时刻经历的空间位置，即运动轨迹（拉格朗日法）。轨迹（拉格朗日法）。代入代入(b)式，可得参数形式的流体质点轨迹方程为式，可得参数形式的流体质点轨迹方程为c1，c2 为积分常数，由为积分常数，由t=0时刻流体质点位于时刻流体质点位于 可确定可确定12 c1=a,c2=b3.2 流动的类型流动的类型 按照流体性质划分：按照流体性质划分：按照流体性质划分：按照流体性质划分：可压缩流体的流动和不可压缩流体的流动；可压缩流体的流动和不可压缩流体的流动；可压缩流体的
10、流动和不可压缩流体的流动；可压缩流体的流动和不可压缩流体的流动；理想流体的流动和粘性流体的流动；理想流体的流动和粘性流体的流动；理想流体的流动和粘性流体的流动；理想流体的流动和粘性流体的流动；牛顿流体的流动和非牛顿流体的流动；牛顿流体的流动和非牛顿流体的流动；牛顿流体的流动和非牛顿流体的流动；牛顿流体的流动和非牛顿流体的流动；磁性流体的流动和非磁性流体的流动；磁性流体的流动和非磁性流体的流动；磁性流体的流动和非磁性流体的流动；磁性流体的流动和非磁性流体的流动；按照流动特征区分：按照流动特征区分：按照流动特征区分：按照流动特征区分：有旋流动和无旋流动；层流流动和紊流流动；有旋流动和无旋流动；层流
11、流动和紊流流动；有旋流动和无旋流动；层流流动和紊流流动；有旋流动和无旋流动；层流流动和紊流流动；定常流动和非定常流动；定常流动和非定常流动；定常流动和非定常流动；定常流动和非定常流动；超声速流动和亚声速流动；超声速流动和亚声速流动；超声速流动和亚声速流动；超声速流动和亚声速流动；按照流动空间区分：按照流动空间区分：按照流动空间区分：按照流动空间区分：内部流动和外部流动；内部流动和外部流动；内部流动和外部流动；内部流动和外部流动；一维流动、二维流动和三维流动；一维流动、二维流动和三维流动；一维流动、二维流动和三维流动；一维流动、二维流动和三维流动；1.1.1.1.定常流动、非定常流动定常流动、非
12、定常流动定常流动、非定常流动定常流动、非定常流动（steady and unsteady flowsteady and unsteady flow)非定常流动：非定常流动：非定常流动：非定常流动：定常流动：定常流动：定常流动：定常流动：流动是否定常与所选取的流动是否定常与所选取的流动是否定常与所选取的流动是否定常与所选取的参考坐标系参考坐标系参考坐标系参考坐标系有关。有关。有关。有关。2.2.2.2.一维流动、二维流动和三维流动一维流动、二维流动和三维流动一维流动、二维流动和三维流动一维流动、二维流动和三维流动一维流动：一维流动：一维流动：一维流动：流动参数是一个坐标的函数；流动参数是一个坐标
13、的函数；流动参数是一个坐标的函数；流动参数是一个坐标的函数；二维流动：二维流动：二维流动：二维流动：流动参数是两个坐标的函数；流动参数是两个坐标的函数；流动参数是两个坐标的函数；流动参数是两个坐标的函数；三维流动：三维流动：三维流动：三维流动：流动参数是三个坐标的函数。流动参数是三个坐标的函数。流动参数是三个坐标的函数。流动参数是三个坐标的函数。对于工程实际问题，在满足精度要求的情对于工程实际问题，在满足精度要求的情对于工程实际问题，在满足精度要求的情对于工程实际问题，在满足精度要求的情况下，将况下，将况下，将况下，将三维流动简化为二维、甚至一维三维流动简化为二维、甚至一维三维流动简化为二维、
14、甚至一维三维流动简化为二维、甚至一维流动，流动，流动，流动，可以使得求解过程尽可能简化。可以使得求解过程尽可能简化。可以使得求解过程尽可能简化。可以使得求解过程尽可能简化。二维流动二维流动二维流动二维流动一维流动一维流动一维流动一维流动三维流动三维流动三维流动三维流动二二二二维流动维流动维流动维流动给定速度场给定速度场给定速度场给定速度场 ，流体质点经过时间，流体质点经过时间，流体质点经过时间，流体质点经过时间 移动了距离移动了距离移动了距离移动了距离 ，该质点的，该质点的，该质点的，该质点的迹线微分方程迹线微分方程迹线微分方程迹线微分方程为为为为3.3 流体运动学的基本概念流体运动学的基本概
15、念 一、迹线和流线一、迹线和流线一、迹线和流线一、迹线和流线起始时刻起始时刻起始时刻起始时刻 时质点的坐标时质点的坐标时质点的坐标时质点的坐标 ，积分得该质点的迹线方程。，积分得该质点的迹线方程。，积分得该质点的迹线方程。，积分得该质点的迹线方程。迹线迹线迹线迹线 流体质点的运动轨迹线。流体质点的运动轨迹线。流体质点的运动轨迹线。流体质点的运动轨迹线。属拉格朗日法的研究内容。属拉格朗日法的研究内容。属拉格朗日法的研究内容。属拉格朗日法的研究内容。流线流线流线流线 速度场的矢量线。速度场的矢量线。速度场的矢量线。速度场的矢量线。任一时刻任一时刻任一时刻任一时刻t t，曲线上每一点处的切向量，曲线
16、上每一点处的切向量，曲线上每一点处的切向量，曲线上每一点处的切向量 都与该点都与该点都与该点都与该点的速度向量的速度向量的速度向量的速度向量 相切。相切。相切。相切。流线微分方程流线微分方程流线微分方程流线微分方程：流线的几个性质流线的几个性质流线的几个性质流线的几个性质：uu 在定常流动中，流线不随时间改变其位置和形状，流线和迹线重合。在定常流动中，流线不随时间改变其位置和形状，流线和迹线重合。在定常流动中，流线不随时间改变其位置和形状，流线和迹线重合。在定常流动中，流线不随时间改变其位置和形状，流线和迹线重合。在非定常流动中，由于各空间点上速度随时间变化，流线的形状和位置是在非定常流动中，
17、由于各空间点上速度随时间变化，流线的形状和位置是在非定常流动中，由于各空间点上速度随时间变化，流线的形状和位置是在非定常流动中，由于各空间点上速度随时间变化，流线的形状和位置是在不停地变化的。在不停地变化的。在不停地变化的。在不停地变化的。uu 流线不能彼此相交和折转，只能平滑过渡。流线不能彼此相交和折转，只能平滑过渡。流线不能彼此相交和折转，只能平滑过渡。流线不能彼此相交和折转，只能平滑过渡。uu 流线密集的地方流体流动的速度大，流线稀疏的地方流动速度小。流线密集的地方流体流动的速度大，流线稀疏的地方流动速度小。流线密集的地方流体流动的速度大，流线稀疏的地方流动速度小。流线密集的地方流体流动
18、的速度大，流线稀疏的地方流动速度小。迹线和流线的差别迹线和流线的差别迹线和流线的差别迹线和流线的差别：迹线是同一流体质点在不同时刻的位移曲线，与迹线是同一流体质点在不同时刻的位移曲线，与迹线是同一流体质点在不同时刻的位移曲线，与迹线是同一流体质点在不同时刻的位移曲线，与Lagrange观点对应；观点对应；观点对应；观点对应；流线是同一时刻、不同流体质点速度向量的包络线，与流线是同一时刻、不同流体质点速度向量的包络线，与流线是同一时刻、不同流体质点速度向量的包络线，与流线是同一时刻、不同流体质点速度向量的包络线，与Euler观点对应。观点对应。观点对应。观点对应。例例3-1 已知速度场为已知速度
19、场为其中其中k为常数，试求流线方程。为常数，试求流线方程。代入流线方程，可得代入流线方程，可得积分上式的流线方程为积分上式的流线方程为该流动的流线为一族等角双曲线。该流动的流线为一族等角双曲线。流线的性质：流线的性质：解解 流动为二维定常流流动为二维定常流 （1 1）一般情况下，流线不能相交，且只能是一条光滑曲线；）一般情况下，流线不能相交，且只能是一条光滑曲线；（2 2）在定常流动条件下，流线的形状、位置不随时间变化，）在定常流动条件下，流线的形状、位置不随时间变化，且流线与迹线重合。且流线与迹线重合。积分得任一时刻积分得任一时刻 t 流线族为：流线族为：t=0时刻流线族为：时刻流线族为：（
20、这也是定常流流线族）（这也是定常流流线族）解：解：1.求流线，由流线方程（其中求流线，由流线方程（其中 t 固定当常数看）：固定当常数看）：例例3-2.设有一个二维非定常流场其速度分布是设有一个二维非定常流场其速度分布是：求求t=0时过（时过（1，1）的流线和迹线。问定常时）的流线和迹线。问定常时 结果如何？结果如何？求：求：（1）质点）质点A的迹线方程；的迹线方程；解：此流场属不定常流场。解：此流场属不定常流场。例例3-3：设速度场为：设速度场为 vx=t+1,v y=1，t=0时刻流体质点时刻流体质点A位于原点。位于原点。(1)(1)由欧拉迹线方程式，本例迹线方程组为由欧拉迹线方程式，本例
21、迹线方程组为（2）t=0时刻过原点的流线方程；时刻过原点的流线方程；（3）t=1时刻质点时刻质点A的运动方向。的运动方向。由上两式分别积分可得由上两式分别积分可得 t=0时质点时质点A 位于位于x=y=0，得，得c1=c2=0。质点质点A的的迹线方程为迹线方程为(a)消去参数消去参数 t 可得可得上式表明质点上式表明质点A的迹线是一条以（的迹线是一条以（1/2，1）为顶点，）为顶点，且通过原点的抛物线。且通过原点的抛物线。（2）由流线微分方程式，）由流线微分方程式，积分可得积分可得(b)在在 t=0时刻，流线通过原点时刻，流线通过原点 x=y=0，可得，可得C=0，相应的流线方程为相应的流线方
22、程为（c）x=y可得可得C=1/4 。这是过原点的一、三象限角平分线，与质点这是过原点的一、三象限角平分线，与质点A A的迹线的迹线在原点相切。在原点相切。(3)(3)为确定为确定t=1时刻质点时刻质点A A的运动方向，需求此时刻过的运动方向，需求此时刻过质点质点A所在位置的流线方程。由迹线参数式方程所在位置的流线方程。由迹线参数式方程(a)(a)可可确定，确定，t=1时刻质点时刻质点 A位于位于x=3/2，y=1位置，代入流位置，代入流线方程线方程(b)(b)讨论：讨论：以上可见，不定常流动中迹线与流线不重合；不以上可见，不定常流动中迹线与流线不重合；不同时刻通过某固定点的流线可以不同（见同
23、时刻通过某固定点的流线可以不同（见b b式），式），通过某流体质点所在位置的流线也可以不同（见通过某流体质点所在位置的流线也可以不同（见c c和和d d式）。式）。t=1时刻过流体质点时刻过流体质点A所在位所在位置的流线方程为置的流线方程为x=2 y1/2 (d)上式是一条与流体质点上式是一条与流体质点 A的的迹线相切于（迹线相切于（3/23/2，1 1）点的）点的斜直线，运动方向为沿该直斜直线，运动方向为沿该直线朝线朝 x,y值增大方向。值增大方向。例例3-4 在任意时刻，流体质点的位置是在任意时刻，流体质点的位置是x=5t2，其迹线为双曲线其迹线为双曲线xy=25。质点速度和加速度在。质点
24、速度和加速度在x和和y方向的分量为多少？方向的分量为多少？解解流管流管流管流管在流场中作一不是流线的封闭周线在流场中作一不是流线的封闭周线在流场中作一不是流线的封闭周线在流场中作一不是流线的封闭周线C C C C，过该周线上的所，过该周线上的所，过该周线上的所，过该周线上的所有流线组成的管状表面。有流线组成的管状表面。有流线组成的管状表面。有流线组成的管状表面。流体不能穿过流管，流管就像真正的管子一样将其内外的流体分开。流体不能穿过流管，流管就像真正的管子一样将其内外的流体分开。流体不能穿过流管，流管就像真正的管子一样将其内外的流体分开。流体不能穿过流管，流管就像真正的管子一样将其内外的流体分
25、开。定常流动中，流管的形状和位置不随时间发生变化。定常流动中，流管的形状和位置不随时间发生变化。定常流动中，流管的形状和位置不随时间发生变化。定常流动中，流管的形状和位置不随时间发生变化。流束流束流束流束充满流管的一束流体。充满流管的一束流体。充满流管的一束流体。充满流管的一束流体。微元流束微元流束微元流束微元流束截面积无穷小的流束。截面积无穷小的流束。截面积无穷小的流束。截面积无穷小的流束。微元流束的极限是流线。微元流束的极限是流线。微元流束的极限是流线。微元流束的极限是流线。微元流束和流线的差别微元流束和流线的差别微元流束和流线的差别微元流束和流线的差别：流束是一个物理概念，涉及流速、压强
26、、动量、能量、流量等；流束是一个物理概念，涉及流速、压强、动量、能量、流量等；流束是一个物理概念，涉及流速、压强、动量、能量、流量等；流束是一个物理概念，涉及流速、压强、动量、能量、流量等；流线是一个数学概念，只是某一瞬时流场中的一条光滑曲线。流线是一个数学概念，只是某一瞬时流场中的一条光滑曲线。流线是一个数学概念，只是某一瞬时流场中的一条光滑曲线。流线是一个数学概念，只是某一瞬时流场中的一条光滑曲线。总流总流总流总流截面积有限大的流束。如河流、水渠、水管中的水流及截面积有限大的流束。如河流、水渠、水管中的水流及截面积有限大的流束。如河流、水渠、水管中的水流及截面积有限大的流束。如河流、水渠、
27、水管中的水流及风管中的气流都是总流。风管中的气流都是总流。风管中的气流都是总流。风管中的气流都是总流。二、流管和流束二、流管和流束二、流管和流束二、流管和流束三、缓变流和急变流三、缓变流和急变流三、缓变流和急变流三、缓变流和急变流缓缓缓缓变变变变流流流流流流流流束束束束内内内内流流流流线线线线的的的的夹夹夹夹角角角角很很很很小小小小、流流流流线线线线的的的的曲曲曲曲率率率率半半半半径径径径很很很很大大大大，近近近近乎平行直线的流动。否则即为乎平行直线的流动。否则即为乎平行直线的流动。否则即为乎平行直线的流动。否则即为急变流急变流急变流急变流。流流流流体体体体在在在在直直直直管管管管道道道道内内
28、内内的的的的流流流流动动动动为为为为缓缓缓缓变变变变流流流流，在在在在管管管管道道道道截截截截面面面面积积积积变变变变化化化化剧剧剧剧烈烈烈烈、流流流流动动动动方方方方向向向向发发发发生生生生改改改改变变变变的的的的地地地地方方方方，如如如如突突突突扩扩扩扩管管管管、突突突突缩缩缩缩管管管管、弯弯弯弯管管管管、阀阀阀阀门门门门等等等等处处处处的流动为的流动为的流动为的流动为急变流急变流急变流急变流。四、有效截面四、有效截面四、有效截面四、有效截面 流量流量流量流量 平均流速平均流速平均流速平均流速有有有有效效效效截截截截面面面面在在在在流流流流束束束束或或或或者者者者总总总总流流流流中中中中，
29、与所有流线都垂直的截面。与所有流线都垂直的截面。与所有流线都垂直的截面。与所有流线都垂直的截面。流量流量流量流量在单位时间内流过有效截面积的流体的量。在单位时间内流过有效截面积的流体的量。在单位时间内流过有效截面积的流体的量。在单位时间内流过有效截面积的流体的量。平均流速平均流速平均流速平均流速体积流量与有效截面积之比值。体积流量与有效截面积之比值。体积流量与有效截面积之比值。体积流量与有效截面积之比值。一般不加下标，直接用一般不加下标，直接用一般不加下标，直接用一般不加下标，直接用 v v 表示表示表示表示。质量流量（质量流量（）：）：体积流量（体积流量（）：）：流量与平均速度流量与平均速度
30、例例3-5 粘性流体在圆管（半径粘性流体在圆管（半径R）内作定常流动。内作定常流动。设圆截面上有两种速度分布，一种是抛物线分布设圆截面上有两种速度分布，一种是抛物线分布,另一种是另一种是1/7次幂分布：次幂分布：上式中上式中vm1、vm2分别为两种速分别为两种速度分布在管轴上的最大速度。度分布在管轴上的最大速度。求：两种速度分布的（求：两种速度分布的（1）流量）流量qV的表达式；（的表达式；（2）截面上平均速度截面上平均速度 。解：解：（1 1）流量计算时）流量计算时dA=2rdr，抛物线分布的流量为，抛物线分布的流量为 vn)dA=1/7次幂分布的流量为分布的流量为 vn)dA（2 2）抛物
31、线分布和）抛物线分布和1/7次幂分布的平均速度分别为次幂分布的平均速度分别为讨论：讨论：抛物线速度分布的截面平均速度为最大速度的一抛物线速度分布的截面平均速度为最大速度的一半，而半，而1/71/7次幂分布的截面平均速度为最大速度次幂分布的截面平均速度为最大速度的的0.81670.8167倍，这是后者的速度廓线中部更平坦，倍，这是后者的速度廓线中部更平坦，速度分布更均匀的缘故。速度分布更均匀的缘故。五、湿周五、湿周五、湿周五、湿周 水力半径水力半径水力半径水力半径 当量直径当量直径当量直径当量直径 湿周湿周湿周湿周在总流的有效截面上，流体与固体壁面的接触长度。在总流的有效截面上，流体与固体壁面的
32、接触长度。在总流的有效截面上，流体与固体壁面的接触长度。在总流的有效截面上，流体与固体壁面的接触长度。水力半径水力半径水力半径水力半径总流的有效截面积总流的有效截面积总流的有效截面积总流的有效截面积A A和湿周之比。和湿周之比。和湿周之比。和湿周之比。矩形管道矩形管道矩形管道矩形管道环形截环形截环形截环形截面管道面管道面管道面管道管束管束管束管束非圆形截面管非圆形截面管非圆形截面管非圆形截面管道的当量直径道的当量直径道的当量直径道的当量直径圆形截面管道的当量直径圆形截面管道的当量直径圆形截面管道的当量直径圆形截面管道的当量直径作业：作业：3-2，3-4，3-7 3.4 3.4 系统系统系统系统
33、 控制体控制体控制体控制体 输运公式输运公式输运公式输运公式 一、一、一、一、系统系统系统系统（systemsystem）由确定的流体质点组成的流体团由确定的流体质点组成的流体团由确定的流体质点组成的流体团由确定的流体质点组成的流体团或流体体积或流体体积或流体体积或流体体积V(t)V(t)。系统边界面系统边界面系统边界面系统边界面S(tS(t)在流体的运动过程中不断发生变化。在流体的运动过程中不断发生变化。在流体的运动过程中不断发生变化。在流体的运动过程中不断发生变化。二、二、二、二、控制体控制体控制体控制体(control volume)(control volume)相对于坐标系固定不相对
34、于坐标系固定不相对于坐标系固定不相对于坐标系固定不变的空间体积变的空间体积变的空间体积变的空间体积V。是为。是为。是为。是为了研究问题方便而取定了研究问题方便而取定了研究问题方便而取定了研究问题方便而取定的。边界面的。边界面的。边界面的。边界面S 称为称为称为称为控制控制控制控制面。面。面。面。SystemControl VolumeControl Surface三、三、三、三、输运公式输运公式输运公式输运公式 系统和控制体系统系统系统系统：边界用：边界用：边界用：边界用虚线虚线虚线虚线表示；表示；表示；表示；控制体控制体控制体控制体：边界用：边界用：边界用：边界用实线实线实线实线表示。表示。
35、表示。表示。左边左边左边左边(a)(a)图对应着图对应着图对应着图对应着t t 时刻时刻时刻时刻；右边右边右边右边(b)(b)图对应图对应图对应图对应t t t t 时刻。时刻。时刻。时刻。N N为为为为系系系系统统统统在在在在t t时时时时刻刻刻刻所所所所具具具具有有有有的的的的某某某某种种种种物物物物理理理理量量量量（如如如如质质质质量量量量、动动动动量量量量和和和和能能能能量量量量等等等等）的的的的总总总总量量量量;表表表表示示示示单单单单位位位位质质质质量量量量流流流流体体体体所所所所具具具具有有有有的的的的该该该该种种种种物理量。物理量。物理量。物理量。t t 时刻流体系统所具有的某
36、种物理量时刻流体系统所具有的某种物理量时刻流体系统所具有的某种物理量时刻流体系统所具有的某种物理量N N对时间的变化率对时间的变化率对时间的变化率对时间的变化率为为为为 V V ：系统在：系统在：系统在：系统在t t 时刻的体积；时刻的体积；时刻的体积；时刻的体积；V V ：系统在：系统在：系统在：系统在t t t t时刻的体积。时刻的体积。时刻的体积。时刻的体积。某物理量变化率某物理量变化率 体内变化率体内变化率 净通量净通量定常条件下：定常条件下：=0 +随体导数随体导数 当地导数当地导数 迁移导数迁移导数Cv 控制体；控制体；Cs 控制面。控制面。输运公式输运公式控制体广延量随时间变化率
37、控制体广延量随时间变化率,称为当地变化率称为当地变化率 控制体形式的系统导数控制体形式的系统导数通过控制面净流出的广延量流量通过控制面净流出的广延量流量,称为迁移变化率称为迁移变化率 当流场定常时当流场定常时,0当流场均匀时当流场均匀时,0 输运公式计算取决于控制体输运公式计算取决于控制体(面面)的选择的选择3.5 连续性方程连续性方程 输运公式为输运公式为输运公式为输运公式为 由质量守恒定律：由质量守恒定律：由质量守恒定律：由质量守恒定律：积分形式的积分形式的积分形式的积分形式的连续性方程连续性方程连续性方程连续性方程：方方方方程程程程含含含含义义义义：单单单单位位位位时时时时间间间间内内内
38、内控控控控制制制制体体体体内内内内流流流流体体体体质质质质量量量量的的的的增增增增量量量量，等等等等于通过控制体表面的质量的净通量。于通过控制体表面的质量的净通量。于通过控制体表面的质量的净通量。于通过控制体表面的质量的净通量。定常流动定常流动定常流动定常流动的积分形式的连续性方程的积分形式的连续性方程的积分形式的连续性方程的积分形式的连续性方程：应用于应用于应用于应用于定常管流定常管流定常管流定常管流时时时时：A1，A2为管道上的为管道上的任意两个截面任意两个截面截截面面A1上上的的质量流量质量流量 和和和和 分分分分别别别别表表表表示示示示两两两两个个个个截截截截面面面面上上上上的的的的平
39、平平平均均均均流流流流速速速速，并并并并将截面取为有效截面：将截面取为有效截面：将截面取为有效截面：将截面取为有效截面：一一一一维维维维定定定定常常常常流流流流动动动动积积积积分分分分形形形形式式式式的的的的连连连连续续续续性方程性方程性方程性方程 方方方方程程程程表表表表明明明明：在在在在定定定定常常常常管管管管流流流流中中中中的的的的任任任任意意意意有有有有效效效效截截截截面面面面上上上上，流流流流体体体体的的的的质量流量等于常数。质量流量等于常数。质量流量等于常数。质量流量等于常数。截截面面A2上上的的质量流量质量流量对于对于不可压缩流体不可压缩流体：方方程程表表明明：对对于于不不可可压
40、压缩缩流流体体的的定定常常一一维维流流动动，在任意有效截面上体积流量等于常数。在任意有效截面上体积流量等于常数。在同一总流上，在同一总流上，流流通通截截面面积积大大的的截截面面上上流流速速小小，在在流流通通截截面面积积小小截面上截面上流速大流速大。微分形式的连续性方程微分形式的连续性方程 x，y，z方向净流出质量为方向净流出质量为因密度变化引起的质量减少为因密度变化引起的质量减少为由质量守恒定律由质量守恒定律单位时间单位体积内单位时间单位体积内边长为边长为dx,dy,dz的长方体控制体元，的长方体控制体元，d dt内内x方向净流出的质量方向净流出的质量用场量公式并运用质点导数概念，微分形式连续
41、性方程为用场量公式并运用质点导数概念，微分形式连续性方程为或改写为：或改写为：左左边边代代表表一一点点邻邻域域内内流流体体体体积积的的相相对对膨膨胀胀速速率率，右右边边代代表表密密度度相对减少率。连续性方程适用于任何同种流体。相对减少率。连续性方程适用于任何同种流体。不可压缩流体连续性方程不可压缩流体连续性方程有一不可压缩流体平面流动，其速度分布规律为有一不可压缩流体平面流动，其速度分布规律为u=x2siny，v=2xcosy，试分析该流动是否连续。，试分析该流动是否连续。故此流动是连续的。故此流动是连续的。解解3.6 动量方程和动量矩方程动量方程和动量矩方程 一、动量方程一、动量方程一、动量
42、方程一、动量方程用于用于用于用于工程实际中求解流体与固体之间的作用力和力矩工程实际中求解流体与固体之间的作用力和力矩工程实际中求解流体与固体之间的作用力和力矩工程实际中求解流体与固体之间的作用力和力矩 表示单位质量流体具有的动量表示单位质量流体具有的动量表示单位质量流体具有的动量表示单位质量流体具有的动量;N N 为系统内的流体具有的动量。为系统内的流体具有的动量。为系统内的流体具有的动量。为系统内的流体具有的动量。输运公式为输运公式为输运公式为输运公式为 对对对对上上上上式式式式应应应应用用用用质质质质点点点点系系系系的的的的动动动动量量量量定定定定理理理理：作作作作用用用用于于于于流流流流
43、体体体体系系系系统统统统上上上上的所有外力之和等于系统内流体动量的变化率。的所有外力之和等于系统内流体动量的变化率。的所有外力之和等于系统内流体动量的变化率。的所有外力之和等于系统内流体动量的变化率。积分形式的积分形式的动量方程动量方程：质量力质量力表面力表面力定常流动定常流动时时：应用于应用于应用于应用于定常管流定常管流定常管流定常管流时，可以对方程进行简化。时，可以对方程进行简化。时，可以对方程进行简化。时，可以对方程进行简化。为作用于控制体上的质量力和表面力之和。为作用于控制体上的质量力和表面力之和。为作用于控制体上的质量力和表面力之和。为作用于控制体上的质量力和表面力之和。方方方方程程
44、程程表表表表明明明明：在在在在定定定定常常常常管管管管流流流流中中中中，作作作作用用用用于于于于管管管管流流流流控控控控制制制制体体体体上上上上的的的的所所所所有有有有外外外外力力力力之之之之和和和和等等等等于于于于单单单单位位位位时时时时间间间间内内内内管管管管子子子子流流流流出出出出断断断断面面面面上上上上流流流流出出出出的动量和流入断面上流入的动量之差。的动量和流入断面上流入的动量之差。的动量和流入断面上流入的动量之差。的动量和流入断面上流入的动量之差。用用用用动量修正系数动量修正系数动量修正系数动量修正系数 来修正实际流速和平均流速计算来修正实际流速和平均流速计算来修正实际流速和平均流
45、速计算来修正实际流速和平均流速计算的动量通量的差别的动量通量的差别的动量通量的差别的动量通量的差别:通常情况下，通常情况下，通常情况下，通常情况下，定定定定常常常常管管管管流流流流投投投投影影影影形形形形式式式式的的的的动动动动量方程量方程量方程量方程：应用定常管流的动量方程求解应用定常管流的动量方程求解应用定常管流的动量方程求解应用定常管流的动量方程求解时，需要注意以下问题：时，需要注意以下问题：时，需要注意以下问题：时，需要注意以下问题：uu 动量方程是一个矢量方程，动量方程是一个矢量方程，动量方程是一个矢量方程，动量方程是一个矢量方程，每一个量均具有方向每一个量均具有方向每一个量均具有方
46、向每一个量均具有方向性性性性，必须根据建立的坐标系，必须根据建立的坐标系，必须根据建立的坐标系，必须根据建立的坐标系判断各个量判断各个量判断各个量判断各个量在坐标系中在坐标系中在坐标系中在坐标系中的正的正的正的正负号负号负号负号。uu 根据问题的要求根据问题的要求根据问题的要求根据问题的要求正确地选择控制体正确地选择控制体正确地选择控制体正确地选择控制体，选择的控制，选择的控制，选择的控制，选择的控制体必须体必须体必须体必须包含对所求作用力有影响的全部流体包含对所求作用力有影响的全部流体包含对所求作用力有影响的全部流体包含对所求作用力有影响的全部流体。uu 方程左端的方程左端的方程左端的方程左
47、端的作用力项包括作用于控制体内流体上作用力项包括作用于控制体内流体上作用力项包括作用于控制体内流体上作用力项包括作用于控制体内流体上的所有外力的所有外力的所有外力的所有外力，但不包括惯性力。，但不包括惯性力。，但不包括惯性力。，但不包括惯性力。uu 方程方程方程方程只涉及到两个流入、流出截面上的流动参数只涉及到两个流入、流出截面上的流动参数只涉及到两个流入、流出截面上的流动参数只涉及到两个流入、流出截面上的流动参数，而不必顾及控制体内是否有间断面存在。而不必顾及控制体内是否有间断面存在。而不必顾及控制体内是否有间断面存在。而不必顾及控制体内是否有间断面存在。二、二、二、二、动量矩方程动量矩方程
48、动量矩方程动量矩方程 表示单位质量流体的动量矩表示单位质量流体的动量矩表示单位质量流体的动量矩表示单位质量流体的动量矩;N N 为整个系统内流体的动量矩。为整个系统内流体的动量矩。为整个系统内流体的动量矩。为整个系统内流体的动量矩。对对对对上上上上式式式式应应应应用用用用质质质质点点点点系系系系的的的的动动动动量量量量矩矩矩矩定定定定理理理理：流流流流体体体体系系系系统统统统内内内内流流流流体体体体动动动动量量量量矩矩矩矩的的的的时时时时间间间间变变变变化化化化率率率率等等等等于于于于作作作作用用用用在在在在系系系系统统统统上上上上的的的的所所所所有有有有外外外外力力力力矩矩矩矩的的的的矢量和
49、。矢量和。矢量和。矢量和。积分形式的积分形式的积分形式的积分形式的动量矩方程动量矩方程动量矩方程动量矩方程：输运公式为输运公式为输运公式为输运公式为 定常流动定常流动定常流动定常流动时时时时：方方方方程程程程表表表表明明明明：在在在在定定定定常常常常流流流流动动动动时时时时，通通通通过过过过控控控控制制制制体体体体表表表表面面面面流流流流体体体体动动动动量量量量矩矩矩矩的净通量等于作用于控制体的所有外力矩的矢量和的净通量等于作用于控制体的所有外力矩的矢量和的净通量等于作用于控制体的所有外力矩的矢量和的净通量等于作用于控制体的所有外力矩的矢量和。三、三、三、三、叶轮机械的基本方程叶轮机械的基本方
50、程叶轮机械的基本方程叶轮机械的基本方程动量矩方程可以表示为：动量矩方程可以表示为：动量矩方程可以表示为：动量矩方程可以表示为：所有外力矩的矢量和所有外力矩的矢量和所有外力矩的矢量和所有外力矩的矢量和离心泵叶轮内的流动取图中虚线包容的体积为控制体：取图中虚线包容的体积为控制体：取图中虚线包容的体积为控制体：取图中虚线包容的体积为控制体：（绝对速度）（绝对速度）（绝对速度）（绝对速度）（相对速度）（相对速度）（相对速度）（相对速度）（牵连速度）（牵连速度）（牵连速度）（牵连速度）（法向分速度）（法向分速度）（法向分速度）（法向分速度）（切向分速度）（切向分速度）（切向分速度）（切向分速度）为转轴传