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1、第 1 页 共 9 页中考一次函数实际应用题中考一次函数实际应用题例 1 已知雅美服装厂现有 A 种布料 70 米，B 种布料 52 米，现计划用这两种布料生产 M，N 两种型号 的时装共 80 套。已知做一套 M 型号的时装需要 A 种布料 0. .6 米，B 种布料 0. .9 米，可获利润 45 元； 做一套 N 型号的时装需要 A 种布料 1. .1 米，B 种布料 0. .4 米，可获利润 50 元。若设生产 N 种型号的时 装套数为x，用这批布料生产这两种型号的时装所获总利润为y元。 （1）求y与x的函数关系式，并求出自变量的取值范围； （2）雅美服装厂在生产这批服装中，当 N 型
2、号的时装为多少套时，所获利润最大？最大利润是 多少？解：由题意得：xxy50)80(4536005 x 52)80(9 . 04 . 070)80(6 . 01 . 1 xxxx解得：40x44y与x的函数关系式为：36005 xy，自变量的取值范围是：40x44在函数36005 xy中，y随x的增大而增大当x44 时，所获利润最大，最大利润是：36004453820（元）例 2 某市电话的月租费是 20 元，可打 60 次免费电话（每次 3 分钟） ，超过 60 次后，超过部分每次 0. .13 元。 （1）写出每月电话费y（元）与通话次数x之间的函数关系式； （2）分别求出月通话 50 次
3、、100 次的电话费； （3）如果某月的电话费是 27. .8 元，求该月通话的次数。解；（1）由题意得：y与x之间的函数关系式为：y )60)(60(13. 020)600(20xxx（2）当x50 时，由于x60，所以y20（元）当x100 时，由于x60，所以y)60100(13. 02025. .2（元） （3）y27. .820x608 .27)60(13. 020x解得：x120（次）例 3 荆门火车货运站现有甲种货物 1530 吨，乙种货物 1150 吨，安排用一列货车将这批货物运往广 州，这列货车可挂 A、B 两种不同规格的货厢 50 节，已知用一节 A 型货厢的运费是 0.
4、.5 万元，用一节 B 型货厢的运费是 0. .8 万元。 （1）设运输这批货物的总运费为y（万元） ，用 A 型货厢的节数为x（节） ，试写出y与x之间 的函数关系式； （2）已知甲种货物 35 吨和乙种货物 15 吨，可装满一节 A 型货厢，甲种货物 25 吨和乙种货物 35 吨可装满一节 B 型货厢，按此要求安排 A、B 两种货厢的节数，有哪几种运输方案？请你设计出来。 （3）利用函数的性质说明，在这些方案中，哪种方案总运费最少？最少运费是多少万元？解：（1）由题意得：)50(8 . 05 . 0xxy403 . 0xy与x之间的函数关系式为：y403 . 0x第 2 页 共 9 页（2
5、）由题意得： 1150)50(35151530)50(2035xxxx解得：28x30x是正整数x28 或 29 或 30有三种运输方案：用 A 型货厢 28 节，B 型货厢 22 节；用 A 型货厢 29 节，B 型货 厢 21 节；用 A 型货厢 30 节，B 型货厢 20 节。（3）在函数y403 . 0x中y随x的增大而减小当x30 时，总运费y最小，此时y40303 . 031（万元）方案的总运费最少，最少运费是 31 万元。例 4 某工厂现有甲种原料 360 千克，乙种原料 290 千克，计划利用这两种原料生产 A、B 两种产品， 共 50 件。已知生产一件 A 种产品，需用甲种原
6、料 9 千克、乙种原料 3 千克，可获利润 700 元；生产 一件 B 种产品，需用甲种原料 4 千克、乙种原料 10 千克，可获利润 1200 元。 （1）按要求安排 A、B 两种产品的生产件数，有哪几种方案？请你设计出来； （2）设生产 A、B 两种产品获总利润为y（元） ，生产 A 种产品x件，试写出y与x之间的函数 关系式，并利用函数的性质说明（1）中哪种生产方案获总利润最大？最大利润是多少？解；（1）设需生产 A 种产品x件，那么需生产 B 种产品)50(x件，由题意得： 290)50(103360)50(49xxxx解得：30x32x是正整数x30 或 31 或 32 有三种生产方
7、案：生产 A 种产品 30 件，生产 B 种产品 20 件；生产 A 种产品 31 件， 生产 B 种产品 19 件；生产 A 种产品 32 件，生产 B 种产品 18 件。（2）由题意得；)50(1200700xxy60000500 xy随x的增大而减小当x30 时，y有最大值，最大值为：600003050045000（元）答：y与x之间的函数关系式为：y60000500 x， （1）中方案获利最大，最大利润 为 45000 元。例 5 某地上年度电价为 0. .8 元，年用电量为 1 亿度。本年计划将电价调至 0. .550. .75 元之间，经测算，若电价调至x元，则本年度新增用电量y（
8、亿度）与)4 . 0( x（元）成反比例，又当x0. .65 时，y0. .8。 （1）求y与x之间的函数关系式； （2）若每度电的成本价为 0. .3 元，则电价调至多少元时，本年度电力部门的收益将比上年度增 加 20%？收益用电量（实际电价 成本价）解：（1）y与)4 . 0( x反正比例第 3 页 共 9 页y4 . 0xk把x0. .65，y0. .8 代入上式得：k0. .2y与x之间的函数关系式为：4 . 02 . 0xy（2）由题意得： %20113 . 08 . 03 . 04 . 0 2 . 01 xx化简得：03 . 01 . 12xx即0311102xx0)35)(12(
9、xx1x0. .5，2x0. .60. .55x0. . 75x0. .5 不符题意，应舍去。故x0. .6 答：电价调至 0. .6 元时，本年度电力部门的收益将比上年度增加 20%。例 6 为加强公民的节水意识，某城市制定了以下用水收费标准：每户每月用水未超过 7 立方米时， 每立方米收费 1. .0 元并加收 0. .2 元的城市污水处理费，超过 7 立方米的部分每立方米收费 1. .5 元并加 收 0. .4 元的城市污水处理费，设某户每月用水量为x（立方米） ，应交水费为y（元） （1）分别写出用水未超过 7 立方米和多于 7 立方米时，y与x之间的函数关系式； （2）如果某单位共有
10、用户 50 户，某月共交水费 514. .6 元，且每户的用水量均未超过 10 立方米， 求这个月用水未超过 7 立方米的用户最多可能有多少户？解：（1）当 0x7 时，xy)2 . 00 . 1 (x2 . 1当x7 时，72 . 1)7)(4 . 05 . 1 (xy9 . 49 . 1x（2）当x7 时，需付水费：71. .28. .4（元） 当x10 时，需付水费：71. .21. .9（107）14. .1（元） 设这个月用水未超过 7 立方米的用户最多可能有a户，则：6 .514)50( 1 .144 . 8aa化简得：4 .1907 . 5a解得：572333a答：该单位这个月用
11、水未超过 7 立方米的用户最多可能有 33 户。例 7 辽南素以“苹果之乡”著称，某乡组织 20 辆汽车装运三种苹果 42 吨到外地销售。按规定每辆 车只装同一种苹果，且必须装满，每种苹果不少于 2 车。 （1）设用x辆车装运 A 种苹果，用y辆车装运 B 种苹果，根据下表提供的信息求y与x之间的 函数关系式，并求x的取值范围； （2）设此次外销活动的利润为 W（百元） ，求 W 与x的函数关系式以及最大利润，并安排相应的第 4 页 共 9 页车辆分配方案。 苹果品种ABC 每辆汽车运载量 （吨）2. .22. .12 每吨苹果获利 （百元）685解：（1）由题意得：42)20(21 . 22
12、 . 2yxyx化简得：202 xy 当y0 时，x10 1x10答：y与x之间的函数关系式为：202 xy；自变量x的取值范围是：1x10 的整数。（2）由题意得：W)20(5281 . 262 . 2yxyx2008 . 62 . 3yx200)202(8 . 62 . 3xx3364 .10xW 与x之间的函数关系式为：y3364 .10xW 随x的增大而减小当x2 时，W 有最大值，最大值为：33624 .10最大值W315. .2（百元）当x2 时，202 xy16，yx 202答：为了获得最大利润，应安排 2 辆车运输 A 种苹果，16 辆车运输 B 种苹果，2 辆车 运输 C 种
13、苹果。同学们，从以上几例的解答过程中，你学到了解决这类问题的基本思路和方法吗？ 小结：确定函数解析式，求函数值确定自变量取值范围 实际问题数学问题 方案设计：利用不等式或不等式组及题意方案决策： 最优方案：利用一次函数的性质及自变量 取值范围确定最优方案 解决问题第 5 页 共 9 页次次函函数数应应用用题题例例析析一次函数是初中数学中的重点内容之一，设计一次函数模型解决实际问题，备受各地命题 者的青睐.本文采撷几例中考试题加以评析，供参考.一、图象型一、图象型例 1 (2003 年广西)在抗击“非典”中， 某医药研究所开发了一种预防“非典”的药 品.经试验这种药品的效果得知：当成人按规 定剂
14、量服用该药后 1 小时时，血液中含药量 最高，达到每毫升 5 微克，接着逐步衰减， 至 8 小时时血液中含药量为每毫升 1.5 微克. 每毫升血液中含药量 y(微克)随时间 x(小时) 的变化如图所示.在成人按规定剂量服药后：(1)分别求出 x1，x1 时 y 与 x 之间 的函数关系式；(2)如果每毫升血液中含药量为 2 微克或 2 微克以上，对预防“非典”是有效的，那么这个 有效时间为多少小时？解析 本题涉及的背景材料专业性很强，但只要读懂题意，用我们学过的函数知识是不难第 6 页 共 9 页解答的.题目的主要信息是由函数图象给出的，图象是由两条线段组成的折线，可把它看成是两 个一次函数图
15、象的组合.(1)当 x1 时，设 y=k1x.将(1，5)代入，得 k1=5.y=5x.当 x1 时，设 y=k2x+b.以(1，5)，(8，1.5)代入，得，(2)以 y=2 代入 y=5x，得；以 y=2 代入，得 x2=7.故这个有效时间为小时.注：题中图像是已知条件的重要组成部分，必须充分利用.二、预测型二、预测型例 2 (2002 年辽宁省)随着我国人口增长速度的减慢，小学入学儿童数量有所减少，下表中 的数据近似地呈现了某地区入学儿童人数的变化趋势，试用你所学的函数知识解决下列问题：(1)求入学儿童人数 y(人)与年份 x(年)的函数关系式；(2)利用所求函数关系式，预测该地区从哪一
16、年起入学儿童的人数不超过 1000 人？年份(x) 2000 2001 2002 入学儿童人数(y) 2520 2330 2140 解析 建立反比例函数，一次函数或二次函数模型，考察哪一种函数能较好地描述该地区入学儿童人数的变化趋势，这就要讨论.若设(k0)，在三点(2000，2520)，第 7 页 共 9 页(2001，2330)，(2002，2140)中任选一点确定 k 值后，易见另两点偏离曲线较远，故反比例函 数不能较好地反映入学儿童人数的变化趋势，从而选用一次函数.(1)设 y=kx+b (k0)，将(2000，2520)、(2001，2330)代入，得故 y=-190x+382520
17、.又因为 y=-190x+382520 过点(2002，2140)，所以 y=-190x+382520 能较好地描述这一变化 趋势.所求函数关系式为 y=-190x+382520.(2)设 x 年时，入学儿童人数为 1000 人，由题意得-190x+382520=1000.解得 x=2008.所以， 从 2008 年起入学儿童人数不超过 1000 人.注：从数学的角度去分析，能使我们作出的预测更准确.本题也可构造二次函数模型来描述 这一变化趋势.三、决策型三、决策型例 3 (2003 年甘肃省)某工厂生产某种产品，每件产品的出厂价为 1 万元，其原材料成本价 (含设备损耗等)为 0.55 万元
18、，同时在生产过程中平均每生产一件产品有 1 吨的废渣产生.为达 到国家环保要求，需要对废渣进行脱硫、脱氮等处理.现有两种方案可供选择.方案一：由工厂对废渣直接进行处理，每处理 1 吨废渣所用的原料费为 0.05 万元，并且每 月设备维护及损耗费为 20 万元.方案二：工厂将废渣集中到废渣处理厂统一处理.每处理 1 吨废渣需付 0.1 万元的处理费.(1)设工厂每月生产 x 件产品，每月利润为 y 万元，分别求出用方案一和方案二处理废渣时， y 与 x 之间的函数关系式(利润=总收入-总支出)；(2)如果你作为工厂负责人，那么如何根据月生产量选择处理方案，既可达到环保要求又最 合算.解析 先建立
19、两种方案中的函数关系式，然后根据月生产量的多少通过分类讨论求解.(1)y1=x-0.55x-0.05x-20第 8 页 共 9 页=0.4x-20；y2=x-0.55x-0.1x=0.35x.(2)若 y1y2，则 0.4x-200.35x，解得 x400；若 y1=y2，则 0.4x-20=0.35x，解得 x=400；若 y1y2，则 0.4x-200.35x，解得 x400.故当月生产量大于 400 件时，选择方案一所获利润较大；当月生产量等于 400 件时，两 种方案利润一样；当月生产量小于 400 件时，选择方案二所获利润较大.注：在处理生产实践和市场经济中的一些问题时，用数学的眼光
20、来分辨，会使我们作出的 决策更合理.四、最值型四、最值型例 4 (2003 年江苏省扬州市)杨嫂在再就业中心的支持下，创办了“润扬”报刊零售点，对 经营的某种晚报，杨嫂提供了如下信息.买进每份 0.2 元，卖出每份 0.3 元；一个月(以 30 天计)内，有 20 天每天可以卖出 200 份，其余 10 天每天只能卖出 120 份.一个月内，每天从报社买进的报纸份数必须相同，当天卖不掉的报纸，以每份 0.1 元退 回给报社.(1)填表：一个月内每天买进该种晚报的份数 100 150 当月利润(单位：元) (2)设每天从报社买进这种晚报 x 份(120x200)时，月利润为 y 元，试求 y 与
21、 x 之间的 函数关系式，并求月利润的最大值.解析 (1)由题意，当一个月每天买进 100 份时，可以全部卖出，当月利润为 300 元；当一 个月内每天买进 150 份时，有 20 天可以全部卖完，其余 10 天每天可卖出 120 份，剩下 30 份退 回报社，计算得当月利润为 390 元.(2)由题意知，当 120x200 时，全部卖出的 20 天可获利润：第 9 页 共 9 页20(0.3-0.2)x=2x(元)；其余 10 天每天卖出 120 份，剩下(x-120)份退回报社，10 天可获利润：10(0.3-0.2)120-0.1(x-120)=-x+240(元).月利润为y=2x-x+
22、240=x+240(120x200).由一次函数的性质知，当 x=200 时，y 有最大值，为 y=200+240=440(元).注：对于一次函数 y=kx+b，当自变量 x 在某个范围内取值时，函数值 y 可取最大(或最小) 值，这种最值问题往往用来解决“成本最省”、“利润最大”等方面的问题.五、学科结合型五、学科结合型例 5 (2002 年南京市)声音在空气中传播的速度 y(m/s)(简称音速)是气温 x()的一次函数. 下表列出了一组不同气温时的音速：气温 x() 0 5 10 15 20 音速 y(m/S) 331 334 337 340 343 (1)求 y 与 x 之间的函数关系式；(2)气温 x=22()时，某人看到烟花燃放 5s 后才听到声 响，那么此人与燃放的烟花所在地约相距多远？解析 (1)设 y=kx+b，任取表中的两对数，用待定系数法即可求得(2)当 x=22 时，334.25=1671(m).故此人与燃放的烟花所在地约相距 1671m.注：本题考查了物理中声音的速度与温度的函数关系，是物理与数学结合的一道好题.